王永超,翟昌海

(吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,吉林 長春 130000)

0 引言

所謂能觀規(guī)范型，就是能觀系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)形狀態(tài)空間描述，一個(gè)正常系統(tǒng)總可以化為能觀規(guī)范型，而且能觀規(guī)范型在系統(tǒng)的極點(diǎn)配置等綜合問題中有著重要的應(yīng)用[1].文獻(xiàn)[2-6]研究了單輸入單輸出系統(tǒng)的問題，以及能控規(guī)范型和能觀規(guī)范型問題，但沒有考慮多變量廣義系統(tǒng)的能觀規(guī)范型問題，本文對其進(jìn)行了補(bǔ)充.

1 預(yù)備知識

對于正則的廣義系統(tǒng)

(1)

其中,x(t)∈Rn,u(t)∈Rm和y(t)∈Rl分別為狀態(tài)、輸入和輸出向量;E,A∈Rn×n,B∈Rn×m,C∈Rl×n為定常矩陣;E為奇異矩陣,且假定degdet(sE-A)=r[7].

首先系統(tǒng)(A,B)能觀的充要條件

rank[c1…cm/c1A…cmA/…/c1An-1…cmAn-1]=n

(2)

其中,C=[c1/c2/…/cm] .因此,在此式中存在n個(gè)線性無關(guān)的行.即任何能觀的正常系統(tǒng)均相似于能觀規(guī)范型.下面用一種特殊的情況來表示上述結(jié)構(gòu)

(3)

其中*表示允許的非0值,空白處為0.

2 主要結(jié)果

定理1廣義系統(tǒng)(1)能觀的充要條件是[sE-A/C]在受限等價(jià)變換下具有形式

(4)

其中

則稱式(4)為多變量廣義系統(tǒng)(1)的廣義能觀規(guī)范型.

證明 必要性.由rank(E)=q,存在非奇異矩陣P和Q使

其中

C(n-q)m=(cij) ，i=1,2,…,(n-q);j=1,2,…,m

重復(fù)上述過程,有

或

其中

于是

(5)

(6)

由于rank[sE-A/C]=n,因此

充分性.由受限等價(jià)變換不改變廣義系統(tǒng)的能觀性知,結(jié)論成立.

3 結(jié)論

綜上可見,研究了多變量廣義系統(tǒng)的能觀規(guī)范型問題,但是多輸入多輸出的廣義系統(tǒng)的能觀規(guī)范型不唯一,這就導(dǎo)致了多變量廣義系統(tǒng)的能觀規(guī)范型形式的多樣性.這里只介紹一種廣義能觀規(guī)范型.