江蘇省無錫市第一女子中學(xué)(214001) 華東師范大學(xué)教師教育學(xué)院(200062) 王 劍

立德樹人是當(dāng)下基礎(chǔ)教育的根本任務(wù),如何在教學(xué)實(shí)踐中落實(shí)立德樹人根本任務(wù),是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要課題.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）中,突出強(qiáng)調(diào)了學(xué)科德育的重要性,即;“通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí),提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心,養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣;樹立敢于質(zhì)疑、善于思考、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神;認(rèn)識數(shù)學(xué)的科學(xué)價值、應(yīng)用價值、文化價值和審美價值.”

從初中進(jìn)入高中,是學(xué)生學(xué)習(xí)道路上一個嶄新的起點(diǎn),而如何上好第一堂課,即高中學(xué)段的起始課,對學(xué)生來說意義重大.這堂課不僅有學(xué)生對教師和高中數(shù)學(xué)知識的初次印象,更飽含了學(xué)生對整個高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的展望.如果教師沒有任何鋪墊地開始高中數(shù)學(xué)集合知識的講演作為第一堂數(shù)學(xué)課,那么學(xué)生很可能會因集合語言的抽象性而感到困惑,并且缺乏新知識引入的必要性,容易導(dǎo)致學(xué)習(xí)動機(jī)欠佳;相反地,如果教師能夠在這一關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)講述一些高中數(shù)學(xué)知識的文化背景、傳授一些高中有別于初中新的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式,介紹一些基本的思想方法,相信一定能夠提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣,并且數(shù)學(xué)知識的演進(jìn)過程、數(shù)學(xué)家們從錯誤中不斷嘗試并最終得到真理的過程也一定能夠培養(yǎng)學(xué)生面對失敗和挫折,永不氣餒的品質(zhì),并引導(dǎo)學(xué)生在高中學(xué)習(xí)過程中逐步培養(yǎng)數(shù)學(xué)理性,這些都屬于數(shù)學(xué)學(xué)科德育的范疇.

本文主要以數(shù)學(xué)學(xué)科德育視角對高中學(xué)段起始課進(jìn)行設(shè)計.

1 高中學(xué)段起始課教學(xué)設(shè)計

開場白;各位新同學(xué),大家好,我姓X,是你們的數(shù)學(xué)老師,當(dāng)你們踏進(jìn)高中的校門,漫步在優(yōu)美的校園中,我想你們一定會下定決心,爭取學(xué)好高中的每一門課,叩開理想大學(xué)的校門.大家在小學(xué)和初中階段已經(jīng)接觸了不少數(shù)學(xué)內(nèi)容,相信大家對于高中數(shù)學(xué)知識都充滿了好奇,和初中相比,高中在數(shù)學(xué)內(nèi)容和課程上有些什么不同呢?今天這節(jié)課,我想和大家聊一聊為什么要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、高中數(shù)學(xué)學(xué)什么以及如何學(xué)好數(shù)學(xué)這三個問題,相信會對大家的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)帶來幫助.

1.1 為什么要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)

1.1.1 發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)

一片二片三四片,五片六片七八片.九片十片無數(shù)片,飛入梅中都不見——清·鄭燮

千里鶯啼綠映紅,水村山郭酒旗風(fēng).南朝四百八十寺,多少樓臺煙雨中——唐·杜牧

——這里有沒有數(shù)學(xué)?

圖1 北京故宮

圖2 向日葵

——這里有沒有數(shù)學(xué)?

班級里至少有兩位同學(xué)的生日是同一天的概率大嗎?

——這里有沒有數(shù)學(xué)?

【設(shè)計意圖】數(shù)學(xué)是研究數(shù)量、結(jié)構(gòu)、變化、空間以及信息等概念的一門學(xué)科.數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活、科學(xué)技術(shù)、人文藝術(shù)息息相關(guān),生活中有很多數(shù)學(xué)的影子,也可以是數(shù)學(xué)思考的來源.很多剛剛踏入高中的學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中會遇到很多困難,他們要克服知識難度、心理、環(huán)境帶來的挑戰(zhàn).因此,在學(xué)段起始課,引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光看世界,用數(shù)學(xué)的思維分析世界,用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界是非常必要的.

1.1.2 用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界

英國數(shù)學(xué)家德摩根（A.De Morgan,1806-1871）認(rèn)為,代數(shù)學(xué)上一般數(shù)量關(guān)系的發(fā)現(xiàn)始于特例.例如; 兩個數(shù)和的一半減去它們差的一半等于較小的數(shù).首先取8 和6,它們和的一半是7,差的一半是1,相減為6,得到較小數(shù).這樣的結(jié)論對其他數(shù)也是成立的,如23 和10,19 和13 等,我們可以得到:等等.如何表達(dá)上述結(jié)論對任何一對數(shù)都成立呢? 我們將較大數(shù)成為第一數(shù),較小數(shù)稱為第二數(shù),就有:第二數(shù).但是每次寫“第一數(shù)”“第二數(shù)”很麻煩,若用x表示第一數(shù),y用表示第二數(shù),則上面的恒等式可以寫成;因此,引入字母表示數(shù)以后,能夠簡潔、準(zhǔn)確地表達(dá)一個對于任意數(shù)都成立的事實(shí).而從特殊到一般,也是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個很重要的思想方法,需要“大膽猜想、小心求證”.

我們從小學(xué)“算術(shù)”的純數(shù)字運(yùn)算階段,經(jīng)歷了字母表示數(shù)的學(xué)習(xí),過渡到了初中代數(shù)階段,在某一變化過程中,數(shù)值保持不變的量叫做常量,可以取不同數(shù)值的量叫做變量.進(jìn)而經(jīng)歷了“常量”到“變量”的過程,也就是大家熟悉的函數(shù),函數(shù)在初中階段的定義是一般地,在某一變化過程中有兩個變量x與y,如果對于的每一個值x,y都有唯一確定的值與它對應(yīng),那么就說x是自變量,y是x的函數(shù).簡單地說,在初中用變量之間的依賴關(guān)系來描述函數(shù),而到了高中階段,數(shù)學(xué)將會進(jìn)一步抽象,大家課后可以預(yù)習(xí)一下,高中函數(shù)的定義又是什么?思考一下,與初中所學(xué)有什么異同呢?

【設(shè)計意圖】從課程主線的角度來看,代數(shù)的學(xué)習(xí)貫穿了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)始終,從“數(shù)”到“字母”,從“常量”到“變量”,從“變量說”到“對應(yīng)關(guān)系”,數(shù)學(xué)知識逐級抽象,因而在學(xué)段起始課,滲透知識的發(fā)展脈絡(luò),對初高中銜接點(diǎn)予以解釋和點(diǎn)撥,并激發(fā)學(xué)生的自學(xué)興趣,對高中生來講尤為重要.函數(shù)也是高中數(shù)學(xué)知識的重要主題,必修課程中包含函數(shù)概念與性質(zhì)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和三角函數(shù),并用函數(shù)理解方程和不等式,這是數(shù)學(xué)的基本思想方法.在選擇性必修課程中,函數(shù)與數(shù)列、一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)相結(jié)合,可以體會數(shù)列是一類特殊的函數(shù),是數(shù)學(xué)重要的研究對象,也在日常生活中有廣泛應(yīng)用;導(dǎo)數(shù)是微積分的核心內(nèi)容之一,是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本概念,也是刻畫函數(shù)的局部變化,研究函數(shù)的基本工具.因此,在學(xué)段起始課就介紹符號語言、滲透函數(shù)思想是非常有必要的.

1.1.3 數(shù)學(xué)是一門演進(jìn)的學(xué)科,數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科

當(dāng)數(shù)學(xué)家研究正方形對角線和邊長的比值時,誕生了無理數(shù).各位同學(xué)很容易就得到了這個比值是.在日常生活中,我們經(jīng)常和A4 紙打交道,這種紙的國際標(biāo)準(zhǔn)尺寸是210mm×297mm,計算它的長寬比可以得到:,若取兩張A4 紙,沿著紙的長邊把它們拼在一起,可以看成一張大紙,它的尺寸是:420mm×297mm,它的長寬比為:,可以發(fā)現(xiàn)這個比值保持不變,而且與非常接近.這種長寬比為:1 的紙在實(shí)際中有什么好處呢?答案是,用具有這種性質(zhì)的紙張可以在切割中沒有碎紙邊,避免浪費(fèi),降低生產(chǎn)成本.

證明假設(shè)是有理數(shù),則可設(shè)是既約分?jǐn)?shù)),等式兩邊平方,可以得到即2q2=p2,因?yàn)榈仁阶筮吺桥紨?shù),所以p為偶數(shù),于是不妨假設(shè)p=2m,有(2m)2=2q2,整理后得到q2=2m2,易知q也為偶數(shù),這與是既約分?jǐn)?shù)矛盾.從而證明了不可能是分?jǐn)?shù),同時這一證明也確立了無理數(shù)的存在性.

數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科,學(xué)生不僅要“知其然”,更要“知其所以然”,數(shù)學(xué)中的推理與證明也是需要深入學(xué)習(xí)的.

【設(shè)計意圖】數(shù)系的擴(kuò)充也貫穿在學(xué)生整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中,從自然數(shù)到分?jǐn)?shù),進(jìn)而負(fù)數(shù),而后無理數(shù).當(dāng)然,教學(xué)的邏輯順序與歷史順序有所不同,在歷史上,無理數(shù)出現(xiàn)于公元前5 世紀(jì),負(fù)數(shù)最早出現(xiàn)于東漢前期的《九章算術(shù)》,也就是說,歷史上先有無理數(shù)再有負(fù)數(shù).

學(xué)生在小學(xué)和初中階段,知識的呈現(xiàn)往往是零散的,學(xué)段起始課不僅需要將他們零散的知識以某種知識的發(fā)生順序“串”起來,更要引導(dǎo)他們發(fā)現(xiàn)知識的演進(jìn)之處,也就是高中數(shù)學(xué)知識的切入點(diǎn)、教師概念教學(xué)中“引入的必要性”.這為學(xué)生更好地學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)埋下伏筆,學(xué)生也能夠?qū)?fù)數(shù)納入腦海中已經(jīng)形成的有關(guān)“數(shù)”的知識體系.

數(shù)學(xué)來源于生活,數(shù)學(xué)知識也廣泛應(yīng)用于生活,通過隨手可得的A4 紙,引導(dǎo)學(xué)生體會“可觸”的無理數(shù).而對是無理數(shù)的證明其實(shí)也是來源于古希臘人對“不可公度量”的證明,這種證明方法被后來的希臘人稱為歸謬法（reductio ad absurdum,即“歸結(jié)到不可能結(jié)論”）,也就是我們今天所稱的“反證法”.演繹推理、歸納和類比推理都是高中數(shù)學(xué)課程中重要的推理類型,直接證明和間接證明又是演繹推理中兩種重要的證明方法.而初中階段中的證明題,其實(shí)多是用直接證明來解決的,而在高中階段,反證法作為一種重要的證明方法,用途也相當(dāng)廣泛.學(xué)段起始課中,滲透多種證明方式,開闊學(xué)生的數(shù)學(xué)視野,對學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)的培養(yǎng)幫助巨大.

1.1.4 數(shù)學(xué)家也會犯錯誤

英國數(shù)學(xué)家尼古拉斯·桑德森（N.Saunderson,1682-1739）在他一歲時就因感染上天花而雙目失明,但是他克服身體殘疾,學(xué)習(xí)了法語、希臘語、拉丁語和數(shù)學(xué).他申請劍橋大學(xué)被拒,終身未上過大學(xué),但是因?yàn)樗薮蟮臄?shù)學(xué)成就,喬治二世國王在1728年授予他博士學(xué)位.桑德森在劍橋大學(xué)當(dāng)教授期間,用特制的黑板,每天堅持上八小時課,學(xué)生們都為他高超的教學(xué)技巧而折服,稱他為“不用自己的雙眼卻教會他人如何使用雙眼的人”.他在1740年寫下的著作《代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》是第一本將分式方程用符號代數(shù)語言寫入的教科書,書中有一個分式方程的解法:42(x-3)=35(x-2)?x=8.接著,作為解題的一部分,他還給出了以上解法的逆過程;x=8?7x=56?42x-35x=126-70?42(x-3)=35(x-2)從上述解法可以看出,盡管桑德森已經(jīng)意識到解方程是可逆的,但他在方程兩邊約去或乘以x的做法可以推知,他并沒有意識到方程變換過程中的增根和失根的問題,原來歷史上數(shù)學(xué)家也會犯這么“低級”的錯誤啊.

【設(shè)計意圖】在數(shù)學(xué)上,錯誤、不確定性、懷疑、爭議、問題的另類解法不僅是合情合理的,而且也是數(shù)學(xué)在其發(fā)展過程中不可分割的一部分.通過對數(shù)學(xué)家的介紹和數(shù)學(xué)家也會犯錯誤這一實(shí)例,學(xué)生能感受到歷史上數(shù)學(xué)家對數(shù)學(xué)的熱愛和克服一切困難的勇氣,并對其錯誤表示理解,也讓學(xué)生了解到數(shù)學(xué)是一門演進(jìn)的學(xué)科,數(shù)學(xué)家也會犯錯誤,進(jìn)而認(rèn)識到在高中解題中,犯錯誤并不可怕,解決問題和錯誤的過程也是很重要的,要有堅持不懈的信念.

1.2 高中數(shù)學(xué)學(xué)什么

高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容分為必修課程、選擇性必修課程和選修課程.前兩類課程是高考的內(nèi)容要求,選修課程則為學(xué)生提供了不同的發(fā)展方向.必修課程分為預(yù)備知識、函數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計和數(shù)學(xué)建?；顒优c數(shù)學(xué)探究活動.這里的函數(shù)指的是函數(shù)概念與性質(zhì)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù).幾何與代數(shù)則包括平面向量、復(fù)數(shù)和立體幾何初步.在選擇性必修中,函數(shù)包括數(shù)列和一元函數(shù)導(dǎo)數(shù),幾何與代數(shù)包括空間向量和立體幾何、平面解析幾何.選修課程分為數(shù)理類課程,經(jīng)濟(jì)、社會、部分理工類課程,人文類課程體育藝術(shù)類課程和大學(xué)先修課程,為學(xué)生的發(fā)展提供了不同類型的數(shù)學(xué)課程,有助于學(xué)生的專業(yè)發(fā)展.在整個課程的學(xué)習(xí)中,數(shù)學(xué)文化將融入每一個學(xué)習(xí)環(huán)節(jié).

1.3 如何學(xué)好數(shù)學(xué)?

初中階段數(shù)學(xué)知識相對具體,高中階段數(shù)學(xué)知識廣泛,將對初中的數(shù)學(xué)知識推廣和延伸,也是對初中數(shù)學(xué)知識的完善,因而需要同學(xué)們的積極性、主動性.在學(xué)習(xí)方法上,初中階段可能模仿做題較多,高中階段雖有模仿,但隨著知識容量的增大,綜合度的提高,僅憑單一模仿是無法學(xué)好的,必須要不斷思考,鍛煉思維,掌握數(shù)學(xué)的基本思想方法、運(yùn)用基本活動經(jīng)驗(yàn).心理上也要盡快完成初中向高中學(xué)習(xí)的轉(zhuǎn)變,養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣,從預(yù)習(xí)到聽講,從課后反思到作業(yè),都應(yīng)一絲不茍,從數(shù)學(xué)家的身上學(xué)到不畏艱難、持之以恒的學(xué)習(xí)品質(zhì),這樣便能學(xué)好數(shù)學(xué).

2 對學(xué)段起始課的幾點(diǎn)思考

起始課又稱序言課或緒論課,《辭?！分姓f,緒者,絲之頭.緒論,即開頭要講的話,其內(nèi)容主要是對該學(xué)科或知識進(jìn)行綜合性的概括和介紹,讓學(xué)生對課程和知識內(nèi)容有一個總體的、大概的認(rèn)識,初步了解該學(xué)科或知識的教學(xué)特點(diǎn)、學(xué)習(xí)方法和教學(xué)的總體安排,有助于學(xué)生做好心理預(yù)備,更好地投入學(xué)習(xí).起始課也可分為三類;一是單元起始課,這里指的“單元”是指獨(dú)立知識點(diǎn)形成的教學(xué)單元;第二類是章節(jié)起始課,也就是每一章的第一節(jié)課,這兩類課程在承接上一單元內(nèi)容的基礎(chǔ)上,對新知識作一個簡要的概述,讓學(xué)生對即將要學(xué)習(xí)的北榮、結(jié)構(gòu)和思想方法有一個大致的了解.三是學(xué)段起始課,也就是進(jìn)入高中或初中的第一節(jié)課,本文所討論的,就是高中學(xué)段起始課.

2.1 構(gòu)建高中數(shù)學(xué)的知識藍(lán)圖

數(shù)學(xué)家柯朗在其著作《數(shù)學(xué)是什么》的序言中寫道;“今天,數(shù)學(xué)教育的傳統(tǒng)地位陷入嚴(yán)重的危機(jī).數(shù)學(xué)教學(xué)有時竟變成一種空洞的解題訓(xùn)練.數(shù)學(xué)研究已出現(xiàn)一種過分專門化和過于強(qiáng)調(diào)抽象的趨勢,而忽視了數(shù)學(xué)的應(yīng)用以及與其他領(lǐng)域的聯(lián)系.教師、學(xué)生和一般受過教育的人都要有一個建設(shè)性的改造,其目的是要真正理解數(shù)學(xué)是一個有機(jī)的整體,是科學(xué)思考與行動的基礎(chǔ).”因此,學(xué)段起始課是對整個高中數(shù)學(xué)的簡要概括,包括知識和方法的介紹,思想和學(xué)法的滲透,它構(gòu)建的是高中數(shù)學(xué)的知識藍(lán)圖.

2.2 突出數(shù)學(xué)學(xué)科德育

實(shí)際教學(xué)中,由于教學(xué)進(jìn)度安排比較緊張,傳統(tǒng)的高中數(shù)學(xué)起始課,經(jīng)常由解題代替知識的生成過程,學(xué)生往往對新概念、新知識的產(chǎn)生過程一知半解,缺乏對知識產(chǎn)生背景的了解,缺乏數(shù)學(xué)文化的滲透和數(shù)學(xué)精神的熏陶,長此以往,學(xué)生的數(shù)學(xué)思維固化,得不到發(fā)展.尤其是高中學(xué)段起始課,往往被初高中銜接課程取而代之.

現(xiàn)在很多一線教師也慢慢認(rèn)識到起始課的重要性,但因數(shù)學(xué)起始課蘊(yùn)含了很多數(shù)學(xué)教育的原理,包括培養(yǎng)學(xué)生的認(rèn)識論,方法論,世界觀,自然觀等,講什么和如何講成了很大的問題.筆者認(rèn)為,認(rèn)識數(shù)學(xué)在人類發(fā)展中的重要作用,讓學(xué)生感受學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是有用的,也是來源于生活的,可以用數(shù)學(xué)來解釋生活中的現(xiàn)象,是非常重要的.立德樹人根本任務(wù)的落實(shí),需要落實(shí)到每一堂課中,尤其是起始課,更能讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的文化、數(shù)學(xué)的美、滲透數(shù)學(xué)思想方法,讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)不僅重視方法和技能、更重視理性和精神.因此教師在教學(xué)中,不能光顧眼前意義,要重視學(xué)生長遠(yuǎn)利益的發(fā)展.在起始課中,尤其應(yīng)該重視突出數(shù)學(xué)學(xué)科德育.