(中國(guó)華陰兵器試驗(yàn)中心，陜西 華陰 714200)

0 引言

在現(xiàn)代武器試驗(yàn)靶場(chǎng)中，突防類和壓制類等直射武器的彈藥定型試驗(yàn)任務(wù)中，彈丸立靶飛行時(shí)間測(cè)試是計(jì)算彈道一致性和直射距離的一項(xiàng)關(guān)鍵參數(shù)，也是靶、彈遭遇段參數(shù)測(cè)試的一項(xiàng)重要內(nèi)容，立靶飛行時(shí)間將直接影響武器作戰(zhàn)的毀傷效應(yīng)結(jié)果。立靶飛行時(shí)間主要是指彈丸到達(dá)給定著靶點(diǎn)處的時(shí)刻減去彈丸出炮口的時(shí)刻。其中，彈丸出炮口時(shí)刻可以通過炮口線方法、光學(xué)方法或雷達(dá)方法獲得。立靶飛行時(shí)間測(cè)試的難點(diǎn)在于彈丸的著靶時(shí)刻，也就是彈丸到達(dá)給定著靶點(diǎn)處的時(shí)刻。本文主要研究超聲速彈丸著靶時(shí)刻的測(cè)試方法及系統(tǒng)。目前，靶場(chǎng)中進(jìn)行立靶飛行時(shí)間測(cè)試主要采用天幕靶、高速錄像或雷達(dá)等系統(tǒng)完成。天幕靶系統(tǒng)在測(cè)試中采用天空為背景，當(dāng)彈丸飛過天幕靶的視場(chǎng)時(shí)會(huì)遮擋天空背景，使得天幕靶接收到的光通量發(fā)生變化，從而觸發(fā)天幕靶并測(cè)量彈丸著靶時(shí)刻。但在實(shí)際應(yīng)用中發(fā)現(xiàn)，天幕靶系統(tǒng)對(duì)自然環(huán)境因素的要求較高，背景復(fù)雜時(shí)很容易受到外物干擾，且當(dāng)大霧等天空能見度較低時(shí)難以測(cè)試，影響試驗(yàn)效率。高速錄像設(shè)備需要高幀頻的攝像機(jī)，再配合時(shí)統(tǒng)設(shè)備，才能完成立靶飛行時(shí)間測(cè)試。高速錄像通過記錄彈丸的穿靶過程來實(shí)現(xiàn)測(cè)量，針對(duì)不同的測(cè)試需求要設(shè)定不同的采樣頻率，操作繁瑣，并且一般需要人工判讀彈丸的過靶時(shí)刻，影響系統(tǒng)的測(cè)試精度和穩(wěn)定性。雷達(dá)技術(shù)主要是通過彈道外推實(shí)現(xiàn)彈丸的立靶飛行時(shí)間測(cè)試，在近地面測(cè)試中由于地面環(huán)境復(fù)雜，干擾信號(hào)多，導(dǎo)致其靶場(chǎng)測(cè)試精度較低。另外，現(xiàn)有的天幕靶和高速錄像設(shè)備都多在地面布站，難以完成空中吊靶的飛行時(shí)間測(cè)試。

基于聲學(xué)原理的著靶坐標(biāo)測(cè)試技術(shù)已相當(dāng)成熟，該技術(shù)已成功應(yīng)用于立靶坐標(biāo)測(cè)試設(shè)備[1-4]，基于聲學(xué)原理的炸點(diǎn)定位技術(shù)也得到了長(zhǎng)足的發(fā)展。但基于聲學(xué)原理的立靶飛行時(shí)間測(cè)試研究還處于起步階段，目前還無法測(cè)量彈丸著靶時(shí)刻?，F(xiàn)有立靶飛行時(shí)間測(cè)試存在著一定的薄弱環(huán)節(jié)，因此，開展基于聲學(xué)原理的立靶飛行時(shí)間測(cè)試具有十分重要的意義。

聲學(xué)靶是基于超聲速彈丸飛行產(chǎn)生的激波進(jìn)行定位，其觸發(fā)時(shí)刻(取為首先觸發(fā)傳感器對(duì)應(yīng)的時(shí)刻)與彈丸著靶時(shí)刻相差很大，不能將聲學(xué)靶的觸發(fā)時(shí)刻近似為彈丸著靶時(shí)刻。實(shí)際上，彈丸著靶時(shí)刻等于傳感器觸發(fā)時(shí)刻減去激波在靶面上傳播至首先觸發(fā)傳感器的時(shí)間(記為t0)。因此，彈丸著靶時(shí)刻的確定歸結(jié)為如何計(jì)算t0。

本文通過對(duì)聲學(xué)靶測(cè)量原理的分析，開發(fā)了一套聲學(xué)測(cè)試系統(tǒng)，建立了確定t0的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而用Gauss-Newton法[5-6]求解該模型，并詳細(xì)分析了解的存在唯一性、迭代公式和適定性等。

1 測(cè)試系統(tǒng)組成

基于聲學(xué)原理的彈丸著靶時(shí)刻測(cè)試方法，就是利用超聲速飛行彈丸產(chǎn)生的附體激波觸發(fā)聲傳感器來提供彈丸的著靶時(shí)刻，然后結(jié)合聲學(xué)靶數(shù)據(jù)對(duì)其進(jìn)行時(shí)延修正。

本文用于測(cè)試超聲速彈丸著靶時(shí)刻的探測(cè)系統(tǒng)主要由聲學(xué)靶測(cè)量分系統(tǒng)和激波觸發(fā)時(shí)間記錄分系統(tǒng)兩部分組成。其中，聲學(xué)靶測(cè)試分系統(tǒng)用于測(cè)試彈丸的彈著點(diǎn)坐標(biāo)和著靶時(shí)刻，激波觸發(fā)時(shí)間記錄分系統(tǒng)記錄彈丸激波傳到聲傳感器時(shí)對(duì)應(yīng)的GPS時(shí)間數(shù)據(jù)。聲學(xué)靶測(cè)試分系統(tǒng)的工作原理如下：在聲學(xué)靶布置了若干個(gè)聲學(xué)傳感器，在超聲速彈丸飛過聲學(xué)靶測(cè)試分系統(tǒng)的過程中，彈丸激波依次掃過聲學(xué)傳感器，進(jìn)而觸發(fā)傳感器。不同傳感器測(cè)量的時(shí)間差不同，并且彈著點(diǎn)不同時(shí)，傳感器測(cè)量的時(shí)間差也不同。聲學(xué)靶測(cè)試分系統(tǒng)根據(jù)傳感器的位置及測(cè)量的時(shí)間差建立定位模型，在求解該模型即可得到彈丸的彈著點(diǎn)坐標(biāo)及相對(duì)著靶時(shí)刻，再結(jié)合激波觸發(fā)時(shí)間記錄系統(tǒng)即可得到絕對(duì)著靶時(shí)刻。下面介紹激波觸發(fā)時(shí)間記錄系統(tǒng)，其原理如圖1所示。其主要包含三部分，第一部分是激波信號(hào)的采集與調(diào)理，包括聲學(xué)傳感器和線號(hào)調(diào)理電路，用于實(shí)現(xiàn)對(duì)激波信號(hào)的采集濾波放大存儲(chǔ)等功能；第二部分是激波到達(dá)時(shí)間記錄模塊，該模塊將GPS絕對(duì)時(shí)間與傳感器采集時(shí)間進(jìn)行對(duì)應(yīng)，使得傳感器采集的時(shí)間就是GPS絕對(duì)時(shí)間；第三部分是數(shù)據(jù)信號(hào)的無線傳輸和遠(yuǎn)程控制，采用無線網(wǎng)橋?qū)⒉杉募げㄐ盘?hào)及GPS時(shí)間實(shí)時(shí)傳輸?shù)缴衔粰C(jī)，并接收上位機(jī)的控制指令。

圖1 激波觸發(fā)時(shí)刻記錄系統(tǒng)原理圖

該時(shí)間記錄分系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)GPS同步、數(shù)傳和無線遠(yuǎn)程控制功能。當(dāng)聲傳感器接收到激波信號(hào)觸發(fā)時(shí)，能夠采集觸發(fā)信號(hào)的GPS時(shí)間，然后通過無線數(shù)傳模塊傳輸?shù)缴衔粰C(jī)計(jì)算機(jī)，實(shí)現(xiàn)采集觸發(fā)事件的GPS時(shí)刻。

2 著靶時(shí)刻定位模型

在建立著靶時(shí)刻定位模型時(shí)，首先建立聲學(xué)靶測(cè)量系統(tǒng)的測(cè)量坐標(biāo)系。取xoz平面為水平面，z軸指向炮口方向，傳感器布置在x軸上，xoy平面為豎直平面，xoy平面即為虛擬靶平面，也就是說超聲速彈丸從xoy平面飛過，如圖2所示。

圖2 立靶坐標(biāo)系示意圖

在著靶探測(cè)系統(tǒng)中，超聲速飛行彈丸產(chǎn)生的附體激波在穿過聲傳感器陣平面時(shí)啟動(dòng)聲傳感器，當(dāng)聲傳感器接收到激波信號(hào)觸發(fā)GPS授時(shí)儀記錄下GPS時(shí)刻T時(shí)，但這個(gè)時(shí)刻T不是彈丸著靶時(shí)的終止時(shí)間，這是因?yàn)槁晜鞲衅魇盏降募げㄐ盘?hào)脈沖是從彈道上某一點(diǎn)傳過來，需要一定的走時(shí)延遲，必須將延遲時(shí)間計(jì)算出來并進(jìn)行處理，才能得到彈丸的著靶時(shí)刻。彈丸穿靶過程如圖3所示。當(dāng)彈丸著靶時(shí)，如圖3中的位置1，超聲速彈丸飛行產(chǎn)生的激波形成近似圓錐形，也就是說激波相比于彈丸要存在一定的滯后性，此時(shí)激波還沒有傳到聲傳感器。當(dāng)聲傳感器收到激波信號(hào)時(shí)，彈丸已經(jīng)飛到如圖3中的位置2，此時(shí)彈丸已經(jīng)飛過靶面，因此需對(duì)“彈丸的著靶時(shí)刻”與“聲傳感器的觸發(fā)時(shí)刻”之間的ΔT進(jìn)行修正解算。

圖3 彈丸穿靶過程示意圖

下面，建立具體的解算方程。設(shè)彈丸垂直虛擬靶平面入射，傳感器坐標(biāo)為(xi,yi,0),i=1,2,…,n，其中n為傳感器個(gè)數(shù)，著靶點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y,0)。如圖4所示，在靶平面上觀察的激波是以著靶點(diǎn)為圓點(diǎn)向外擴(kuò)散的圓環(huán)，圓環(huán)向外擴(kuò)散的速度呈現(xiàn)由快變慢的趨勢(shì)，最后趨于某一速度v0(也叫視速度)，本文取視速度為定值。

圖4 傳播示意圖聲傳感器布陣及視速度傳播示意圖

計(jì)算分析和實(shí)驗(yàn)表明，風(fēng)對(duì)定位精度的影響不可忽略。假定風(fēng)平行地面運(yùn)動(dòng)，且在彈丸著靶時(shí)刻靶面周圍的局部風(fēng)場(chǎng)是均勻的。因?yàn)轱L(fēng)在z方向的分量vz影響較小，所以主要考慮風(fēng)在x方向的分量vx。利用矢量疊加原理可得到此時(shí)的基本方程組如下[7-10]：

(1)

其中:ti,i=1,2,…n是激波到達(dá)各個(gè)傳感器的相對(duì)時(shí)間(即時(shí)延)，t0是激波視速度在靶面上傳播至首先觸發(fā)傳感器的時(shí)間，也就是彈丸著靶時(shí)刻，v0是視速度。

當(dāng)n≥4時(shí)方程組(2)有解。當(dāng)n=4時(shí)，方程組(2)是非線性方程組；n>4時(shí)，方程組(2)是超定非線性方程組(矛盾方程組)。求解方程組(2)即得x,y,v0,t0。

當(dāng)vx=0時(shí)，方程組(1)簡(jiǎn)化為：

(2)

3 基于Gauss-Newton法的模型求解

3.1 解的存在性和唯一性

因?yàn)閷?shí)際試驗(yàn)中彈丸必定飛過靶面，因此解的存在性是顯然的，也就是說一定存在這個(gè)著靶時(shí)刻。下面對(duì)方程解的個(gè)數(shù)進(jìn)行討論。以方程組(2)為例說明如下事實(shí)：當(dāng)存在三個(gè)共線的傳感器時(shí)，方程組(2)至多有兩個(gè)解，若還存在一個(gè)傳感器不在上述直線上，則有唯一解。

用幾何方法證明。如圖5所示，任取3個(gè)傳感器，編號(hào)為1、2和3，對(duì)應(yīng)的時(shí)延分別為t1、t2和t3。由于傳感器測(cè)量的是時(shí)延，也就是激波到達(dá)傳感器之間的時(shí)間差，故著靶點(diǎn)在兩個(gè)傳感器的雙曲線一支上，或者到兩個(gè)傳感器的時(shí)間差相同，此時(shí)雙曲線退化為一條直線。所以，若t1≤t2≤t3，則解的分布如圖5(a)所示點(diǎn)P和點(diǎn)Q均為問題的解，且顯然有兩個(gè)。其中，當(dāng)t1=t2時(shí)，S12退化為直線；當(dāng)t2=t3時(shí)，S23退化為直線。若t2≤t1≤t3，則解的情形如圖4(b)所示。因此，若有三個(gè)傳感器共線，則方程組至多有兩個(gè)解。若還存在一個(gè)傳感器不在上述三個(gè)傳感器所在的直線上，則用該傳感器與上述共線的傳感器比較，進(jìn)而得到唯一解。

圖5 解的個(gè)數(shù)示意圖

3.2 Gauss-Newton法迭代公式

為了說明上的方便，下面以方程組(2)為例詳細(xì)推導(dǎo)Gauss-Newton法迭代公式。記:

i=1,2,…n

(3)

設(shè)f:D?R4→Rn，f=(f1,f2,…,fn)T。求解非線性方程組(2)等價(jià)于求解如下非線性最小二乘問題。

(4)

用Gauss-Newton法求解非線性最小二乘問題(4)的具體公式如下:

xk+1=xk+[Df(xk)TDf(xk)]-1Df(xk)Tf(xk)，

k=0,1,2,…

(5)

其中:

3.3 Gauss-Newton法的收斂性

求解非線性最小二乘問題(4)的Newton法迭代公式如下：

xk+1=xk+

[Df(xk)TDf(xk)+S(xk)]-1Df(xk)Tf(xk)，

k=0,1,2,…

(6)

其中，

Gauss-Newton法相當(dāng)于在Newton法的基礎(chǔ)上忽略了S(xk)，而S(xk)包含了二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)信息。

記x*非線性最小二乘問題(4)的解，由S(xk)的表達(dá)式知：

(7)

由此可知，Gauss-Newton法二階收斂。

表在不同坐標(biāo)誤差和時(shí)延誤差時(shí)的數(shù)值

表在不同坐標(biāo)誤差和時(shí)延誤差時(shí)的數(shù)值

3.4 Gauss-Newton法的適定性

由解的存在性和唯一性分析知，對(duì)于直線型傳聲器布陣，存在兩個(gè)解。而在實(shí)際應(yīng)用中，傳感器陣存在測(cè)試方向性要求，只允許彈丸在半個(gè)平面內(nèi)射擊，因此可以排除另外一個(gè)解。在計(jì)算時(shí)按實(shí)際試驗(yàn)布陣情況即可確定唯一的解。具體分析如下：對(duì)于地面著靶時(shí)刻測(cè)試，此時(shí)傳感器布置在地面，顯然彈丸從空中飛過，因此很容易得到真實(shí)結(jié)果。對(duì)于對(duì)中射擊彈丸著靶時(shí)刻的測(cè)試，一般也是要求彈丸從傳感器的某一側(cè)飛過，因此在實(shí)際應(yīng)用中根據(jù)試驗(yàn)條件就可以得到彈丸的著靶位置。另外，這是對(duì)于彈著點(diǎn)坐標(biāo)而言存在的兩個(gè)解的情況，然而對(duì)于著靶時(shí)刻，實(shí)際上只能得到一個(gè)值，并不存在多解的情況。也就是說，確定彈丸的著靶時(shí)刻比確定彈著點(diǎn)位置更加容易。

4 仿真分析

通過計(jì)算機(jī)模擬進(jìn)行仿真分析，研究在不同的傳感器坐標(biāo)誤差和時(shí)延誤差情況下，著靶時(shí)刻的誤差大小及分布特性，進(jìn)而分析傳感器數(shù)目對(duì)精度的影響。在計(jì)算機(jī)仿真時(shí)，取靶幅為10 m×10 m，風(fēng)速vx=3 m/s，傳感器等間距布置，坐標(biāo)誤差服從均值為0 mm，標(biāo)準(zhǔn)差為1 mm的隨機(jī)分布，時(shí)延誤差服從均值為0 μs，標(biāo)準(zhǔn)差為5 μs的隨機(jī)分布。

4.1 誤差分析

為了分析靶面上的誤差，根據(jù)傳感器布陣的對(duì)稱性和靶面的對(duì)稱性可知，只需考慮半個(gè)靶面的誤差即可，并且在靶面上取若干個(gè)特征點(diǎn)，用特征點(diǎn)的誤差描述整個(gè)靶面的誤差特性。在計(jì)算時(shí)在靶面上取6個(gè)特征點(diǎn)，坐標(biāo)分別如下：特征點(diǎn)1(1 m，1 m)，特征點(diǎn)2(1 m，5 m)，特征點(diǎn)3(1 m，9 m)，特征點(diǎn)4(5 m，1 m)，特征點(diǎn)5(5 m，5 m)，特征點(diǎn)6(5 m，9 m)，如圖6所示。

圖6 仿真計(jì)算示意圖

仿真時(shí)在每個(gè)特征點(diǎn)處計(jì)算10 000次。圖7給出了在特征點(diǎn)1～特征點(diǎn)6處的仿真誤差隨仿真次數(shù)的變化圖形。

圖7 特征點(diǎn)1～特征點(diǎn)6處的仿真誤差隨仿真次數(shù)的變化

由圖7可知，著靶時(shí)刻誤差呈現(xiàn)一定的隨機(jī)性和分布特性。為了進(jìn)一步分析誤差，計(jì)算各個(gè)特征點(diǎn)處誤差的均方根誤差。如表3所示，分別給出了在特征點(diǎn)1～特征點(diǎn)6的均方根誤差

表3 特征點(diǎn)處著靶時(shí)刻的均方根誤差

由表3知，著靶時(shí)刻或t0誤差小于0.8 ms，并且距離傳感器陣越近均方根誤差越小。

圖8進(jìn)一步給出了在10 m×10 m靶面上t0的誤差等值線圖。

圖8 t0的誤差等值線圖(單位:s)

由圖8可以得到如下規(guī)律：1)離傳感器陣所在直線越遠(yuǎn)誤差越大；2)離傳感器陣所在直線距離相同時(shí)，越靠近中間t0誤差越大，這主要是因?yàn)樵娇拷虚g時(shí)，兩邊的傳感器由于對(duì)稱性進(jìn)行了抵消，相當(dāng)于減少了傳感器的個(gè)數(shù)。

4.2 傳感器數(shù)目對(duì)誤差的影響

為了分析傳感器個(gè)數(shù)對(duì)著靶時(shí)刻誤差的影響，圖9給出了著靶時(shí)刻誤差隨傳感器數(shù)目變化的結(jié)果。其中，在固定傳感器個(gè)數(shù)的情況下，在每個(gè)特征點(diǎn)處計(jì)算10 000次，統(tǒng)計(jì)其均方根誤差作為該點(diǎn)的誤差。

圖9 著靶時(shí)刻誤差隨傳感器數(shù)目的變化

由圖9可知：1)在特征點(diǎn)6處的誤差最大；2)隨著傳感器數(shù)目的增加，誤差逐漸降低；3)隨著傳感器個(gè)數(shù)的增加，誤差降低不明顯。在實(shí)際工程應(yīng)用中，可根據(jù)使用條件，適當(dāng)選擇傳感器個(gè)數(shù)。

5 試驗(yàn)結(jié)果與分析

5.1 發(fā)令槍目標(biāo)試驗(yàn)

為了檢驗(yàn)測(cè)試系統(tǒng)和算法的準(zhǔn)確性，試驗(yàn)在實(shí)驗(yàn)室環(huán)境下進(jìn)行，利用發(fā)令槍模擬測(cè)試聲信號(hào)。在擊發(fā)發(fā)令槍后，幾乎會(huì)同時(shí)產(chǎn)生聲信號(hào)和光信號(hào)，并忽略發(fā)令槍擊發(fā)時(shí)聲信號(hào)和光信號(hào)起點(diǎn)差異，然后利用高精度高速攝像機(jī)與聲學(xué)測(cè)試設(shè)備分別測(cè)試其光信號(hào)和聲信號(hào)，聲傳感器距發(fā)令槍擊發(fā)點(diǎn)距離2.2米，因此聲測(cè)試設(shè)備時(shí)間需經(jīng)聲信號(hào)傳播延遲修正，而光學(xué)傳播延遲可忽略，環(huán)境溫度26°，標(biāo)準(zhǔn)大氣壓環(huán)境，此時(shí)的環(huán)境聲速為346.9 m/s，則聲波傳播2.2米的走時(shí)時(shí)間約為6.3 ms，因此需將聲測(cè)設(shè)備時(shí)間修正6.3 ms的走時(shí)延遲。一共進(jìn)行了14次試驗(yàn)，試驗(yàn)數(shù)據(jù)結(jié)果如表4所示。

表4 測(cè)試數(shù)據(jù)對(duì)比表 ms

由表4中的數(shù)據(jù)可知，聲學(xué)測(cè)試系統(tǒng)的時(shí)刻測(cè)試精度為8.2 ms。另外從表4中的數(shù)據(jù)可以看出，聲學(xué)測(cè)試系統(tǒng)的測(cè)試數(shù)據(jù)明顯滯后于光學(xué)測(cè)試的數(shù)據(jù)。這主要是因?yàn)樵囼?yàn)中發(fā)令槍擊發(fā)時(shí)，首先產(chǎn)生火光信號(hào)，然后再產(chǎn)生聲信號(hào)。去除掉這種系統(tǒng)差后，聲學(xué)測(cè)試系統(tǒng)的時(shí)刻測(cè)試精度為1.0 ms。

5.2 某型高炮試驗(yàn)

聲學(xué)著靶時(shí)間測(cè)試系統(tǒng)體積較小，很容易用于對(duì)空中目標(biāo)射擊時(shí)的彈丸著靶時(shí)刻測(cè)試。在某型高炮對(duì)空射擊試驗(yàn)中，采用聲學(xué)測(cè)試系統(tǒng)測(cè)試了6彈丸的著靶時(shí)刻數(shù)據(jù)。試驗(yàn)時(shí)將系統(tǒng)與空中靶標(biāo)架設(shè)在同一支架上測(cè)試彈丸的著靶時(shí)刻，再采用光學(xué)方法測(cè)試彈丸出炮口時(shí)刻，表5是得到的最終飛行時(shí)間。

表5 飛行時(shí)間表

6 結(jié)論

針對(duì)空中吊靶或低能見度條件下著靶時(shí)刻的測(cè)試難題，研制了基于聲學(xué)原理的測(cè)試系統(tǒng)，建立了修正彈丸著靶時(shí)刻的數(shù)學(xué)模型，提出了基于Gauss-Newton的求解方法，進(jìn)而仿真分析了誤差大小和傳感器數(shù)目對(duì)誤差的影響，解決了聲傳感器延遲觸發(fā)的測(cè)試問題。主要結(jié)論如下：(1)傳感器坐標(biāo)誤差1 mm，時(shí)延誤差5 μs時(shí)，著靶時(shí)刻誤差優(yōu)于0.8 ms；(2)傳感器數(shù)目對(duì)著靶時(shí)刻誤差影響不大。提出的基于聲學(xué)原理的立靶飛行時(shí)間測(cè)試方法受環(huán)境影響較小，是超聲速彈丸立靶飛行時(shí)間測(cè)試的有效手段。