劉力源 南京郵電大學計算機學院 吳子 南京郵電大學軟件學院 陳桂欣 南京郵電大學網絡空間安全學院

1 引言

“日長影移”是生活中人人熟知的自然現象，這個詞說明地面上的影子變化 與太陽活動有著密切的聯系，而古代智慧的先民就利用了這個現象制作了日晷。日晷是人類古代利用日影測得時刻的一種計時儀器，其原理就是利用太陽的投影方向來測定并劃分時刻。在圖像信息充斥的當代，如何通過圖像數據獲得圖像拍攝時的相關信息是圖像分析學科的重要課題，而利用太陽光影變換獲得時間和地理信息，是非常方便可靠的。

2 模型的建立

本模型結合相關地理學知識，對影子的變化情況進行分析描述。下面將明確一些地理學定義，以及重新定義一些本模型需要用到的參數。太陽高度角，也稱太陽高度，是指某地的太陽光線與當地地平面的所交的最小線面角，這是以太陽視盤面的幾何中心和理想地平線所夾的角度。在水平地面上，直桿長度與影長的比值即為太陽高度角的的正切值：

其中θ為太陽高度角，h為地方時時角，δ為當時的太陽赤緯，φ為當地緯度。

以一個地方太陽升到最高的地方的時間為正午12時，將連續(xù)兩個正午12 時之間等分為24個小時，所成的時間系統(tǒng)，稱為地方時。地球上每一個地點都有其相應的地方時。由于題目只提供了當地時間的北京時間，因此在計算地方時時角時，要先將北京時間換算為當地地方時t：

其中t0為北京時間，γ為當地經度。

根據某地地方時，可以換算出當地的地方時時角。地方時時角h即為當地與子午線之間相差的角度：

太陽的赤緯等于太陽入射光與地球赤道之間的角度，由于地球自轉軸與公轉平面之間的角度基本不變，因此太陽的赤緯隨季節(jié)不同而有周期性變化。太陽赤緯的最高度數為23°26′，夏至時太陽的赤緯為+23°26′，冬至時太陽的赤緯為-23°26′。春分和秋分時太陽的赤緯為 0°。

由于地球公轉軌道的偏心率非常低，可以看作是一個圓圈，太陽赤緯δ可用下面這個公式來計算：

其中n為當日日期序號，1月1日時，n=1，以此類推得10月22日，n=295。

聯立式子(1) -(5)得到方程組：

求解上述方程組，得：

可見，影子長度的變化與當地地理位置P(φ,ρ)，直桿長度L，時間T(t,d)這三個參數有關。

3. 模型的求解

首先計算題目所給條件下的h，δ和φ，再將上述參數值代入(2)式，得出從 9：00-15：00的太陽高度角隨時間的變化(具體值見附錄)。相應地，可求得直桿影長數據(具體見附錄)。從結果中挑選出幾個比較重要的時間點，將相應結果制成下表以供參考：

表1 影子長度分布

結構分析：

影長隨著時間的增加，呈現先減小后增大的趨勢，影長最小點出現在12：14，這是由于北京時刻為120°E的地方時，換算到116°E附近時，會產生時差，顯然是符合常理的。