李寧英

(新疆克拉瑪依市第一中學(xué) 834000)

方法1恰當(dāng)設(shè)元后利用平均值不等式進(jìn)行證明.

設(shè)2x+y+z=a,x+2y+z=b,x+y+2z=c，則a,b,c均為正實(shí)數(shù),

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c，即x=y=z時等號成立.

評析方法1利用平均值不等式證明的關(guān)鍵是分拆和轉(zhuǎn)化，直接不好分拆時考慮重新設(shè)元，將分母設(shè)元后，將分母變簡單，拆項(xiàng)后利用均值不等式，注意均值不等式等號成立的條件.

方法2恰當(dāng)設(shè)元后將要證的不等式等價轉(zhuǎn)化.

轉(zhuǎn)化為只要證

原不等式得證.

評析方法2通過觀察原式的結(jié)構(gòu)，進(jìn)行設(shè)元，將原不等式進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化，將要證的不等式變得簡潔，然后再利用柯西不等式進(jìn)行證明.

方法3利用調(diào)和平均數(shù)與算術(shù)平均數(shù)的關(guān)系證明.

當(dāng)且僅當(dāng)a>0,b>0,a=b時等號成立.

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z時等號成立.

方法4構(gòu)造兩組數(shù)，利用排序不等證明.

不防設(shè)x≥y≥z>0，

則2x+y+z≥x+2y+z≥x+y+2z,

兩組數(shù)及排序不等式“逆序和”小于等于“亂序和”可得：

由2(1)+(2)+(3)得

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z時等號成立.

評析應(yīng)用排序不等式，構(gòu)造出恰當(dāng)?shù)膬蓚€便于排序的數(shù)組是關(guān)鍵，一般都采用“不防設(shè)”的技巧進(jìn)行排序，借助這種大小順序進(jìn)行適度的“放縮”，再利用不等式的性質(zhì)從而得證.

方法5巧妙拆分后利用柯西不等證明

+(x+2y+z)+(x+y+2z)]

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z時等號成立.

評析根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征，觀察左邊每一項(xiàng)分子、分母關(guān)系，進(jìn)行拆分，約掉分子、分母的共同因式，然后再利用柯西不等式進(jìn)行證明.

通過不等式證明的五種方法，希望對不等式證明中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法加以梳理，從而找到解決不等式證明的一般方法，大家在今后處理類似問題時加以運(yùn)用和體會.