鄭玉平

（蘇交科集團(tuán)檢測(cè)認(rèn)證有限公司，南京211112）

1 引言

連續(xù)梁橋的頻率特性一般只能通過(guò)有限元分析計(jì)算得到，建模分析工作量大。本文針對(duì)等截面連續(xù)梁橋，采用微分方程解析求解與超越方程數(shù)值求解相結(jié)合的方法，給出此類橋梁的動(dòng)力特性解析解。

2 等截面連續(xù)梁橋自振頻率求解

對(duì)如圖1 所示的等跨、等截面連續(xù)梁結(jié)構(gòu)，任取第s跨為分析對(duì)象，其第n階振型函數(shù)以及振型函數(shù)對(duì)位置坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)表示為方程式（1）～式（3）：

圖1 連續(xù)梁示意圖

式中，漬ns為第n階振型函數(shù)，漬憶ns為一階導(dǎo)數(shù)、漬義ns為二階導(dǎo)數(shù)；Ans、Bns、Cns、Dns、…為由邊界條件決定的常數(shù)；an為頻率參數(shù)。

以第s跨為對(duì)象，其振型函數(shù)以及相鄰兩跨的振型函數(shù)應(yīng)滿足以下邊界條件：

式中，E為彈性模量。

將振型函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)代入上式邊界條件，即可得到連續(xù)梁振型函數(shù)的邊界方程：

聯(lián)立方程可得到第s跨的三彎矩方程（8）：

式中，Mn（s-1）、Mns、Mn（s+1）對(duì)應(yīng)n階s-1、s、s+1 連續(xù)支點(diǎn)處的彎矩。

采用三彎矩方程構(gòu)成一個(gè)聯(lián)立方程組，方程組的解為結(jié)構(gòu)按固有振型振動(dòng)時(shí)節(jié)點(diǎn)彎矩。由于彎矩的任意性，要求方程組的系數(shù)行列式必須為零，這就構(gòu)成了一個(gè)以Gns和Hns為未知數(shù)，或本質(zhì)上以頻率參數(shù)ansls為未知數(shù)的方程，即為連續(xù)梁的頻率方程。表1 為等截面等跨徑連續(xù)橋的頻率方程。

表1 等截面等跨徑連續(xù)梁橋的頻率方程

采用數(shù)值方法進(jìn)行求解，可得到相應(yīng)的頻率參數(shù)anl。將anl由小到大排列，可發(fā)現(xiàn)anl是按表1 中的頻率方程排序順次取值，并循環(huán)往復(fù)，部分結(jié)果如表2 所示。自振圓頻率如下：

表2 等截面等跨徑連續(xù)梁橋的部分頻率參數(shù)al

連續(xù)梁橋隨跨數(shù)的增加，其頻率譜逐漸變得密集，此種頻譜加密是由連續(xù)梁橋內(nèi)支點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)約束條件的不同引起。

3 等截面連續(xù)梁橋振型方程求解

隨著橋跨數(shù)量的增加，連續(xù)梁橋的振型函數(shù)也變得更為復(fù)雜，但不同橋跨數(shù)量連續(xù)梁橋的振型函數(shù)之間存在著一定的聯(lián)系。約定每一橋跨左支點(diǎn)x=0、右支點(diǎn)x=ls，本節(jié)將在此坐標(biāo)體系下建立等截面、等跨徑連續(xù)梁橋的振型方程。

設(shè)連續(xù)梁第i跨第n階的振型方程如式（10）：

再次應(yīng)用上文中給出的連續(xù)梁橋邊界條件方程（4）～（7），可將振型方程中的4 個(gè)參數(shù)用單一變量描述，即為等截面連續(xù)梁橋的振型方程解析解。本文對(duì)常見(jiàn)跨徑連續(xù)梁橋進(jìn)行了求解。

對(duì)二跨連續(xù)梁橋：

1）第2n+1 階振型（n=0，1，2，3，…），準(zhǔn)1（x）=Aisinanx；準(zhǔn)2（x）=-Aisinanx；

2）第2n+2 階振型（n=0，1，2，3，…），準(zhǔn)1（x）=（cosalsinaxcoshalsinhax）B2；

由于此二振型方程后文還會(huì)用到，為便于區(qū)分，記準(zhǔn)*L（x）=準(zhǔn)1（x）；準(zhǔn)*R（x）=準(zhǔn)2（x），二者為對(duì)稱振型。

對(duì)于更多跨的連續(xù)梁橋，其振型也有固定的范式。兩側(cè)邊跨振型方程為頻率參數(shù)al的函數(shù)準(zhǔn)*L（x）和準(zhǔn)*R（x），二者形狀關(guān)于連續(xù)梁中點(diǎn)對(duì)稱，且函數(shù)形式與上式相同，并不隨連續(xù)梁跨數(shù)的增加而改變。其余各中跨的振型準(zhǔn)i（x）均可描述為兩邊跨振型的線性組合，即：

其中，準(zhǔn)*L（x）=（cosalsinax-coshalsinhax）B2；準(zhǔn)*R（x）=（-cotalsinax+cosax+cothalsinhax-cosax）B2；對(duì)于等跨徑、等截面連續(xù)梁橋，無(wú)論截面尺寸、材料性質(zhì)和跨徑如何，a和b的數(shù)值均保持不變。此數(shù)值是由頻率方程所決定的，只與結(jié)構(gòu)邊界條件和頻率有關(guān)，對(duì)于常用跨徑組合的系數(shù)a、b值匯總?cè)绫? 所示。

表3 連續(xù)梁橋振型組合系數(shù)（a，b）

4 結(jié)論

1）由于橋跨間約束的影響，相對(duì)于單跨簡(jiǎn)支梁橋，連續(xù)梁橋天然具有密集模態(tài)分布特性，在連續(xù)梁橋動(dòng)力檢測(cè)中應(yīng)注意提高測(cè)試頻域分辨率，避免頻率遺漏。

2）等跨徑、等截面連續(xù)梁橋的振型方程同樣存在固定振動(dòng)范式，中跨的振型方程可通過(guò)兩邊跨振型方程的線性疊加得到，疊加系數(shù)只與橋梁跨數(shù)有關(guān)。