姜佳輝,包永強(qiáng)2,邵 琪

(1.南京工程學(xué)院 電力工程學(xué)院，南京 211167; 2.南京工程學(xué)院 信息與通信工程學(xué)院，南京 211167)

0 引言

支持向量機(jī)(Support Vector Machines,SVM)是Vapnik等提出的針對于解決分類及回歸問題的統(tǒng)計學(xué)習(xí)理論[1]。與一些傳統(tǒng)的機(jī)器學(xué)習(xí)方法不同，SVM較好地解決了諸如求取局部極小值、模型選擇與過學(xué)習(xí)問題等。但是，SVM仍存在著一些問題，如算法復(fù)雜度高，耗時長等。孿生支持向量機(jī)(Twin Support Vector Machines,TWSVM)是一種基于SVM上發(fā)展而來的新算法，其在保持經(jīng)典支持向量機(jī)原有優(yōu)勢的基礎(chǔ)上，運(yùn)算速度明顯快于后者。孿生支持向量機(jī)通過求解兩個二次規(guī)劃問題構(gòu)造兩個非平行超平面，由于每個二次規(guī)劃問題的約束條件數(shù)目為經(jīng)典支持向量機(jī)的一半，從而理論上其訓(xùn)練速度約為經(jīng)典支持向量機(jī)的4倍[2]。

傳統(tǒng)SVM和TWSVM最初都是為了解決二分類問題而提出的，而非直接針對于多分類問題。然而，現(xiàn)實中絕大多數(shù)問題通常是多分類問題，因此，針對多分類TWSVM的研究具有重要的現(xiàn)實意義。目前，國內(nèi)外學(xué)者在多分類TWSVM的研究方面也已取得了一些進(jìn)展?！耙粚Χ?one-versus-all,OVA)”作為一種最早被用于將二分類問題擴(kuò)展為多分類的策略[3]，其核心思想是通過求解K個二次規(guī)劃問題(quadratic programming problem,QPP)得到K個超平面，算法具有簡單易實現(xiàn)的優(yōu)點，但會造成數(shù)據(jù)的不平衡的現(xiàn)象，并存在著不可分區(qū)域；隨后Kerr等人提出了“一對一(one-versus-one,OVO)”策略[4]，對于K類分類問題，該算法在任意兩類樣本之間構(gòu)造一個基于TWSVM的二分類器，需構(gòu)造的二分類器總數(shù)為K(K-1)/2個。由于該算法在每個子分類器訓(xùn)練時僅需用到兩個類的訓(xùn)練樣本，因此較好地解決了分類過程中存在的數(shù)據(jù)不平衡問題，且加快了訓(xùn)練速度；但由于其采用“投票法”作為決策策略，從而會導(dǎo)致存在獲得相同票數(shù)的類別，將影響最終的分類準(zhǔn)確度；基于二叉樹的多分類孿生支持向量機(jī)(binary tree based twin support vector machine,BT-TWSVM)針對上述兩種策略中可能存在的問題而提出，對于K類分類問題，該方法先將所有類別劃分為兩個子類，訓(xùn)練得到根節(jié)點子分類器；再進(jìn)一步將子類劃分為兩個更小的類，訓(xùn)練得到下一層分類器，以此類推，直到所有節(jié)點都只包含一個單獨類為止。BT-TWSVM分類精度高、算法復(fù)雜度低、且不存在不可分區(qū)域，因此已被廣泛應(yīng)用于機(jī)械設(shè)備故障識別、圖像分類等領(lǐng)域[5-6]。

采用二叉樹進(jìn)行的優(yōu)點在于不存在不可分區(qū)域，且訓(xùn)練分類器時所需的訓(xùn)練樣本較少，訓(xùn)練時長較少，分類效率較高。缺點在于，二叉樹分類結(jié)構(gòu)存在“誤差累積”現(xiàn)象，即若在某個節(jié)點上發(fā)生誤分類，則這種錯誤會延續(xù)下去，該節(jié)點的后續(xù)節(jié)點分類將失去意義。因此，如何構(gòu)建出一個較好的二叉樹結(jié)構(gòu)，已成為當(dāng)前學(xué)者們研究的一個熱點。文獻(xiàn)[7]通過計算各類別間的最短距離，以其進(jìn)一步計算出各樣本的類間平均距離從而提出了一種新的二叉樹生成算法，但是該算法并未考慮到類內(nèi)樣本的分布；文獻(xiàn)[8]定義了一種基于類內(nèi)樣本分布的可分性測度，并將其引入二叉樹SVM的構(gòu)建中，但其僅關(guān)注類內(nèi)樣本的分布情況，忽略了類間樣本的聯(lián)系。基于此，本文提出了一種改進(jìn)的偏二叉樹TWSVM算法，定義了一種融合了類間距離和類內(nèi)分布兩種可分性測度指標(biāo)的混合分離性測度β，用以最大限度地克服誤差累積現(xiàn)象，以此來確定最優(yōu)分類二叉樹TWSVM結(jié)構(gòu)。以風(fēng)電機(jī)組齒輪箱作為診斷對象，提取了其一些典型故障下振動信號的時頻域特征，并利用本文所述的改進(jìn)二叉樹TWSVM算法實現(xiàn)對齒輪箱常見多類故障的診斷。

1 孿生支持向量機(jī)

對于任一非線性二分類問題，孿生支持向量機(jī)可歸結(jié)為求解如下兩個二次規(guī)劃問題：

s.t. -(K(B,C′)w(1)+e2b(1)) +q≥e2

q≥0

(1)

s.t. (K(B,C′)w(2)+e2b(2))+q≥e1

q≥0

(2)

其中:A、B分別表示兩類待分類樣本矩陣，K(·)表示核函數(shù)，e1和e2為相應(yīng)維數(shù)的單位向量，c1，c2為懲罰系數(shù)，C=[AB]T，ω和b分別表示所得最優(yōu)超平面的法向量和偏置，q為松弛變量。通過拉格朗日求解法求解式(1)、(2)，最終得到如下兩個超平面K(xT,CT)w(1)+b(1)=0，K(xT,CT)w(2)+b(2)=0。對于一個新的測試樣本，其距離哪個超平面近就會被歸為對應(yīng)類，即決策函數(shù)為[9-10]：

(3)

2 改進(jìn)的偏二叉樹TWSVM多分類算法

2.1 偏二叉樹TWSVM

偏二叉樹孿生支持向量機(jī)(Partial Binary Tree Twin Support Vector Machine,PBT-TWSVM)的基本思想是：通過構(gòu)造一個偏二叉樹結(jié)構(gòu)將一個含有k個類別的分類問題轉(zhuǎn)化為k-1個兩類分類問題。在處理k分類問題時，二叉樹孿生支持向量機(jī)只需生成k-1個TWSVM分類器，小于基于OVO、OVA策略所需構(gòu)造的多分類器數(shù)目(k(k-1)/2、k)[11]。同時，對于位于每個節(jié)點的TWSVM二分類器來說，所參與訓(xùn)練的樣本數(shù)據(jù)數(shù)量會隨著級數(shù)的增加而減少，這使得偏二叉樹孿生支持向量機(jī)具有更快快的訓(xùn)練速度和測試速度。由于二叉樹結(jié)構(gòu)存在著“誤差累積”現(xiàn)象，因此為了提高二叉樹整體的性能，在生成偏二叉樹結(jié)構(gòu)時須考慮采取更為合理的策略，即越是根節(jié)點及靠近根節(jié)點的上層節(jié)點，越應(yīng)當(dāng)區(qū)分出分離性較優(yōu)的類。

2.2 混合分離性測度

(4)

由核函數(shù)理論知K(xm,xn)=φ(xm)·φ(xn)，進(jìn)一步計算上式，得:

m,n=1,2,…,k,m≠n

(5)

則類間樣本距離計算式如下：

(6)

文獻(xiàn)[12]指出，類內(nèi)樣本距離D反映了類內(nèi)樣本的分布，D值越大，則類內(nèi)樣本分布越廣，應(yīng)當(dāng)率先被分離出來；類間樣本距離D’反映了不同類的可分離程度，該值越大，則類間可分性程度越好，越當(dāng)被率先分離出來。雖然類內(nèi)樣本距離和類間樣本距離是針對可分性度量的兩種不同評價標(biāo)準(zhǔn)，但兩者對于類可分性的影響程度，及其是否存在著某種內(nèi)在聯(lián)系，目前還未有相關(guān)理論分析?；诖耍疚耐ㄟ^引入權(quán)值思想將兩者結(jié)合，定義了一種類的混合分離性測度β，對于任意兩類i,j，其β的定義如下式所示：

(7)

式中，W為權(quán)值系數(shù)，0≤W≤1。式(7)反映了兩種評價標(biāo)準(zhǔn)對類別可分性共同影響又相互制約的關(guān)系。由于本文所述算法中二叉樹層次結(jié)構(gòu)的確定以β為標(biāo)準(zhǔn)，顯然不同的W的取值將同時改變β，繼而改變二叉樹的層次結(jié)構(gòu)，因此確定W的具體取值是影響二叉樹性能，也是影響最終分類精度的關(guān)鍵。對于W值的確定，本文引入粒子群優(yōu)化算法(Particle Swarm Optimization,PSO)，文獻(xiàn)[13]指出，TWSVM中的懲罰系數(shù)c1，c2和高斯核函數(shù)中的參數(shù)g同樣對最終的分類精度有著較大的影響，因此為了使分類器性能達(dá)到最優(yōu)，最終確定算法中共有4個待優(yōu)化參數(shù)c1，c2，g，W，故在搜索空間中第i個粒子的位置表示為一個四維的向量xi={ci1,ci2,gi,Wi}。同時，算法確定以K重交叉驗證分類準(zhǔn)確率Fitness作為適應(yīng)度函數(shù)。其具體計算步驟如下：

1)設(shè)共有n類樣本。初始化參數(shù)c1，c2，g及W，載入樣本集其對應(yīng)標(biāo)簽集，根據(jù)K折交叉驗證的方法將各類樣本集分別對應(yīng)劃分為訓(xùn)練集和測試集；

2)按照式(5)、(6)、(7)分別計算各類訓(xùn)練樣本兩兩之間的混合分離性測度值，并將所得值按從小到大進(jìn)行排列。構(gòu)造第一個二叉樹節(jié)點時，將β值最小對應(yīng)的兩類訓(xùn)練樣本(記為C1、C2)作為正負(fù)類樣本進(jìn)行訓(xùn)練，得到第n-1層葉子節(jié)點，然后合并該層節(jié)點的兩類樣本作為一類，分別計算其與其余n-2類樣本的混合分離性測度值，取值最小的一類(記為C3)再與其作為正負(fù)樣本進(jìn)行訓(xùn)練，依此類推。構(gòu)造二叉樹節(jié)點的問題即可歸結(jié)為如式(1)、(2)所示求取TWSVM兩個非平行超平面的問題。重復(fù)上述過程，直至得到根節(jié)點，二叉樹建立完成，由此可以保證位于根節(jié)點的TWSVM分類器能夠?qū)⒖煞中宰詈玫囊活惵氏确蛛x出來。具體二叉樹構(gòu)建過程示意圖如圖1所示，按照由下至上的順序構(gòu)建整個PBT-TWSVM分類器；

3)將測試樣本輸入至圖1所示二叉樹中進(jìn)行判斷，待分類樣本從根節(jié)點進(jìn)入，依次由上至下經(jīng)過各分類器，各TWSVM分類器按照式(3)的規(guī)則進(jìn)行決策，得出樣本最終所屬類別，繼而得出分類準(zhǔn)確率；

4)分別更換訓(xùn)練集和測試集，重復(fù)步驟2)、3)共K次，取K次所得分類準(zhǔn)確率的平均值作為最終適應(yīng)度函數(shù)Fitness。

圖1 PBT-TWSVM示意圖

2.3 本文算法描述

結(jié)合上面的定義分析，本文基于PSO改進(jìn)的PBT-TWSVM算法具體流程如圖2所示。

圖2 本文算法流程圖

其中，適應(yīng)度值的計算即按照2.2節(jié)中所述相關(guān)步驟進(jìn)行。與傳統(tǒng)多分類SVM算法相比，本文所提出的PBT-TWSVM算法的優(yōu)勢在于：(1)二叉樹TWSVM對于測試樣本無需經(jīng)過所有的二值分類器，只要識別出類別即可停止運(yùn)算，從而節(jié)省了測試時間；(2)利用偏二叉樹結(jié)構(gòu)進(jìn)行分類，其克服了“一對多”和“一對一”方法中存在不可分區(qū)域的問題，訓(xùn)練時只需構(gòu)造n-1個TWSVM二分類器，且訓(xùn)練樣本規(guī)模隨二叉樹層數(shù)的增加而減少，減小了訓(xùn)練時間；(3)另外利用混合分離性測度作為偏二叉樹的生成算法，其綜合考慮了樣本類內(nèi)和類間距離對于類可分性的影響與否及具體影響程度，將越容易區(qū)分的類盡可能地優(yōu)先分離出來，能夠最大程度上地克服二叉樹中的“誤差累積”現(xiàn)象，使算法具有更強(qiáng)的泛化能力，從而獲得更優(yōu)的分類性能。

2.4 仿真分析

為了驗證本文提出的基于混合分離性測度的PBT-TWSVM算法在非線性多分類問題中的性能，采用UCI標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)庫中的Auto-mpg、Balance兩個標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)集作為實驗數(shù)據(jù)，仿真實驗均在PC機(jī)上(內(nèi)存為256 MB、CPU為800 MHz)基于Matlab R2015a環(huán)境實現(xiàn)。表1為各數(shù)據(jù)集的樣本個數(shù)、維數(shù)及類別數(shù)說明。

表1 測試數(shù)據(jù)集信息

將如下各多分類算法：(1)傳統(tǒng)支持向量機(jī)(SVM)；(2)一對一孿生支持向量機(jī)(OVO TWSVM)；(3)僅考慮類間距離時的偏二叉樹孿生支持向量機(jī)(即式(7)中W=0時)；(4)本文算法，對上述算法分別進(jìn)行測試并將分類的結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計，對比結(jié)果如表2所示(其中測試時長單位為秒)。對于前三種算法，其對應(yīng)SVM核函數(shù)亦均采用高斯核函數(shù)，并且對應(yīng)參數(shù)均采用PSO優(yōu)化，并均以五折交叉驗證的分類準(zhǔn)確率作為對應(yīng)適應(yīng)度函數(shù)。

表2 不同算法對測試數(shù)據(jù)分類結(jié)果

從表2的結(jié)果可以看出，首先相較于傳統(tǒng)SVM，另外三種基于TWSVM的多分類算法在運(yùn)算速率上均有顯著提高，且兩種基于偏二叉樹TWSVM的算法相較于一對一TWSVM在運(yùn)算時長上也具有明顯的優(yōu)勢；其次，針對數(shù)據(jù)集Auto-mpg，上述四種方法無論是運(yùn)用哪種它們的分測試精度都相差無幾，而對于數(shù)據(jù)集Balance，分類準(zhǔn)確率則有了大幅地提高，這進(jìn)一步反映了偏二叉樹TWSVM算法相較于傳統(tǒng)SVM及1-v-1TWSVM更適合于數(shù)據(jù)量大、特征數(shù)多樣本的處理；同時可以發(fā)現(xiàn)，對于樣本規(guī)模較大的Balance數(shù)據(jù)集，應(yīng)用本文的基于類混合分離性測度的改進(jìn)PBT-TWSVM算法相較于僅考慮類間樣本距離時的PBT-TWSVM算法在分類準(zhǔn)確率上有了顯著提高，達(dá)4.1個百分點，這說明了混合考慮類內(nèi)和類間距離構(gòu)建的二叉樹分類器具有更優(yōu)的分類性能。

3 實驗分析

3.1 平臺搭建

為進(jìn)一步驗證本文所提出算法在齒輪箱故障模式識別方面的有效性，在實驗室搭建了風(fēng)電機(jī)組齒輪箱故障模擬試驗臺來作為實際驗證。其示意圖如圖3所示。實驗中，電機(jī)模擬風(fēng)輪轉(zhuǎn)矩輸入，其轉(zhuǎn)速通過連接變頻器控制，以模擬風(fēng)輪轉(zhuǎn)速的時變特性。輸入端連接驅(qū)動電機(jī)和聯(lián)軸器，驅(qū)動電機(jī)通過二級齒輪箱傳動后連接負(fù)載電機(jī)。在試驗臺上分別人為模擬了A、行星輪磨損、B、行星輪點蝕、C、行星輪斷齒、D、滾動軸承內(nèi)圈裂紋、E、軸承保持架損壞五種不同工況，分別采集了各故障情況下的原始振動信號。實驗中，調(diào)節(jié)變頻器控制齒輪轉(zhuǎn)速為1000 r/min，系統(tǒng)采樣頻率設(shè)置為10 kHz，每組樣本均為連續(xù)采樣。

圖3 風(fēng)電機(jī)組齒輪箱故障模擬試驗臺

采集到的各工況下的原始振動信號如圖4所示。

圖4 齒輪箱各工況下原始振動信號

3.2 齒輪箱振動信號特征提取

從圖4中的齒輪箱原始時域信號中難以提取其故障特征，因此本文中進(jìn)一步采用了時頻域聯(lián)合特征提取的方法來提取有效的特征。提取出每種工況下原始樣本各100組，并采用文獻(xiàn)[14]中所述方法，分別提取信號的小波包能量特征、小波域倒譜能量特征以及五個時域因子作為21維聯(lián)合特征參數(shù)，具體特征列表如表3所示。

表3 時頻特征向量列表

3.3 齒輪箱故障工況識別

建立起特征樣本集：(xi,yi)，xi∈R21為樣本輸入，yi∈{1,2,3,4,5}，i=1,2,3,4，5為樣本輸出，分別代表行星輪磨損、行星輪點蝕、行星輪斷齒、軸承裂紋、保持架壞五種工況類型。利用本文算法進(jìn)行故障識別，其中，交叉驗證中各類分別采用80組(80%)數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練集，20組(20%)作測試集。圖5為經(jīng)本文算法所得的PSO適應(yīng)度曲線圖，從圖中可知應(yīng)用本文算法獲得的故障識別準(zhǔn)確率較高，達(dá)93.75%。

圖5 PSO適應(yīng)度曲線圖

為了進(jìn)一步驗證本文所述算法性能上的優(yōu)點，仍舊采取2.4節(jié)仿真試驗中所述三種多分類算法與本文算法進(jìn)行對比驗證(對于第四種本文所述算法，W取經(jīng)PSO優(yōu)化所得值0.2501)。最終所得結(jié)果如表4所示。

表4 不同算法識別結(jié)果對比

從表4各算法所得實驗結(jié)果對比可知，在診斷時長方面，幾種基于孿生支持向量機(jī)的算法在運(yùn)算速度上要明顯快于傳統(tǒng)支持向量機(jī)；在識別率方面，基于類混合分離性測度的本文算法雖然在識別用時上要略大于僅考慮類間樣本距離時的PBT-TWSVM，但在分類準(zhǔn)確率上前者卻比后者高出了近四個百分點，這與合理的二叉樹層次結(jié)構(gòu)設(shè)計有關(guān)，由此也進(jìn)一步證明了本文所述改進(jìn)算法在實際多分類應(yīng)用問題性能方面的優(yōu)越性。

4 結(jié)論

本文結(jié)合孿生支持向量機(jī)和二叉樹兩種算法的優(yōu)勢，分析了二叉樹孿生支持向量機(jī)多分類算法的原理及特點，提出了一種改進(jìn)的PBT-TWSVM多分類算法，定義了一種加權(quán)樣本類內(nèi)距離和類間距離的混合分離性測度β，并運(yùn)用PSO算法對權(quán)重及TWSVM參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化，以各最優(yōu)化后的參數(shù)的確立了最終的PBT-TWSVM分類器模型；

通過UCI數(shù)據(jù)集仿真試驗，對傳統(tǒng)SVM、1-v-1TWSVM、基于類間距離的PBT-TWSVM和本文基于混合分離性測度的PBT-TWSVM四種算法在性能上進(jìn)行了對比分析，結(jié)果表明，本文所述算法在分類準(zhǔn)確度方面具有絕對優(yōu)勢，尤其是在解決較大規(guī)模的多分類問題時，這種優(yōu)勢更為明顯；將本文算法引入至風(fēng)電機(jī)組齒輪箱的故障診斷中，同樣獲得了較好的故障識別效果。