查星星，程一元

(巢湖學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,安徽 合肥 238000)

0 引 言

在無窮區(qū)間上，Szász-Mirakyan算子是近似函數(shù)的主要工具之一，具有簡單而實用的結(jié)構(gòu)，長期受到學(xué)者們關(guān)注。隨著q微積分在逼近論中的發(fā)展，q-Szász-Mirakyan算子[1]被提出，并研究其逼近性質(zhì)。同時，q微積分也廣泛應(yīng)用于其它正線性算子，出現(xiàn)了大量q型算子，如q-Bernstein-Schurer-Kantorovich算子[2]、q-Bernstein-Schurer算子[3]、q-Baskakov-Stancu-Kantorovich算子[4]等。

由于q微積分的推廣，(p,q)微積分也相繼引入正線性算子的研究。2015年，M.Mursaleen在文獻(xiàn)[5]中首次應(yīng)用(p,q)微積分構(gòu)造出(p,q)-Bernstein算子，實現(xiàn)了q型算子的推廣。之后，大量(p,q)型算子被相繼提出。2015年，文獻(xiàn)[6]基于(p,q)-Jackson積分構(gòu)造出(p,q)-Szász-Mirakyan-Kantorovich算子。2016年，文獻(xiàn)[7]介紹了(p,q)-Szász-Mirakyan算子，并證明該算子的加權(quán)逼近定理、收斂速度及Voronovskaja定理。同年，文獻(xiàn)[8]應(yīng)用(p,q)-Jackson積分構(gòu)建另一種(p,q)-Szász-Mirakyan-Kantorovich算子并給出相關(guān)的逼近定理。由(p,q)-Jackson積分定義易知，構(gòu)造以上2種(p,q)-Szász-Mirakyan-Kantorovich算子的函數(shù)f必須為非減函數(shù)，表明在應(yīng)用這2種算子處理逼近問題時存在一定的局限性。為了解決此局限性，本文去除前面(p,q)-Szász-Mirakyan-Kantorovich算子中非減函數(shù)的條件，利用(p,q)-Riemann積分重新定義一種新型的(p,q)-Szász-Mirakyan-Kantorovich算子，并證明其逼近定理。

1 相關(guān)定義及引理

設(shè)0

(p,q)-Riemann積分的定義：設(shè)f為任意函數(shù)，0≤a

(1)

(p,q)-Jackson積分[7]的定義：

則在[a,b]上的(p,q)-Jackson積分[7]為：

(2)

定義1[6]設(shè)0

(3)

利用(p,q)-Riemann積分定義式(1)構(gòu)造新型(p,q)-Szász-Mirakyan-Kantorovich算子，定義如下：

定義2設(shè)f為[0,∞)的連續(xù)函數(shù)，0

(4)

引理1[6]設(shè)0

Sn,p,q(1;x)=1

Sn,p,q(t;x)=qx

引理2設(shè)0

證明通過(p,q)-Riemann積分定義及[k+1]p,q=p[k]p,q+qk計算易得結(jié)論，證畢。

引理3設(shè)0

證明由(p,q)-Szász-Mirakyan-Kantorovich算子定義式(4)及引理1、引理2，計算可得結(jié)論，證畢。

引理4設(shè)0

證明根據(jù)(p,q)-Szász-Mirakyan-Kantorovich算子的線性性質(zhì)，并結(jié)合引理3易得結(jié)論，證畢。

其中α,β,γ為實數(shù)。

推論由注釋的內(nèi)容，可得以下等式：

2 主要結(jié)果

B2[0,∞)={f∶[0,∞)→R;|f(x)|≤Mf(1+x2)}，其中Mf是依賴于函數(shù)f有關(guān)的常數(shù)。記函數(shù)類

C2[0,∞)=B2[0,∞)∩C[0,∞),

證明根據(jù)Korovkin定理易知，只需證

用同樣的方法，可得m=2時，

|f(t)-f(x)|≤|f(t)-f(x0)|+|f(x)-f(x0)|

所以

采用α階Lipschitz型極大函數(shù)對算子逼近速度進(jìn)行估計，此函數(shù)為：

定理3設(shè)0<α≤1,f∈CB[0,∞),則?x∈[0,∞)都有

證明根據(jù)α階Lipschitz型極大函數(shù)的定義可知

于是有

證畢。

下面介紹(p,q)-Szász-Mirakyan-Kantorovich算子的Voronovskaja定理。

由Cauchy-Schwartz不等式計算得

結(jié)合推論可得

證畢。

3 結(jié)束語

本文在原有的(p,q)-Szász-Mirakyan-Kantorovich算子的基礎(chǔ)上，除去f為非減函數(shù)的條件，重新構(gòu)造新型(p,q)-Szász-Mirakyan-Kantorovich算子，并討論其逼近結(jié)論，從而進(jìn)一步推廣了之前的逼近效果。