曹程明，馬義中

(南京理工大學 經(jīng)濟管理學院，江蘇 南京 210094)

0 引言

隨著現(xiàn)代生產(chǎn)制造技術的不斷提高，產(chǎn)品的不合格率或過程缺陷率不斷降低，傳統(tǒng)p圖或c圖中的大量打點值為零，造成控制圖出現(xiàn)錯誤警報概率過高、不能提供關于過程狀態(tài)的有效信息等問題。將不合格品或者過程缺陷的出現(xiàn)定義為事件，監(jiān)控事件間隔時間(Time Between Events，TBE)能夠避免傳統(tǒng)控制圖在高質量過程監(jiān)控中的缺陷。Montgomery[1]建議通過TBE監(jiān)控高質量過程。

假設事件的發(fā)生用泊松過程描述，則TBE是一系列獨立同分布的指數(shù)分布隨機變量[2]。針對TBE服從指數(shù)分布的過程，Zhang等[3]以r個事件之間的間隔時間服從Gamma分布設計了Gamma控制圖(Gamma chart)，提高了控制圖對過程偏移的探測能力；Yang等[4-5]研究了指數(shù)分布控制圖(exponential chart)和Gamma控制圖，為了應對沒有足夠樣本數(shù)據(jù)估計參數(shù)的情況，提出序貫抽樣方案，然而研究沒有分析參數(shù)估計對其所設計控制圖性能的影響。由于參數(shù)估計量固有的波動，在同一設計方法下設計出的控制圖的性能將出現(xiàn)差異，這種差異被稱為使用者與使用者之間的波動(practitioner-to-practitioner variability)，該波動令使用者不能確定所設計控制圖的錯誤警報概率，影響了其對控制圖的信心。

Jensen等[6]和Psarakis等[7]指出研究參數(shù)未知情況下的控制圖性能具有重要意義；Saleh等[8]采用運行鏈長均值ARL的分位數(shù)和運行鏈長均值的標準差SDARL分析了參數(shù)未知的指數(shù)加權移動平均(Exponentially Weighted Moving Average, EWMA)控制圖的性能；Hu等[9]認為ARL和運行鏈長的標準差SDRL適合用于單個控制圖的性能分析，而在參數(shù)未知情況下，平均運行鏈長均值AARL越接近設定值ARL0，說明控制圖的性能越接近參數(shù)已知的情況，SDARL值越小說明參數(shù)估計對控制圖性能的影響越小，AARL和SDARL適合分析某一具體設計方法下的控制圖的性能。

為了應對實際中樣本數(shù)據(jù)較少的問題，Jones等[10]和Gandy等[11]提出Bootstrap方法，該方法通過調整控制限，使得在一定概率水平下過程受控時控制圖的ARL不小于設定值；Zhao等[12]研究了參數(shù)未知的c圖的性能，并用Bootstrap方法對其控制限進行調整，分析表明Bootstrap方法能夠減少參數(shù)估計對控制圖性能的影響；Hu等[9]研究表明，Bootstrap方法能夠使過程受控時控制圖的ARL在一定概率水平下不小于設定值，而僅以較小的控制圖性能損失為代價。

相比于均值控制圖，中位數(shù)控制圖對樣本數(shù)據(jù)中存在異常值的過程和非正態(tài)過程穩(wěn)健[13]。當總體分布為偏態(tài)分布時，中位數(shù)能更好地反映樣本情況，而且樣本中位數(shù)易于計算。針對TBE服從指數(shù)分布的這一偏態(tài)過程，本文提出中位數(shù)控制圖。首先，給出了參數(shù)已知和未知情況下中位數(shù)控制圖的設計方法；其次，應用條件錯誤警報概率、AARL和SDARL分析了參數(shù)估計對所設計中位數(shù)控制圖性能的影響；接著，針對小樣本問題，采用Bootstrap方法對設計出的控制限進行調整，以減少由參數(shù)估計造成的使用者之間的波動問題；最后，用算例說明指數(shù)分布中位數(shù)控制圖在實際中的應用。

1 中位數(shù)控制圖的設計

1.1 參數(shù)已知的情況

假設事件的發(fā)生用泊松過程描述，則TBE是獨立同分布的指數(shù)分布隨機變量。用X表示兩個連續(xù)事件之間的間隔時間，則X的概率密度函數(shù)為

(1)

式中λ為事件的發(fā)生率。

(2)

(3)

令U和L為控制圖的上下控制限，在參數(shù)已知的情況下，對于給定的錯誤警報概率α0，有

(4)

當過程發(fā)生偏移時，設偏移量為ρ，λ1=ρλ0。打點值落在控制限之內的概率為

(5)

則控制圖的運行鏈長均值為

(6)

對于雙邊控制圖，如果上下控制限兩側的概率均為α0/2，則ARL在受控狀態(tài)下(ρ=1)不一定能取得最大值。假設ARL(ρ)對ρ可導，為了使ARL在受控狀態(tài)下(ρ=1)取得最大值，令

ARL′(1)=0，

(7)

則

(8)

通過式(8)可得

β′(1)=0。

(9)

因此，對于給定的錯誤警報概率，無偏的中位數(shù)控制圖的控制限可由下式得到：

(10)

(11)

將式(11)代入式(10)，通過二分法求解式(10)得到p1。為了便于使用控制圖，不同錯誤警報概率(α0)和不同子組觀測值數(shù)(n=3，5)的無偏中位數(shù)控制圖設計參數(shù)如表1所示。

表1 控制圖的設計參數(shù)

1.2 參數(shù)未知的情況

在參數(shù)未知的情況下，通常通過樣本數(shù)據(jù)估計得到的參數(shù)估計值設置控制限參數(shù)。假設現(xiàn)有m個服從參數(shù)值為λ0的指數(shù)分布的觀測值樣本數(shù)據(jù)，則λ0的極大似然估計為

(12)

由中位數(shù)控制圖的無偏設計得參數(shù)未知的控制圖的控制限為：

2 中位數(shù)控制圖的性能分析

(14)

顯然，在參數(shù)未知的情況下，樣本差異會導致參數(shù)估計誤差不同，控制圖發(fā)出信號的概率會隨參數(shù)估計量的不同而不同。因此控制圖發(fā)出信號的概率是δ的條件概率，稱為條件錯誤警報概率(CFAR)，其揭示了使用者之間的波動。

針對TBE服從指數(shù)分布過程的監(jiān)控問題，Kumar等[14]通過運行鏈長條件分布研究了參數(shù)未知的Tr控制圖(Tr-chart)，研究結果表明，由于使用者之間的波動，只有當樣本數(shù)非常大時(大于1 000)，參數(shù)未知的Tr控制圖的性能才能接近參數(shù)已知的情況。本章將中位數(shù)控制圖與Tr控制圖的性能進行對比分析。

2.1 中位數(shù)控制圖的條件錯誤警報概率

錯誤警報概率是控制圖在過程受控時發(fā)出信號的概率，是控制圖設計中的一個重要參數(shù)。中位數(shù)控制圖的條件錯誤警報概率為

(15)

為了便于分析條件錯誤警報概率，令

(16)

式中Y=2(m-1)×δ服從自由度為2m的χ2分布[14]。為了分析樣本數(shù)m和子組大小n對α(Y)值的影響，計算n=3，5，m=30，50，200，1 000時的α(Y)值，如圖1所示(α0=0.002 7)。為了便于比較中位數(shù)控制圖和Tr控制圖，計算r=3，5，m=30，50，200，1 000時Tr控制圖的α(Y)值，如圖1所示(α0=0.002 7)。圖1每個子圖中豎向分隔線將圖形分為兩部分，在分隔線處α(Y)=α0(Y=2(N-1))，在分隔線的左邊δ=Y/2(N-1)<1，表示參數(shù)被高估，反之參數(shù)被低估。

從圖1可見，對于所有n和r的取值，在Y的分布的尾部，α(Y)的值均偏離設定值α0，隨著樣本數(shù)的增加，偏離量越來越小，說明參數(shù)估計會使控制圖的性能產(chǎn)生較大波動，而且隨著樣本數(shù)的增加，其影響越來越?。划敇颖緮?shù)相同時，中位數(shù)控制圖α(Y)的值均比Tr控制圖更接近設定值α0，說明參數(shù)估計對中位數(shù)控制圖性能的影響更??；對于中位數(shù)控制圖，分隔線兩側的α(Y)值均大于α0，說明無論參數(shù)被高估還是低估，控制圖的CFAR都會變大，相應的ARL變短。

2.2 過程受控時中位數(shù)控制圖的AARL和SDARL

過程受控時控制圖的的條件平均運行鏈長(ICARL)是CFAR的倒數(shù)，因此也看做Y的函數(shù)，即

(17)

則

(18)

表2 過程受控時中位數(shù)控制圖和Tr控制圖的AARL和SDARL

由表2可見，隨著樣本數(shù)m的增加，中位數(shù)控制圖和Tr控制圖的AARL值越接近設定值ARL0，SDARL值越小，說明隨著樣本數(shù)m的增加，參數(shù)未知的控制圖的性能越接近參數(shù)已知的情況。當子組大小相同時(n=3，r=3或n=5，r=5)，相比于Tr控制圖，中位數(shù)控制圖的AARL值更接近設定值ARL0，SDARL值更小。Zhang等[15]建議SDARL值應小于設定值ARL0的10%，對于Tr控制圖，當r=3，5時，需要1 000個樣本數(shù)據(jù)才可以使SDARL值小于設定值ARL0的10%，而對于中位數(shù)控制圖，當n=3時需要100個樣本數(shù)據(jù)，當n=5時需要200個樣本數(shù)據(jù)。

綜上所述，相比于Tr控制圖，參數(shù)估計量的波動對中位數(shù)控制圖性能的影響更小，使用者用估計參數(shù)設計出的控制圖的條件錯誤警報概率值更接近設定值α0，即參數(shù)估計量的波動對中位數(shù)控制圖性能的影響更小。

3 調整控制圖的控制限

3.1 控制限調整步驟

(2)從第一階段樣本數(shù)據(jù)得到j=1,…,B個Bootstrap樣本X1,j,X2,j,…,Xm,j。

(4)由式(19)計算得到kj(j=1,…,B)：

(19)

(5)取kj的d%的分位數(shù)，即為調整系數(shù)k。

d%為調整目標，調整后的控制圖的CFAR有d%的可能性不大于設定值α0。B一般取1 000。

3.2 控制限調整前后控制圖的性能對比

表3 控制限調整前后過程受控時的ARL小于設定值的百分比 %

表4 控制限調整前后控制圖在過程失控時的AARL

通過對比分析控制限調整前后控制圖性能可以看出，控制限調整后的控制圖能夠使過程受控時的ARL在設定概率水平下不小于設定值ARL0，即調整控制限對控制圖探測過程偏移能力的影響小。另外，在仿真過程中注意到，每一次使用Bootstrap方法調整的系數(shù)k都不同，但是差別很小。表5和表6所示為m=30，50，100，150，200，α0=0.002，0.002 7，0.005，0.01，n=3，5，d%=0.9時的調整系數(shù)k，表中k值為1 000次仿真結果的平均值。在實際使用中，使用者可以直接用表5和表6中的k值，也可以自行計算k。

表5 基于Bootstrap方法的調整系數(shù)k(n=3)

表6 基于Bootstrap方法的調整系數(shù)k(n=5)

4 實例分析

5 結束語

本文提出用中位數(shù)控制圖監(jiān)控TBE服從指數(shù)分布的過程，給出了參數(shù)已知和未知情況下中位數(shù)控制圖的設計方法及控制圖設計參數(shù)。相比于Tr控制圖，本文所設計的中位數(shù)控制圖在過程受控時，其AARL更接近設定值ARL0，SDARL更小，即參數(shù)估計量的波動對中位數(shù)控制圖性能的影響更小。

針對小樣本問題(m<200時)，用Bootstrap方法調整所設計控制圖的控制限，調整后的控制限能夠有效減少參數(shù)估計量波動對控制圖性能的影響。實例分析表明，指數(shù)分布中位數(shù)控制圖對過程偏移具有較好的檢出能力。當參數(shù)未知時，本文使用極大似然估計方法估計過程參數(shù)，并未考慮到過程的先驗信息，后續(xù)研究可以結合貝葉斯估計方法設計指數(shù)分布的中位數(shù)控制圖。