李蕊
[摘要]雞兔同籠這個問題流傳已久,解決方法層出不窮且難易不一?;谕A段的學生解決這一問題的方法,來研究學生解決“雞兔同籠”這一實際問題方法的發(fā)展,并對教學進行思考。
[關鍵詞]雞兔同籠;方法;思維
[中圖分類號]G623.5 [文獻標識碼]A [文章編號]1007-9068(2020)08-0085-02
數學是一門邏輯性較強的學科,對于小學數學而言,數學的學習過程一定要有趣味性才能啟發(fā)學生,并引導學生深入學習。單純的學習概念或運算方法顯得十分枯燥乏味,于是在小學數學中多了一類解決實際問題的題目,這類題目通常由文字或圖形來表達一定的含義,學生通過讀題來理解題意,并結合學過的知識來思考如何解決這一問題,整個過程不僅加強了學生對知識的理解,更讓學生理解了數學與實際生活的聯系。對于解決實際問題而言,學生在不同階段解決問題的方法和形式不盡相同,可以說,隨著數學學習的深入,學生的解題能力在慢慢提高,并形成更多新的方法和技巧,使自己的實際應用能力更加強。這篇文章的內容將會就小學生在不同階段下解決實際問題方法的發(fā)展進行研究。
小學數學中,有一個非常經典的問題叫“雞兔同籠”問題,源自中國古代數學著作《孫子算經》。它實質是一個方程問題,但在小學階段,以人教版課本為例,在四年級下冊的“數學廣角”中,給了學生不同的解題方法,例如,列表法、抬腳法等。讓我們由淺入深,去看看要解決此類問題有多少種方法。
一、畫圖法
低年級學生的邏輯思維還不是很強,通常會畫圖表達題目中的內容。
[例1]今有雞和兔同籠,頭5個,腳14只,籠中有雞、兔各幾只?
此時我們畫圖來表達,因為不清楚兩種動物的數量,所以我們畫圖不做區(qū)分,都用小圓圈表示小動物的頭和身,再添上腳,雞有兩只腳,兔子有四只腳,那么我們都畫上兩只腳,這樣不足的再去補全,直到數出14只腳為止。如下圖:
這種方法十分適合三年級以下的學生。在剛剛接觸實際問題時,難免會在讀題上出現問題,覺得文字題難理解,無法轉化成學過的知識。畫圖法則直觀地呈現出了題目中的信息,既可以幫助學生理解題意,又能提升學生的興趣,使學生發(fā)現解決實際問題的樂趣。
二、列表法
在學生學習更多運算后,數字這一概念會被重視,站在數字的角度來思考時,學生就可以利用列表法來解題,以例1題目為例,可從雞的數量為0開始列表,直到滿足腳的數量為14只。分析后可列出下表:
這種方法對低年級學生依然適用,這種方法雖然稍顯麻煩,但是非常有邏輯性,可以適當引導學生使用列表法,但不要生搬硬套,這樣才能及時找到正確答案。另外,數據較大時,教師可以引導學生根據數據的特點,按一定的間隔或從中間數開始列舉,不斷優(yōu)化列舉法,靈活快捷地解決問題。
三、假設法
小學的學習是幫助學生建立數學思維的過程,在不斷的探索中,學生會把解決問題的整體思路偏向于抽象思維,而不再沉浸于表面。中年級學生學了四則運算,就可以利用假設法去思考并列式來解決問題。假設法是根據題目中的已知條件或結論做出某種假設,將復雜的問題簡單化,從而迅速找到解題思路。
[例2]有雞和兔同籠,頭19個,腳58只,籠中有雞、兔各幾只?
①假設籠中全部是雞
假設籠中全部是雞,那么腳有38只,還剩余20只腳,我們需要把現有的雞換成兔,將剩余的腳的數量換成兔,1只兔換1只雞,就需要補2只腳,換了幾次就是兔的數量。分析后可列式求兔的數量:(58-19x2)÷(4-2),算得兔有10只,雞有19-10=9(只)。同理可假設籠中全部為兔,列式求雞的數量:(19x4-58)÷(4-2)。
②假設抬腳
假設籠中的動物都抬起2只腳,此時籠中動物有38只腳抬起,而雞的腳有2只,說明剩余的腳的數量都是兔的腳,每只兔只剩2只腳,此時我們將剩余的每兩只腳確定一只兔,就可確定兔的數量。分析后可列式求兔的數量:(58-19x2)÷(4-2),算得兔有10只,雞有19-10=9(只)。
相對于上面的假設籠中全部是雞的算式是一樣的,思路雖然有不同,但整體非常相似,個人認為,假設抬腳這種方法趣味性更高,更能幫助學生理解問題。
假設法是解決問題的一種蹊徑,更是數學教學的難點,在運用上不光要理解假設法,還需要根據假設法列出正確式子,幫助學生提升數學思維。
四、方程法
高年級的學生認知能力逐漸升級,從抽象思維慢慢轉化成邏輯推理,這時他們開始接觸方程。在列方程的過程中,要讓學生結合實際問題,利用已知條件去找等量關系,然后列出式子。以例2為例題,來總結方程的用法。此時我們可以設雞的數量為x只,那么由“頭的數量19個”可知兔有(19-x)只,再讀到下句話中得知腳有58只,雞有2x只腳,兔有4(19-x)只腳,可用腳的總數量列出方程:2x+4(19-x)=58。
方程法是后期學生解決實際問題時的一個常用方法,在分數除法、行程問題中都應用廣泛。小學階段的方程延伸到初中,會演變出二元一次方程組,與雞兔同籠同理,是根據兩個量的不同關系來列出兩個不同方程,結合在一起后找到方程的解從而解決問題。方程法的實用性由此可見。
通過上述不同階段的學生對于解決“雞兔同籠”問題方法的分析,我做出以下總結:低年級學生的數學思維還沒有完全形成,更關注表象,所以學生解題采用畫圖法來解題;中年級學生在學習過程中逐漸認識到了數字的重要性,在不斷用數量關系解題的過程中,更是不斷提升自己的邏輯性,所以學生解題會有一些嘗試性的方法體現出來,在優(yōu)化方法的過程中,學生的數學思維更加抽象化,邏輯性增強,此時學生的思路不再常規(guī)化,而更加多樣化;高年級學生的數學思維逐漸轉化為邏輯推理,并能把方法優(yōu)化成省時省力且正確率高的方法,不斷運用最優(yōu)方法解決問題。
“雞兔同籠”問題有多種變形,例如一家人出行買票問題,分段行程問題。學生在不斷的應用中不僅能鍛煉思維,更能體會到數學的趣味性和多樣性。針對不同階段的學生,教師要有針對性地備課和講解,有效地幫助學生理解不同的解題方法,以達到良好的教學效果。
(責編:黃露)