江蘇省陶都中等專(zhuān)業(yè)學(xué)校(丁蜀校區(qū)) (214221) 潘 靜

2019年江蘇高考在社會(huì)各界的眾說(shuō)紛紜中落下帷幕，就難易而言，見(jiàn)仁見(jiàn)智.綜觀(guān)高考試題，筆者的總體感受為：試題親和顯平穩(wěn)，適度創(chuàng)新助區(qū)分，多元表征引思辨，思維拔節(jié)自然成.顯然，整卷有效落實(shí)了立德樹(shù)人，課程育人的宏觀(guān)目標(biāo)，也為高校選拔人才提供了實(shí)證性依據(jù)，命題設(shè)計(jì)遵循《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》,依據(jù)《江蘇省2019高考考試說(shuō)明》(以下簡(jiǎn)稱(chēng)《考試說(shuō)明》)，全方位、多角度地考查了高中數(shù)學(xué)的主干知識(shí)和基本思想方法，突出了創(chuàng)新能力和應(yīng)用意識(shí)的要求，加強(qiáng)對(duì)不同層次學(xué)生的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力有效檢測(cè)和診斷，進(jìn)而為后續(xù)的高中數(shù)學(xué)教學(xué)提供精準(zhǔn)導(dǎo)向.下面筆者從通性通法的視角解讀2019年江蘇高考數(shù)學(xué)試題，借以闡明優(yōu)效復(fù)習(xí)的策略和數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力進(jìn)階培養(yǎng)的途徑.

一、何謂“通性通法”

所謂“通性通法”，是指具有規(guī)律性和普適性的常規(guī)解題模式以及常用的數(shù)學(xué)思想方法.由于“通性通法”是學(xué)生思維素養(yǎng)的根基，也是后續(xù)可持續(xù)發(fā)展原動(dòng)力，因此，新課標(biāo)提出：“注重通性通法，淡化特殊技巧”，《考試說(shuō)明》也明確要求：“突出數(shù)學(xué)基本知識(shí)、基本技能、基本思想方法的考查”，這也充分體現(xiàn)高考對(duì)通性通法考查的重視.

二、通性通法的考情分析

1.基本知識(shí)的考查

2019年江蘇高考數(shù)學(xué)試題考查的知識(shí)點(diǎn)分布如下：

表1 填空題

表2 解答題

表1呈現(xiàn)高中階段基礎(chǔ)知識(shí)的全覆蓋，分層次考查學(xué)生的邏輯思維能力、運(yùn)算能力、空間想象能力和創(chuàng)新能力.試題以知識(shí)為載體，堅(jiān)持能力立意，素養(yǎng)導(dǎo)向.從學(xué)習(xí)進(jìn)階理論的視角分析，數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力可分為三個(gè)層級(jí)：層級(jí)一，初步形成；層級(jí)二，經(jīng)驗(yàn)積累；層級(jí)三，系統(tǒng)整合.通常情況下，1-10題考查學(xué)生能在具體、單一的知識(shí)單元中理解陳述性知識(shí)(如數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)原理等)，對(duì)于程序性知識(shí)(如數(shù)學(xué)技能等)能模仿操作，能使用本單元的知識(shí)、規(guī)則和方法解決簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題并進(jìn)行簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)符號(hào)化表達(dá)，屬于能力層級(jí)一；11,12題考查學(xué)生能在具體、多個(gè)知識(shí)單元中，體會(huì)不同單元內(nèi)容之間的內(nèi)在聯(lián)系，體會(huì)程序性知識(shí)之間的共性，體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法的價(jià)值和意義，能用已掌握的知識(shí)、規(guī)則和方法解決比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題并能進(jìn)行規(guī)范的數(shù)學(xué)符號(hào)化表達(dá)，屬于能力層級(jí)二；13,14題考查學(xué)生能在抽象、復(fù)雜的新情境中，綜合運(yùn)用已有的知識(shí)，有意識(shí)地、主動(dòng)地、靈活選擇和熟練運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行探究，并能用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言清晰、準(zhǔn)確地表達(dá)，屬于能力層級(jí)三.今年的試題13,14一改“面目猙獰”的舊貌，取而代之的是“春風(fēng)拂面，親切溫和”的三角函數(shù)和分段函數(shù)題，而試題12卻“異軍突起”，能力要求充分彰顯綜合性和靈活性，沒(méi)有深厚的運(yùn)算功底和靈活的轉(zhuǎn)化意識(shí)是很難得到正確的結(jié)果的.

表2呈現(xiàn)江蘇高考的六大經(jīng)典題型，凸顯了高中知識(shí)體系中最核心的六個(gè)板塊.其中三角函數(shù)、立體幾何的難度與往年持平，圓錐曲線(xiàn)一直讓學(xué)生“望而生畏”，復(fù)雜的運(yùn)算量成為學(xué)生“過(guò)不去的坎”，而今年的圓錐曲線(xiàn)依然前置于應(yīng)用題，與2018年高考解析幾何題類(lèi)似，直線(xiàn)、圓、橢圓齊聚一堂，上演了“桃園三結(jié)義”的戲碼，演繹“思維故事”，其問(wèn)題(1)涉及橢圓的定義、焦點(diǎn)、兩點(diǎn)間的距離、橢圓方程等重點(diǎn)知識(shí)，在靜態(tài)的條件下求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；問(wèn)題(2)涉及垂直、共線(xiàn)、共點(diǎn)、對(duì)稱(chēng)等重點(diǎn)知識(shí)，側(cè)重考查學(xué)生對(duì)知識(shí)的綜合運(yùn)用能力.基于SOLO分類(lèi)理論對(duì)試題的能力層級(jí)進(jìn)行評(píng)價(jià)：?jiǎn)栴}(1)處于單點(diǎn)結(jié)構(gòu)和多點(diǎn)結(jié)構(gòu)，要求學(xué)生能聯(lián)系單一事件，鎖定一個(gè)線(xiàn)索直奔結(jié)論，或者能聯(lián)結(jié)多個(gè)孤立事件，但尚未構(gòu)成問(wèn)題的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)；問(wèn)題(2)處于關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)，要求學(xué)生能依托某個(gè)事件聯(lián)想遷移，并能將多個(gè)事件聯(lián)系起來(lái).此題解法較常規(guī)，運(yùn)算量適中，只需思路清晰，定可迎刃而解.作為壓軸題之一的第19題，一改以往的“繁、難、巧”之姿，取而代之的是“靈、易、活”之態(tài)，背景親切，入口較寬，只需掌握此類(lèi)問(wèn)題的通法定可“跳一跳，摘得到”.依據(jù)SOLO分類(lèi)理論評(píng)價(jià)此題，問(wèn)題(1)處于單點(diǎn)結(jié)構(gòu)，問(wèn)題(2)處于多點(diǎn)結(jié)構(gòu)，問(wèn)題(3)處于關(guān)聯(lián)拓展結(jié)構(gòu)，顯然遵循思維層級(jí)的逐步進(jìn)階，關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知差異，具有較強(qiáng)的區(qū)分和選拔功能，有效落實(shí)了讓不同層次的學(xué)生得到不同程度的發(fā)展這一課程目標(biāo).

2.基本方法的考查

2019年江蘇高考試題處處體現(xiàn)人文關(guān)懷，以人為本，尊重差異.問(wèn)題背景熟悉，問(wèn)題表征明確，問(wèn)題梯度合理，學(xué)生只需立足基本方法和基本思想，通過(guò)自身努力，一定能獲得成功的體驗(yàn)和挑戰(zhàn)的樂(lè)趣.具體而言：填空1到9題及15、16題只需運(yùn)用基本概念、基本定理即可解決，其他題目依據(jù)基本方法、基本思想也不難解決，比如題10，利用函數(shù)解析式設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，依據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式、基本不等式求出最值，再如向量題12，眾多學(xué)生口中的“棘手題”，其實(shí)用最樸素的“基向量”思想，將相關(guān)向量選取合適的基底向量進(jìn)行分解表示即可輕松解決，當(dāng)然采用“坐標(biāo)化”的思想也是常規(guī)思維.作為填空壓軸題14，也是平時(shí)模擬訓(xùn)練中的“?？汀保恍枥煤瘮?shù)性質(zhì)，作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合，以形助數(shù)，準(zhǔn)確作答并非難事.顯而易見(jiàn)，命題著眼于基本方法和基本思想的考查，全卷彰顯學(xué)生思維的自然流暢.以下選取典型問(wèn)題加以闡釋.

圖1

分析：本題的命題風(fēng)格注重綜合性和關(guān)聯(lián)性，涉及的知識(shí)都是學(xué)生非常熟悉且必須掌握的，比如向量共線(xiàn)定理、平面向量基本定理、數(shù)量積的表示、平面幾何背景等，考查學(xué)生的多元表征能力和轉(zhuǎn)化化歸能力.此題入口較寬，解法多樣，思維自然，運(yùn)算適度，具有較高的區(qū)分度，也比較契合學(xué)習(xí)進(jìn)階理論所提倡的“尊重學(xué)生的認(rèn)知差異，讓不同的學(xué)生獲得不同的思維進(jìn)階”.

視角1基底搭橋，通法為上

視角2立足平幾，舉重若輕

若能關(guān)注點(diǎn)D，點(diǎn)E的特殊位置，聯(lián)系初中平面幾何中作平行線(xiàn)構(gòu)造比例線(xiàn)段的常用策略，那么運(yùn)算可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化.可見(jiàn)，激活學(xué)生原有的經(jīng)驗(yàn)?zāi)K，回溯問(wèn)題的幾何本質(zhì)，利于思維路徑的優(yōu)化.

圖2

視角3等價(jià)轉(zhuǎn)化，積淀模型

數(shù)學(xué)解題從本質(zhì)而言就是不斷地轉(zhuǎn)化與化歸，遇到新的問(wèn)題情境，要善于捕捉條件與結(jié)論中的提示信息，聯(lián)系已有的經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ秃头椒Ｐ停行нm配和轉(zhuǎn)化，形成清晰順暢的思維程式，并自覺(jué)固化，適時(shí)遷移.

圖3

視角4特殊建系，以簡(jiǎn)馭繁

作為填空題，在不追求解題過(guò)程十分嚴(yán)謹(jǐn)?shù)那疤嵯拢厥饣幚硗梢浴俺銎嬷苿佟?當(dāng)然，特殊化并非任性使用，而是有跡可循的.從此題的結(jié)論分析，所求結(jié)果為比值，說(shuō)明與AB，AC的具體長(zhǎng)度無(wú)關(guān)，進(jìn)而合情推理可知與ΔABC的形狀無(wú)關(guān)，這樣特殊化處理就顯得有理有據(jù).

圖4

當(dāng)然，建系方式不拘一格，比如以B為原點(diǎn)，BC為x軸正半軸建系，也可以E為原點(diǎn)，EC為x軸正半軸建系，甚至可以設(shè)AB⊥EC，這樣即可以EC，EA為x軸，y軸建系.是否可以求得正確結(jié)果，留待讀者自己驗(yàn)證.

點(diǎn)評(píng)：此題常規(guī)中蘊(yùn)含創(chuàng)新，通法中不失變化.考查內(nèi)容指向向量中的基礎(chǔ)知識(shí)和基本思想方法，命題背景也是歷年模擬和高考試題中經(jīng)常出現(xiàn)的，給人以“似曾相識(shí)燕歸來(lái)”之感.由于此題解法多樣，內(nèi)涵豐富，因此能有效區(qū)分學(xué)生的邏輯推理能力、運(yùn)算能力和創(chuàng)新能力，也將轉(zhuǎn)化與化歸思想根植于學(xué)生的思維邏輯之中，完全吻合深化普通高中課程改革的方向.一言蔽之，本題能力立意精心，育人價(jià)值高遠(yuǎn).

圖5

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)求點(diǎn)E的坐標(biāo).

分析：解析幾何歷來(lái)是高考的重點(diǎn)，考查學(xué)生的運(yùn)算能力一直是學(xué)生的“軟肋”，而今年的圓錐曲線(xiàn)命題立意在于控制運(yùn)算，凸顯思辨.試題涉及直線(xiàn)方程、圓方程，直線(xiàn)與圓、直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，橢圓方程、橢圓的幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，綜合考查分析問(wèn)題和運(yùn)算求解的能力.值得一提，本題蘊(yùn)含橢圓的一種對(duì)稱(chēng)美，也可以用橢圓的對(duì)稱(chēng)性簡(jiǎn)化運(yùn)算，引導(dǎo)學(xué)生追溯數(shù)學(xué)本質(zhì)和品味數(shù)學(xué)之美.

這樣處理的依據(jù)為DF2的幾何特征是通徑的一半，其實(shí)也可從橢圓的定義入手，思路也很自然.

(2)標(biāo)準(zhǔn)答案和學(xué)生使用的方法都是聯(lián)立直線(xiàn)與圓方程，聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程解交點(diǎn)，這是解析幾何中最樸實(shí)也是最重要的思想和方法，指向知識(shí)體系的本源與核心.

倘若能關(guān)注圓F2半徑為2a，橢圓的定義中也有2a，這絕非偶然，由此產(chǎn)生結(jié)構(gòu)性聯(lián)想，理性數(shù)量關(guān)系，一種輕巧的解法應(yīng)運(yùn)而生.

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于本題，顛覆了我們對(duì)解析幾何題“繁、難、怪”的慣性認(rèn)知，考查內(nèi)容簡(jiǎn)樸、明晰，充分彰顯解析幾何的本質(zhì)特征，坐標(biāo)與方程在直線(xiàn)、圓、橢圓相互聯(lián)系中應(yīng)用廣泛，符合江蘇考試說(shuō)明中B級(jí)、C級(jí)考點(diǎn)要求.橢圓的對(duì)稱(chēng)性在江蘇高考中“頻頻亮相”，值得我們關(guān)注，在本題中，若能透析問(wèn)題的幾何背景，那么妙法可成，簡(jiǎn)中蘊(yùn)道.

三、教學(xué)啟示

高考雖然已經(jīng)謝幕，但留個(gè)我們的思考是長(zhǎng)遠(yuǎn)的.對(duì)高考試題理性分析，有助于矯正和優(yōu)化后續(xù)的教學(xué)決策.從考題之變、復(fù)習(xí)之失、學(xué)生之惑反思教學(xué)實(shí)踐，務(wù)必從精準(zhǔn)、夯實(shí)、激活等方面提升教學(xué)效能，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的可持續(xù)發(fā)展.

1.根植教材，夯基固本

江蘇高考秉持立足教材，立足通性通法的命題理念，高考試題的命題背景并非無(wú)本之木、無(wú)源之水，題源大多來(lái)自教材中的概念、公式、定理、例題、習(xí)題等，只不過(guò)經(jīng)過(guò)一些改編或多次復(fù)合而已，正所謂“問(wèn)渠那得清如許，唯有源頭活水來(lái)”.因而，教師在平時(shí)的概念教學(xué)中，可依據(jù)學(xué)習(xí)進(jìn)階理論實(shí)施“慢教學(xué)”，借助數(shù)學(xué)史讓學(xué)生體會(huì)概念發(fā)現(xiàn)、發(fā)展和形成的過(guò)程，對(duì)概念的內(nèi)涵和外延深度理解，讓學(xué)生在探源溯流中感悟數(shù)學(xué)文化之美.在復(fù)習(xí)教學(xué)中，探究高考題源的精彩，回溯數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，積淀數(shù)學(xué)思想方法是擺脫題海，優(yōu)效學(xué)習(xí)的有力武器.教師必須關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)和認(rèn)知障礙，為學(xué)生的思維進(jìn)階設(shè)計(jì)合適的路徑，幫助學(xué)生從低層次思維水平向高階思維躍遷搭建“腳手架”，逐步提高發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、分析和解決問(wèn)題的關(guān)鍵能力.

2.強(qiáng)化通法，釋疑驅(qū)難

高考命題強(qiáng)調(diào)通性通法，即解決某類(lèi)問(wèn)題的基本思想方法，這是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的“童子功”，而一些所謂“秒殺”的技巧，不過(guò)“花拳繡腿”而已，不足道哉.高三復(fù)習(xí)中，在解題中鞏固知識(shí)，提煉思想方法，形成遷移和創(chuàng)新的自覺(jué)，這才是優(yōu)效復(fù)習(xí)的應(yīng)有之義.在此過(guò)程中，特別要注重思想的引領(lǐng)和方法的設(shè)計(jì)：可以通過(guò)結(jié)構(gòu)化設(shè)問(wèn)引發(fā)學(xué)生的深度思考，如“解決這個(gè)問(wèn)題需要什么？不需要什么？怎樣轉(zhuǎn)化？還有類(lèi)似的解題經(jīng)驗(yàn)嗎？”等；題型設(shè)計(jì)要多角度、多層次，讓學(xué)生一題多變、一題多解，進(jìn)而多題一解，力求“做一題，會(huì)一類(lèi)，通一片”，舉一反三，觸類(lèi)旁通.教師意識(shí)地喚醒和激活學(xué)生的原有認(rèn)知，不斷同化和順應(yīng)新的經(jīng)驗(yàn)和方法，逐漸內(nèi)化和積淀，進(jìn)而形成靈活應(yīng)用，適度創(chuàng)新的自覺(jué)意識(shí).

3.變中凝思，自我完善

近年來(lái)的高考，更多傾向于考查學(xué)生的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力，“多思精算”已成為當(dāng)前高考的“時(shí)尚”，這也向我們教師傳遞重視能力培養(yǎng)的信號(hào).美國(guó)著名哲學(xué)家、教育家杜威認(rèn)為，在人的各種思維形式中，最好的思維是反省思維.著名數(shù)學(xué)教育波利亞曾說(shuō)：“如果沒(méi)有了反思，他們就錯(cuò)過(guò)了解題的一次重要而有效益的方面.”反思是一種學(xué)習(xí)，也是一種能力.通過(guò)對(duì)解決問(wèn)題的反思，完善知識(shí)結(jié)構(gòu)，總結(jié)經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，優(yōu)化思維品質(zhì)，提升關(guān)鍵能力.教師要善于“課堂留白”，從而引導(dǎo)學(xué)生“反思留痕”，具體而言：反思解題思路的形成，促進(jìn)思維的深刻性，提升元認(rèn)知水平；反思解題方法的多元化，培養(yǎng)思維的靈活性，形成理性選擇的意識(shí)；反思問(wèn)題的變式和引申，促進(jìn)思維的發(fā)散性和創(chuàng)造性，強(qiáng)化應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新能力；反思錯(cuò)解的成因，提高思維的批判性，為優(yōu)化思維決策提供診斷依據(jù).誠(chéng)然，師生合力才能推動(dòng)“解后反思”的思維活動(dòng)，才能發(fā)揮其應(yīng)有的意義和價(jià)值，教師提供一條獲取課堂教學(xué)情況反饋的途徑，學(xué)生增加一次再學(xué)習(xí)、再提升、再創(chuàng)造的機(jī)會(huì).