翟昌海

(吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,吉林 長春 130000)

0 引言

廣義系統(tǒng)是比正常系統(tǒng)更具普遍形式的動力系統(tǒng)[1],廣義系統(tǒng)理論的發(fā)展是從20世紀(jì)70年代開始的,并逐漸發(fā)展起來成為現(xiàn)代控制理論的一個(gè)獨(dú)立分支[2].近年來,很多系統(tǒng)與控制領(lǐng)域的專家做了很多研究,同時(shí)也取得了很多卓越的成就.在控制理論中,無論是古典控制理論[3],還是現(xiàn)代控制理論[3],反饋控制都是設(shè)計(jì)系統(tǒng)的主要方式.它體現(xiàn)了系統(tǒng)能控的實(shí)用價(jià)值,能夠更好地改善系統(tǒng).反饋控制可分為狀態(tài)反饋和輸出反饋兩個(gè)基本類型[4,5].

然而,在大多數(shù)的文獻(xiàn)中,學(xué)者都是針對比例狀態(tài)反饋或比例輸出反饋構(gòu)成閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖控制問題進(jìn)行研究,對于輸出導(dǎo)數(shù)比例反饋[6]構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)的研究并不多見.然而,在一定條件下,同樣可以使得輸出導(dǎo)數(shù)比例反饋[7]構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)無脈沖.本文主要研究導(dǎo)數(shù)比例反饋構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)無脈沖的充要條件.

1 主要引理

引理1[8]設(shè)廣義系統(tǒng)

(1)

能檢測且脈沖能觀,且E0∈Rn×(n-q)列滿秩且滿足ETE0=0,則下列命題等價(jià):

1)廣義系統(tǒng)(1)是容許的.

2)存在矩陣X≥0和M∈R(n-q)×n滿足廣義李雅普諾夫方程

(2)

3)存在矩陣X∈Rn×n和M∈R(n-q)×n滿足廣義李雅普諾夫方程(2)及約束

ETXE≥0

(3)

設(shè)

則方程(2)變?yōu)?/p>

TTATSST(XE+E0M)T+TT(XE+E0M)TSSTAT+TTCTCT=0

等價(jià)于

即為

(4)

再由式(4)有

其中

(6)

(7)

2)?3)是顯然的.

證畢.

引理2[8]考慮廣義系統(tǒng)

(8)

其中,x(t)∈Rn為狀態(tài)，E,A∈Rn×n為定常矩陣,E為奇異矩陣,滿足rank(E)=q

1)廣義系統(tǒng)(8)是容許的.

2)存在矩陣X>0和M∈R(n-q)×n滿足廣義李雅普諾夫不等式

(9)

3)存在矩陣Y∈Rn×n滿足下列不等式

證明 2)?1) 令

L=-AT(XE+E0M)-(XE+E0M)TA

由式(9)得L>0.于是有

由引理1得命題(1)成立.

1)?2) 因?yàn)閺V義系統(tǒng)(8)是容許的,則對任意非奇異矩陣C∈Rn×n,(E,A,C)都是能觀且脈沖能觀的.于是由引理1知,存在矩陣X>0和M∈R(n-q)×n滿足

AT(XE+E0M)+(XE+E0M)T=-CTC<0

得命題2)成立.

命題2)與3)的等價(jià)性容易得出,由于篇幅限制本文不再加以證明.

2 主要內(nèi)容

考慮如下正則的廣義系統(tǒng)

(11)

其中,x(t)∈Rn,u(t)∈Rm和y(t)∈Rl分別為狀態(tài)向量、輸入向量和輸出向量.E,A∈Rn×n,B∈Rn×m,C∈Rl×n,D∈Rl×n皆為定常矩陣,E為奇異矩陣.假設(shè)rank(E)=q,且degdet(sE-A)=r.

輸出導(dǎo)數(shù)比例反饋形式如下

其中,v(t)∈Rm.廣義系統(tǒng)(11)在其作用下構(gòu)成閉環(huán)廣義系統(tǒng)

(12)

定理1對于廣義系統(tǒng)(11)存在輸出導(dǎo)數(shù)比例反饋.

使閉環(huán)廣義系統(tǒng)(12)無脈沖的充要條件是存在一個(gè)可逆矩陣X∈Rn×n和矩陣W∈Rm×n,Z∈Rm×n,滿足如下線性矩陣不等式:

(13)

證明 根據(jù)引理2,閉環(huán)系統(tǒng)(12)是能穩(wěn)且無脈沖的,當(dāng)且僅當(dāng)存在可逆矩陣P滿足:

(14)

在方程(14)兩邊左乘矩陣P-T,右乘矩陣P-1,可以得到

P-T(E+BF)T=(E+BF)P-1≥0

(15)

經(jīng)過整理得

[(E+BF)P-1]T=(E+BF)P-1≥0

(16)

在方程(15)兩邊左乘矩陣P-T,右乘矩陣P-1,可以得到

P-T(A+BK1)T+(A+BK1)P-1<0

(17)

令X=P-1,則設(shè)K1X=W,YX=Z代入(16)式和(17)式中,便得到(13)式.

證畢.

特別的,當(dāng)E是非奇異時(shí),廣義系統(tǒng)(11)等價(jià)于

(18)

系統(tǒng)(18)即是正常系統(tǒng);如果E退化為單位矩陣,即E=I,則廣義系統(tǒng)(11)退化為正常系統(tǒng).一般來說,廣義系統(tǒng)的結(jié)論適用于E非奇異的情形,由此可得到以下推論.

推論1當(dāng)rank(E)=n時(shí),定理1仍然成立.

證明 當(dāng)E為非奇異矩陣時(shí),廣義系統(tǒng)(11)成為一個(gè)正常系統(tǒng),從矩陣E廣泛取值的角度考慮,廣義系統(tǒng)是對正常系統(tǒng)的推廣,因此,定理1對rank(E)=n時(shí)的情形顯然成立.

推論2當(dāng)E=I時(shí)，廣義系統(tǒng)(11)退化為如下的正常系統(tǒng)

(19)

閉環(huán)系統(tǒng)為

(20)

則閉環(huán)系統(tǒng)(20 )無脈沖的充要條件為:存在一個(gè)可逆矩陣X∈Rn×n和矩陣W∈Rm×n,Z∈Rm×n,滿足如下線性矩陣不等式:

(21)

證明 根據(jù)引理2,閉環(huán)系統(tǒng)(12)是能穩(wěn)且無脈沖的,當(dāng)且僅當(dāng)存在可逆矩陣P滿足:

(22)

在方程(22)兩邊左乘矩陣P-T,右乘矩陣P-1,可以得到

P-T(I+BF)T=(I+BF)P-1≥0

(23)

經(jīng)過整理得

[(I+BF)P-1]T=(I+BF)P-1≥0

(24)

在方程(23)兩邊左乘矩陣P-T,右乘矩陣P-1,可以得到

P-T(A+BK1)T+(A+BK1)P-1<0

(25)

令X=P-1,則設(shè)K1X=W,YX=Z代入(24)式和(25)式中,便得到(21)式.

證畢.

3 總結(jié)

廣義系統(tǒng)的提出和研究到現(xiàn)在已有幾十年的歷史,經(jīng)過無數(shù)學(xué)者的不斷鉆研已取得豐碩的成果.針對利用反饋控制消除脈沖的問題,研究者們對狀態(tài)反饋使閉環(huán)系統(tǒng)無脈沖這一問題已得出了成熟的結(jié)論,但對于輸出導(dǎo)數(shù)比例反饋使閉環(huán)系統(tǒng)無脈沖的研究還不多見.本文在現(xiàn)有理論的基礎(chǔ)上,應(yīng)用線性矩陣不等式的方法對這一問題進(jìn)行了討論.雖然本文對輸出導(dǎo)數(shù)比例反饋在廣義系統(tǒng)中的應(yīng)用做了部分研究,但仍存在許多問題值得探討.例如:考慮將輸出導(dǎo)數(shù)比例反饋應(yīng)用在時(shí)滯系統(tǒng)中,這也是需要進(jìn)一步研究的課題.