江蘇省泰州市教育局教研室(225300) 錢德春

廣東省廣州市花都區(qū)獅嶺鎮(zhèn)獅峰中學(xué)(510850) 張 兵

1 問(wèn)題緣起

最近,筆者在中考試題研究時(shí)發(fā)現(xiàn)廣州市2019年中考試卷第25 題第（2）題考查了這樣一道題:

已知拋物線G:y=mx2-2mx-3 有最低點(diǎn)．將拋物線G向右平移m個(gè)單位得到拋物線G1．經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn),隨著m的變化,拋物線G1頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)y與橫坐標(biāo)x之間存在一個(gè)函數(shù)關(guān)系,求這個(gè)函數(shù)關(guān)系式,并寫(xiě)出自變量x的取值范圍．

該題拋物線G1的關(guān)系式含有參數(shù)m,故拋物線不確定,但由于頂點(diǎn)坐標(biāo)滿足y=-x-2(x ＞1),所以頂點(diǎn)始終在確定的射線上運(yùn)動(dòng)．廣州中考為什么命制這樣的壓軸題?這引起了筆者的關(guān)注．事實(shí)上,該問(wèn)題無(wú)論是命題策略還是解題策略都蘊(yùn)涵了“變中不變”的思想,我們不妨將這類試題稱為“變中不變”類試題．研究近11年來(lái)廣州中考數(shù)學(xué)試卷發(fā)現(xiàn):盡管每年的壓軸題不斷創(chuàng)新、變化,但對(duì)“變中不變”類試題卻情有獨(dú)鐘．現(xiàn)將廣州市2009-2019年數(shù)學(xué)中考“變中不變”類試題數(shù)據(jù)及相關(guān)信息統(tǒng)計(jì)如下:

廣州市2009 2019年數(shù)學(xué)中考“變中不變”類試題相關(guān)信息統(tǒng)計(jì)表

由統(tǒng)計(jì)表可知:廣州近11年中考試卷中,有8年考查了變中不變問(wèn)題．從試題背景來(lái)看,以幾何圖形為背景的試題有3 道,以函數(shù)為背景的試題有5 道;從試題結(jié)論來(lái)看,與面積有關(guān)的試題有3 道,與線段或線段的比、積有關(guān)的試題有2道,與定函數(shù)、定坐標(biāo)有關(guān)的試題有3 道;從試題位置看,均位于試卷的第24、25 題（全卷共25 題）,屬于壓軸題:從知識(shí)內(nèi)容看,主要涉及代數(shù)變形、方程的解、點(diǎn)的坐標(biāo)、函數(shù)圖像及性質(zhì)、特殊三角形與四邊形、三角形全等與相似等;從思想方法看,主要有變中不變思想、主元思想、特殊到一般思想、分類思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想等．

本文基于對(duì)廣州近11年“變中不變”類試題研究,談?wù)劇白冎胁蛔儭鳖愒囶}“動(dòng)中寓定”的解題策略、“以定謀動(dòng)”的命題策略．

2 “變中不變”類試題解題策略

“變中不變”類試題基本特點(diǎn)是“動(dòng)中寓定”——盡管條件中某些量在變化、某些圖形在運(yùn)動(dòng),但一定存在著不變的量或圖形,即“視動(dòng)為定”、“動(dòng)中尋定”,在運(yùn)動(dòng)中尋找不變的元素,將動(dòng)態(tài)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為靜態(tài)問(wèn)題解決,這是此類試題的解題策略．在具體解題中,通常有設(shè)而不求、化形為數(shù)、代數(shù)建模、代數(shù)消參、演繹推理等方法．

2.1 設(shè)而不求,以代數(shù)變形求“定值”

案例1（廣州2009年中考卷第24 題第（3）小題）如圖1,邊長(zhǎng)為1 的正方形ABCD被兩條與邊平行的線段EF、GH分割成四個(gè)小矩形,EF與GH交于點(diǎn)P．△GBF的周長(zhǎng)為1,求矩形EPHD的面積．

思路分析在△BGF周長(zhǎng)一定的條件下,點(diǎn)G、F在運(yùn)動(dòng),導(dǎo)致矩形EDPH的形狀也在變化,而要求矩形面積,說(shuō)明這個(gè)面積是一定的,這充分體現(xiàn)了“動(dòng)中寓定”特點(diǎn)．解題時(shí)可設(shè)出相關(guān)的量表示矩形面積,進(jìn)而通過(guò)代數(shù)變形求出面積．

圖1

試題簡(jiǎn)解設(shè)BF=x,GB=y,則FC=1-x,AG=1-y．由Rt△GBF的周長(zhǎng)為1 有BF+BG+GF=1,即,整理得

所以矩形EPHD的面積S=PH·EP=FC·AG=(1-x)(1-y)=xy-x-y+1=

顯然,這里的G、F是運(yùn)動(dòng)的,BF、GB的長(zhǎng)隨之而變化．解題中,用輔助未知數(shù)x、y表示BF、GB的長(zhǎng),將xy-x-y看成整體,通過(guò)代數(shù)變形得到目標(biāo)量為定值,這里運(yùn)用了“設(shè)而不求”的策略．

2.2 化形為數(shù),在數(shù)形轉(zhuǎn)換間找“定點(diǎn)”

案例2（廣州2018 24 題第（2）①小題）如圖2,已知拋物線y=x2+mx-2m-4(m ＞0)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)）,與y軸交于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)A、B、C作⊙P．試判斷:不論m取任何正數(shù),⊙P是否經(jīng)過(guò)y軸上某個(gè)定點(diǎn)？若是,求出該定點(diǎn)的坐標(biāo),若不是,說(shuō)明理由．

圖2

思路分析設(shè)y=x2+mx -2m -4(m ＞0) 與x軸相交于點(diǎn)A(x1,0),B(x2,0)與y軸相交于C(0,-2m-4),D(0,q),問(wèn)題的關(guān)鍵是:如何溝通x1,x2,-2m-4 和q之間,即線段OA、OB、OC、OD之間的關(guān)系．根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系有x1x2=-2m-4,對(duì)應(yīng)于拋物線有OA·OB=2m+4,OA·OB正是由三角形相似得到的兩線段之積,-2m-4 為函數(shù)y=x2+mx-2m-4 與軸y交點(diǎn)縱坐標(biāo)．

試題簡(jiǎn)解求得點(diǎn)A(2,0),B(-m-2,0),C(0,-2m-4),如圖2,設(shè)⊙P與y軸的另一交點(diǎn)為D,連接BC、DA,由△BCO∽△DAO易 得OA· OB=OC· OD,則2·(m+2)=(2m+4)· OD.所 以O(shè)D=1．故求得定點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1)．

該題將數(shù)量關(guān)系與圖形關(guān)系有機(jī)結(jié)合,把圓與三角形相似的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系來(lái)解決,體現(xiàn)了數(shù)與形的多次轉(zhuǎn)換特點(diǎn)，可謂巧奪天工．

2.3 代數(shù)建模,在模型建構(gòu)中找“定點(diǎn)”

案例3（廣州2016 卷第24 題（2）小題）已知拋物線y=mx2+(1-2m)x+1-3m,證明該拋物線一定經(jīng)過(guò)非坐標(biāo)軸上的一點(diǎn)P,并求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

思路分析函數(shù)表達(dá)式中除了變量x、y外,還有待定字母m,說(shuō)明圖像是隨著m的變化而變化的．“一定經(jīng)過(guò)”表示無(wú)論m取何實(shí)數(shù),圖像都經(jīng)過(guò)某一個(gè)定點(diǎn),即一定存在與m無(wú)關(guān)的x、y的具體對(duì)應(yīng)值,故可將函數(shù)表示為p·m+q形式（q為常數(shù)）,令其中的p=0．

試題簡(jiǎn)解y=mx2+(1-2m)x+1-3m=(x2-2x-3)m+x+1,依題意,令x2-2x-3=0,解得x1=-1,x2=3,此時(shí)y1=0,y2=4,故該拋物線一定經(jīng)過(guò)非坐標(biāo)軸上的點(diǎn)P,其坐標(biāo)為P(3,4)．

此類問(wèn)題一般方法是:構(gòu)造形如p·m+q（q為常數(shù)）的代數(shù)模型,要代數(shù)式的值是與m無(wú)關(guān)的常數(shù),必須令p=0．

2.4 代數(shù)消參,通過(guò)中間變量找“定線”

案例4（廣州2019年第25 題第（2）小題,問(wèn)題見(jiàn)文首）

思路分析求拋物線G1的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)x與縱坐標(biāo)y的函數(shù)關(guān)系,說(shuō)明x、y之間的關(guān)系與其他量無(wú)關(guān),而二者都可用m表示,故設(shè)法消去m即可．

試題簡(jiǎn)解y=mx2-2mx-3=m(x-1)2-m-3,頂點(diǎn)為(1,-m-3)．向右平移m個(gè)單位,則拋物線G1的頂點(diǎn)為(1+m,-m-3),其中x=1+m,y=-m-3．消去m得到y(tǒng)=-x-2．因?yàn)閽佄锞€G有最低點(diǎn),所以m ＞0,而m=x-1,所以x-1＞0,所以x ＞1．從而有y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=-x-2,x的取值范圍是x ＞1．

這里,拋物線G1的頂點(diǎn)位置不確定,但在某一確定的路線上運(yùn)動(dòng),要找橫坐標(biāo)x與縱坐標(biāo)y之間的直接關(guān)系,以m作為聯(lián)系x、y的紐帶與橋梁,通過(guò)消去m這個(gè)中間變量得到y(tǒng)與x的函數(shù)關(guān)系．

2.5 演繹推理,在幾何證明中找“定關(guān)系”

一些幾何問(wèn)題的圖形在變化,但圖形中的某些關(guān)系，如線段的和、差（或積、比）等保持不變,這種關(guān)系可以利用圖形性質(zhì),通過(guò)演繹推理來(lái)尋找并證明．

案例5（廣州2017年第25題第（2）小題）如圖3,⊙O的直徑AB=2,C為⊙O上一點(diǎn),且連接AC．直線l與⊙O相切于點(diǎn)C,在直線l上取一點(diǎn)D,使BD=AB,BD所在的直線與AC所在的直線相交于點(diǎn)E,連接AD．探究AE與AD的關(guān)系,并說(shuō)明是否為變中不變？若是,請(qǐng)求出這個(gè)變中不變:若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由．

圖3

思路分析以點(diǎn)B為圓心、AB為半徑畫(huà)弧與直線l有兩個(gè)交點(diǎn),因此,滿足條件的圖形有兩種（如圖4）,但兩圖形都可以直觀看出值為2．

圖4

以圖4(1)為例,連接BC,由條件易證∠ECD=135°、AD平分∠CDE,若要AE=AD,則有∠E=∠ADB=∠ADC,則要3∠ADB=45°,即∠ADB=15°或∠CDB=30°,考慮構(gòu)造含有∠CDB的直角三角形和CD//AB,故過(guò)點(diǎn)B作BH ⊥CD于點(diǎn)H,設(shè)法證由于BD=AB,BH=OC=．要說(shuō)明的值為2,只要證明考慮到BE為Rt△BEC的斜邊,取BE中點(diǎn)M,連接CM,則只要證CM=CD,即證∠CMD=∠CDM,而∠CMD=2∠E=30°,∠CDB=30°,結(jié)論顯而易見(jiàn)．

圖5

該題具有三個(gè)特點(diǎn):一是知識(shí)的綜合性．從知識(shí)上說(shuō),本題考查了圓的切線的性質(zhì)、弧與弦的關(guān)系、兩種特殊直角三角形的性質(zhì)；二是方法的多樣性．試題除了用純幾何方法證明,也可用代數(shù)計(jì)算的方法證明．如圖5設(shè)BE與⊙O相交于點(diǎn)F,連接AF,在而B(niǎo)D=BA=2,所以所以而Rt△HBD中,DH=BD·sin 30°==1=CH,所以所以比較而言,用純幾何方法顯得簡(jiǎn)捷；三是思維的統(tǒng)一性．盡管滿足條件的圖形有兩種情形,但其思維方式都是一致的．“探究AE與AD關(guān)系”時(shí)都是作BH ⊥CD證而得到∠BDC=30°,“說(shuō)明為變中不變”時(shí)都是取BE中點(diǎn)M證CM=CD．

這里的“變中不變”的含義是:根據(jù)條件畫(huà)出圖形有兩種,但都有的值不變．就其中某一個(gè)圖形而言,其形狀及各元素之間的關(guān)系是確定的,因此的值必然一定．或許為了降低難度,命題者添加了“直徑AB=2”的條件,試圖引導(dǎo)學(xué)生用計(jì)算方法證明,但這限制了學(xué)生的思維,因?yàn)槿サ暨@個(gè)條件不影響結(jié)論的成立．

3 “變中不變”類試題命題策略

“變中不變”類試題的命題策略是“以定謀動(dòng)”,即從“定”出發(fā),向“動(dòng)”的方向發(fā)展．命題者對(duì)問(wèn)題中“定”的元素了然于心,把靜態(tài)問(wèn)題動(dòng)態(tài)化,將某些量或圖形（包括點(diǎn)、線等）相關(guān)元素“動(dòng)”起來(lái),在運(yùn)動(dòng)中蘊(yùn)涵著不變的數(shù)量與圖形．問(wèn)題結(jié)論大多為求某個(gè)量的值、確定某個(gè)點(diǎn)的位置,或證明某個(gè)量的關(guān)系不變、某個(gè)圖形確定．仔細(xì)研究廣州“變中不變”問(wèn)題,不少題可以尋找到問(wèn)題的源頭,有些題可作為原型演變出新的“變中不變”問(wèn)題．這里著重就試題“從哪里來(lái)、往哪里去”談?wù)劇耙远ㄖ\動(dòng)”的命題策略.

3.1 試題從哪里來(lái)?

為確保試題的公平性,中考?jí)狠S題一般以原創(chuàng)為主．但原創(chuàng)并不意味著“無(wú)中生有”,一些命題思想、試題素材都有源可溯．有的以教材知識(shí)和思想方法為素材,有的直接取材于課本的例習(xí)題,還有的來(lái)源于經(jīng)典的數(shù)學(xué)問(wèn)題．“變中不變”類試題所選取的素材看似靜態(tài)的、不變的,但卻蘊(yùn)涵著變化的因子．

3.1.1 從課本知識(shí)中來(lái)

有些問(wèn)題看似陌生,仔細(xì)研究發(fā)現(xiàn),試題源頭就隱藏于教材內(nèi)容與數(shù)學(xué)知識(shí)之中．

在案例3 中,對(duì)于函數(shù)y=(x2-2x-3)m+x+1,要x、y的對(duì)應(yīng)關(guān)系不受m的影響,只有x2-2x-3=0．這種思路在教學(xué)內(nèi)容中有沒(méi)有源頭？答案是肯定的．在研究正比例函數(shù)y=kx（0、k為常數(shù)）時(shí),所有教材都這這樣一段文字:“一般地,正比例函數(shù)y=kx的圖像是一條經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線”．為什么一定“經(jīng)過(guò)原點(diǎn)”呢？因?yàn)樵趛=kx中,當(dāng)x=0 時(shí),y=k×0=0 是一個(gè)不受k值影響的確定值,故“y=kx的圖像一定經(jīng)過(guò)原點(diǎn)(0,0)”．同樣,“不論k為何值,的圖像一定經(jīng)過(guò)(0,b)”也是這個(gè)道理．這里的“經(jīng)過(guò)原點(diǎn)”、“經(jīng)過(guò)(0,b)”的結(jié)論看似尋常,其實(shí)這正是函數(shù)圖像“經(jīng)過(guò)定點(diǎn)”的思維本源．

在案例4 中,求“拋物線G1頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)y與橫坐標(biāo)x之間的函數(shù)關(guān)系式”,x、y都可以用m的代數(shù)式表示為x=1+m、y=-m-3,這里的m是中間變量,一種方法是兩式相加得x+y=-2,從而有y=-x-2,這種方法的本質(zhì)是二元一次方程組解法的“加減消元法”；也可由x=1+m得m=x-1,代入y=-m-3 有y=-(x-1)-3=-x-2．這種方法的本質(zhì)是二元一次方程組的“代入消元法”．

案例6（廣州市2013年中考題第24 題第（2）②小題）已知AB是⊙O的直徑,AB=4,點(diǎn)C在線段AB的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)D在⊙O上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)B重合）,連接CD,且CD=OA．當(dāng)時(shí),CD所在直線與⊙O的另一交點(diǎn)為E,連接AE、OD．是否存在四邊形AODE為梯形？若存在,請(qǐng)說(shuō)明梯形個(gè)數(shù)并求此時(shí)AE·ED的值:若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由．

圖6

滿足條件的梯形有2 個(gè),圖6是D點(diǎn)位于AB上方的情形．連接OE,易證△ODE∽△COE,有所以CE· DE=OE2=22=4．由AE=CE可得AE·DE=CE·DE=4．

這是將AE·DE作為一個(gè)整體,巧妙地利用了相似三角形即可,避免了復(fù)雜的運(yùn)算．事實(shí)上,滿足條件的圖形是確定的,圖中包括CE、DE在內(nèi)的所有線段長(zhǎng)度都可求出．設(shè)DE=x,由得解得所以故只是將AE·DE作為整體更簡(jiǎn)捷一些．

圖7

該題原型就是教材中的“黃金三角形”．案例6 的本質(zhì)就是:如圖7,△AEC中,O、D分別是AC、BC上的點(diǎn),且AO=OD=CD=OE,OD//AE,有如下結(jié)論:①圖形所有的三角形都是都是黃金三角形；②點(diǎn)O、D分別為AC、CE的黃金分割點(diǎn)；③∠A=∠C=∠EOD=∠AEO=36°,圖中所有角都為36 度的倍數(shù)；④圖中只要知道任意一條線段長(zhǎng),就能求出其他所有線段長(zhǎng)．

3.1.2 從教材習(xí)題中來(lái)

一些“變中不變”類試題題直接取材于教材的例習(xí)題,并適當(dāng)變式,或添加一些背景,或與其他在結(jié)合,編制出新的數(shù)學(xué)試題．

圖8

案例7(2010年廣州中考卷第25 題第（2）小題)如圖8,四邊形OABC是矩形,點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為(3,0),(0,1),點(diǎn)D是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)B、C不重合),過(guò)點(diǎn)D作直線交折線OAB于點(diǎn)E．當(dāng)點(diǎn)E在線段OA上時(shí),若矩形OABC關(guān)于直線的對(duì)稱圖形為四邊形OA1B1C1,試探究OA1B1C1與矩形OABC的重疊部分的面積是否發(fā)生變化,若不變,求出該重疊部分的面積；若改變,請(qǐng)說(shuō)明理由．

設(shè)O1A1與CB相交于點(diǎn)M,OA與C1B1相交于點(diǎn)N,重合部分DNEM是菱形,作DH ⊥ NE,則菱形DNEM的面積為DH· NE．由于該菱形高DH不變,由知:∠DEN保持不變,則有因此,無(wú)論怎么移動(dòng),只要保持矩形等寬、兩矩形的邊相交所成的角一定,重疊部分的面積必然保持不變,顯然屬于“變中不變”問(wèn)題．

圖9

研究教材發(fā)現(xiàn):該題的原型就來(lái)自于課本．一是人教版教科書(shū)八年級(jí)下冊(cè)第十八章第58頁(yè)的練習(xí)第3 題:如圖9-1,兩張等寬的紙條交叉疊放在一起,重合部分構(gòu)成的四邊形ABCD是一個(gè)菱形嗎？為什么？二是蘇科版數(shù)學(xué)教科書(shū)八年級(jí)下冊(cè)第九章《中心對(duì)稱圖形——平行四邊形》第94頁(yè)復(fù)習(xí)題第15 題:如圖10-2,由兩個(gè)等寬的矩形疊合而得到的四邊形ABCD是菱形嗎？說(shuō)明你的結(jié)論．

3.1.3 從經(jīng)典問(wèn)題中來(lái)

有許多經(jīng)典的數(shù)學(xué)問(wèn)題,通過(guò)命題者包裝、嫁接、移植等改造,如條件結(jié)論交換、弱化條件、融入新的背景等,就可成為“變中不變”問(wèn)題．

圖10

案例5 就是由一道經(jīng)典問(wèn)題改編而來(lái):如圖10,過(guò)正方形ABCD的頂點(diǎn)B的直線l//AC,E為直線l上一點(diǎn),EC=AC,直線EC與直線AB相交于點(diǎn)F,求證:AF=AE,BE=．將該題中的正方形ABCD改成以AC為直徑的圓,取半圓弧的中點(diǎn)B,過(guò)點(diǎn)B作該圓的切線l（以下相同）,即將與正方形有關(guān)的經(jīng)典問(wèn)題加入圓的背景,其他條件不變,就變成了一道中考?jí)狠S題．而案例8則是將矩形問(wèn)題置于直角坐標(biāo)系背景下,從而命制出了一道“變中不變”試題．

3.2 試題往哪里去?

好的中考試題不僅考查數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)素養(yǎng),還應(yīng)該具有充分的發(fā)展性,讓研究者有回味無(wú)窮的感覺(jué)．這里通過(guò)對(duì)案例1 的深入探究,說(shuō)明“變中不變”類試題的發(fā)展性指向．

思考1:該題可否一般化呢？如圖11,正方形ABCD的邊長(zhǎng)與Rt△GBF的周長(zhǎng)均為a,矩形EPHD的面積還是僅與a有關(guān)的值嗎？

設(shè)BF=x,GB=y,則FC=a-x,AG=a-y．由Rt△GBF的周長(zhǎng)為a有:BF+BG+GF=a,即x+y+整理得xy-ax-．所以矩形EPHD的面積S=PH·EP=FC·AG=(a-x)(a-y)=xy-ax-ay+a2=

圖11

思考2:當(dāng)正方形ABCD的邊長(zhǎng)與△GBF周長(zhǎng)均為a時(shí),矩形EPHD的面積為．這個(gè)結(jié)論是不是巧合呢？如果條件改為矩形EPHD的面積是只與a有關(guān)而與點(diǎn)G、F位置（即x、y的大?。o(wú)關(guān)的定值,那么正方形ABCD的邊長(zhǎng)與△GBF周長(zhǎng)一定相等嗎？

問(wèn)題即:設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為常數(shù)a,△GBF的周長(zhǎng)為l,當(dāng)l滿足什么條件時(shí),矩形EPHD的面積是一個(gè)與點(diǎn)G、F位置無(wú)關(guān)的常數(shù)？

設(shè)BF=x,GB=y,則FC=a-x,AG=a-y．由Rt△GBF的 周長(zhǎng)為l有:BF+BG+GF=l,即整理得所以矩形EPHD的面積S=PH·EP=FC·AG=(a-x)(a-y)=xy-a(x+y)+a2=l(x+y)- a(x+y)+a2=(l-a)(x+y)+a2

因?yàn)镚、F位置變化,所以x+y大小可能變化,要使矩形EPHD面積與G、F位置無(wú)關(guān),即與x+y的大小無(wú)關(guān),必須有l(wèi)-a=0 即,此時(shí)矩形EPHD的面積由此可見(jiàn):若要使矩形EPHD的面積與點(diǎn)G、F位置無(wú)關(guān),正方形ABCD邊長(zhǎng)與△GBF周長(zhǎng)必須都是同一個(gè)確定的值．

思考3:x、y的范圍是什么？

點(diǎn)G、F是正方形的邊AB、BD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),那么,點(diǎn)G、F可以在邊上任意運(yùn)動(dòng)嗎？即x、y是不是有一定的范圍呢？無(wú)論G、F如何運(yùn)動(dòng),但要確?！鰾GF的周長(zhǎng)等于正方形的邊長(zhǎng)．取極端的位置:當(dāng)其中一點(diǎn)與B重合時(shí),另一點(diǎn)只能在所在邊的中點(diǎn)上．事實(shí)上由于條件中要△BGF存在,G、F不可能與點(diǎn)B及所在邊中點(diǎn)重合,故其實(shí),也可通過(guò)定量計(jì)算求該范圍:設(shè)y趨向于0,因?yàn)閯t有所以對(duì)y亦然．

思考4:如何作出滿足條件的圖形？

如圖12,在BC取點(diǎn)F(0＜BF＜BC),在過(guò)點(diǎn)F的BC的垂線上截取FH=BF,連接CH,作CH的垂直平分線交CF于點(diǎn)K,以F為圓心、CK為半徑畫(huà)弧交AB于點(diǎn)G．則△GBF滿足條件．

圖12

思考5:問(wèn)題可否一般化？

圖13

（1）正方形改為菱形,結(jié)論如何？如圖13,菱形ABCD的邊長(zhǎng)為a,∠B=α(0＜α＜90°),G、F分別為AB、BC上兩點(diǎn),△GBF的周長(zhǎng)為m,GH//AD交CD于點(diǎn)H,EF//AB交AD于點(diǎn)F,EF與GH交于點(diǎn)P．當(dāng)m滿足什么條件時(shí),平行四邊形EPHD的面積是一個(gè)只與長(zhǎng)度a和角α有關(guān)的量？這個(gè)面積是多少？(解答略)

（2）將正方形改為等邊三角形,結(jié)論如何？

如圖14,△ABC是邊長(zhǎng)一定的等邊三角形,D、E分別是AB、BC上的兩動(dòng)點(diǎn),DF//AC交BC于點(diǎn)F,EG//AB交AC于點(diǎn)G．設(shè)△BDE的周長(zhǎng)與△ABC的周長(zhǎng)之比為k．

②是否存在實(shí)數(shù)k,使△CFG的面積只與△ABC的邊長(zhǎng)有關(guān)？如果存在,求出k值；如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由．（解答略）

思考6:就案例1 而言,當(dāng)△BGF的周長(zhǎng)為正方形ABCD邊長(zhǎng)的2 倍時(shí),∠GDF的大小也保持不變(為45°)．具體證明不再贅述．

本文從正方形ABCD的邊長(zhǎng)與△BFG周長(zhǎng)為具體數(shù)值1 換為字母a,到研究“矩形EPHC面積不變時(shí)正方形ABCD的邊長(zhǎng)與△BFG周長(zhǎng)的相關(guān)性”,進(jìn)而再研究“線段長(zhǎng)度的范圍”、“圖形的作法”,最后思考“圖形的一般化（正方形改為菱形、等邊三角形）時(shí)的不變性”,經(jīng)歷了從特殊到一般、從量的變化到質(zhì)的變化,再到滿足圖形面積不變性條件探究,這些成果可以命制成創(chuàng)新試題．

對(duì)于數(shù)學(xué)教師而言,解題并非試題研究的終結(jié)．要進(jìn)一步深入研究試題的命題意圖、數(shù)學(xué)本質(zhì)和來(lái)龍去脈．

4 結(jié)語(yǔ)

以上分析不難看出,廣州市近11年的數(shù)學(xué)中考?jí)狠S題始終堅(jiān)守了“變中不變”的命題導(dǎo)向．其命題策略是“以定謀動(dòng)”,解題策略為“動(dòng)中寓定”．許多“變中不變”類試題源于教材、源于基礎(chǔ)知識(shí)、源于經(jīng)典問(wèn)題．無(wú)論試題如何千變?nèi)f化,“四基”始終是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的有效載體．“變中不變”類試題的解決基于必備的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)技能、基本思想方法和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),而這些皆隱藏在問(wèn)題的背后,需要解題者看清問(wèn)題真相、抓住問(wèn)題實(shí)質(zhì),以“不變”應(yīng)“萬(wàn)變”．命題導(dǎo)向與命題方式要凸顯命題者的高觀點(diǎn)、新立意,也要體現(xiàn)依標(biāo)據(jù)本、基于學(xué)情的要求,這種命題導(dǎo)向值得數(shù)學(xué)命題者和試題研究者借鑒．