王磊

[摘要]線段最值問題是平面幾何中常見的問題。該類問題一般以動點為出發(fā)點，存在眾多變化量，如線段長、幾何周長和面積等。求解的關(guān)鍵是確定最值情形，實現(xiàn)動態(tài)問題的具體化。

[關(guān)鍵詞]線段;最值;策略

[中圖分類號]G633.6[文獻標(biāo)識碼]A [文章編號]1674-6058（2020）08-0022-02

求線段最值是動態(tài)幾何的典型問題。由于問題中給定的幾何條件是變化的，存在一些特殊的動點，從而造成相關(guān)的線段長不確定。下面探討線段最值問題的解題策略。

策略一：直接利用垂線段最短的性質(zhì)

連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短，這是垂線段的核心性質(zhì)。因此涉及直線外一點與直線上點的連線問題時，可以結(jié)合垂線段的性質(zhì)來直接構(gòu)建模型，將動態(tài)問題轉(zhuǎn)化為具體的常規(guī)問題。

分析：本題是關(guān)于雙動點的線段和問題，基本解題思路是通過適度變換將其轉(zhuǎn)化為單線段問題，然后結(jié)合相應(yīng)的定理來確定最值情形。對于本題，由于點

策略二：利用兩點之間線段最短公理

“兩點之間，線段最短?！痹诮馕鲫P(guān)于兩點之間的線段最值問題時，可以結(jié)合問題情形利用上述公理來加以突破。對于不在同一直線上的多線段問題，則可以適度結(jié)合軸對稱變換的方法來靈活轉(zhuǎn)化。

分析：本題求BP的長，實際上就是求PE+PF取得最小值時點P的位置。因此需要分析取得最小值時的具體情形。對于"PE+PF”，其中點P是BC上的動點，而定點E和F均位于BC的同一側(cè)，可以通過軸對稱變換的方式，將兩定點轉(zhuǎn)移到異側(cè)，后續(xù)利用公理“兩點之間，線段最短”來確定點P的位置。

策略三：利用函數(shù)性質(zhì)分析最值

函數(shù)思想同樣可以用于線段最值問題的分析，即構(gòu)建關(guān)于線段長的代數(shù)模型，利用函數(shù)性質(zhì)來加以分析。比如利用二次函數(shù)來直接求最值，利用一次函數(shù)來分析數(shù)值變化。而構(gòu)建函數(shù)時需要結(jié)合公式定理，常用的有勾股定理、相似三角形的邊長比例特性。

策略四：通過“畫圓”確定取值情形

繪制軌跡圓是求解動點問題的方式之一，在分析動點背景下的線段最值問題時，可以通過“畫圓”來確定動點的運動軌跡，進而結(jié)合相關(guān)性質(zhì)定理確定線段的最值。

分析：根據(jù)題干條件可知DF=DB=CD始終成立，隨著點E的變化點F的位置也會變化，但DF始終與DB等長，則點F的軌跡就為一個圓，則可以通過“畫圓”來構(gòu)建點F的軌跡，進而確定AF的最值。