湖北省武昌實(shí)驗(yàn)中學(xué) (430061) 彭 景廣東省珠海市實(shí)驗(yàn)中學(xué) (519090) 王恒亮

問題(1999年俄羅斯數(shù)學(xué)奧賽試題)設(shè)x,y≥0,x2+y3≥x3+y4,求證：x3+y3≤2.

最近筆者對(duì)該問題作了進(jìn)一步探究，得到一些相關(guān)結(jié)果，現(xiàn)與讀者共享.

1.新的不等式鏈

結(jié)論1 設(shè)x,y≥0,x2+y3≥x3+y4,則x3+y3≤x2+y2≤x+y≤2.

綜上可得x3+y3≤x2+y2≤x+y≤2.

2.結(jié)論的再推廣

結(jié)論2 設(shè)x,y≥0,xr-1+yr≥xr+yr+1,則

xr+yr≤xr-1+yr-1≤xr-2+yr-2≤….

特別地，若r∈N+,則xr+yr≤xr-1+yr-1≤xr-2+yr-2≤…≤x+y≤2.

類似地，利用數(shù)學(xué)歸納法，我們可以得到更一般的結(jié)論.