欒 偉 偉

(隴東學院 土木工程學院，甘肅 慶陽 745000)

土木工程材料種類很多，性質(zhì)不同，用途各異，例如：混凝土、鋼材、陶瓷、玻璃和橡膠等[1]。彈性階段是土木工程材料應用的主要階段，有必要對土木工程材料的彈性階段進行分析。彈性是土木工程材料的固有力學屬性，也是土木工程材料力學測試的主要指標之一。在土木工程材料各種力學變形模型中，假設其各處處于應力為零的初始狀態(tài)下，由零荷載起始加載，變形從起始點到達各變形階段,彈性階段處于各種力學變形的第一階段。彈性階段變形是可逆變形。一些土木工程材料彈性曲線比較長，彈性階段比較明顯；一些土木工程材料彈性曲線比較短，彈性階段不明顯。根據(jù)外力(應力)與變形(應變)之間的關(guān)系，土木工程材料的彈性階段分為線彈性階段和非線性彈性階段。土木工程材料處于線彈性階段，外力(應力)與變形(應變)呈線性關(guān)系。土木工程材料處于非線性彈性階段，外力(應力)與變形(應變)不再是線性關(guān)系，呈非線性關(guān)系。對應力和應變之間關(guān)系的描述是對土木工程材料本構(gòu)關(guān)系的構(gòu)建。土木工程材料在線彈性階段符合Hooke定律。在非線性彈性階段，土木工程材料的本構(gòu)關(guān)系模型眾多[2-4]。土木工程材料所處的彈性階段具有加載曲線與卸載曲線吻合，應力與應變同相，變形與時間無關(guān)的性質(zhì)，土木工程材料在此彈性階段具備彈性完整性。土木工程材料加載曲線與卸載曲線出現(xiàn)不吻合，卸載曲線中應變所對應的應力小于加載曲線中同一應變所對應的應力，表現(xiàn)為彈性后效、循環(huán)韌性和包申格效應。在此彈性階段土木工程材料不具有彈性完整性。土木工程材料的彈性在各個方向相同，與方向無關(guān)，表現(xiàn)為彈性各向同性。土木工程材料的彈性在不同的方向上具有不同的彈性性質(zhì)，土木工程材料表現(xiàn)為彈性各向異性。少數(shù)土木工程材料的彈性具有彈性各向同性，絕大多數(shù)土木工程材料具有彈性各向異性。土木工程材料在彈性階段進行加載和卸載，呈現(xiàn)出記憶行為。

1 土木工程材料的彈性階段

1.1 土木工程材料處于線彈性階段

線彈性中的線指坐標系中的直線，線彈性也稱為比例彈性。土木工程材料的線彈性階段處于彈性階段的起始階段，外力(應力)與變形(應變)成正比例關(guān)系，呈線性變化。有些土木工程材料在外力作用下線彈性階段的變形非常小，應力與應變關(guān)系中線性表征不明顯；有些土木工程材料在外力作用下線彈性階段的變形比較大，應力與應變關(guān)系中線性表征明顯。在線彈性階段，對土木工程材料進行加載，外力(應力)與變形(應變)曲線顯示為直線，此直線為土木工程材料線彈性階段的加載曲線。土木工程材料在線彈性階段變形都比較小，這種變形是可以恢復的。當加載完成后，逐漸撤去荷載對材料進行卸載，外力(應力)與變形(應變)曲線同樣為直線。此直線為土木工程材料線彈性階段卸載曲線。在卸載過程中，土木工程材料的變形(應變)由加載終止點的變形(應變)沿直線恢復到加載起始點的變形(應變)，無殘余變形(應變)。土木工程材料在線彈性階段的加載曲線與卸載曲線吻合，應力(外力)與應變(變形量)同相，土木工程材料在線彈性階段具備彈性完整性。在相同外力作用下，不同土木工程材料具有不同的彈性變形量。彈性模量E為土木工程材料在線彈性階段應力與應變曲線上初始直線的斜率。直線斜率越大，彈性模量E越大，剛度越大。土木工程材料在外力作用下發(fā)生變形的過程中，常常伴隨有溫度上升的現(xiàn)象，在空氣中釋放出熱能發(fā)生熱能損耗。土木工程材料處于線彈性階段，作用的外力(應力)與變形量(應變)呈正比例關(guān)系，符合Hooke定律。線彈性模型稱為線彈性理論。

1.1.1 Hooke定律

Hooke定律是由英國力學家Robert Hooke于1678年發(fā)現(xiàn)的。Hooke定律的假設：

(1)土木工程材料變形小，且可恢復。

(2)土木工程材料卸載時，變形無殘余變形。

(3)土木工程材料變形同時間無關(guān)系。

(4)土木工程材料變形過程中無能量損耗。

Hooke定律的內(nèi)容為土木工程材料在線彈性范圍內(nèi)，施加在土木工程材料上的外力與單向拉伸或壓縮變形量成正比例關(guān)系。其公式為：

F=-kx

(1)

其中：F為作用在土木工程材料上的外力；k為土木工程材料的彈性系數(shù)，它是土木工程材料的本身屬性；x為土木工程材料的單向拉伸或壓縮變形量；負號表示作用在土木工程材料上的外力與土木工程材料的單向拉伸或壓縮變形量的方向相反。

19世紀初，在前人大量實驗工作的基礎上，英國科學家Thomas Young總結(jié)了Robert Hooke等人的研究成果，創(chuàng)造性地將Hooke定理拓展到材料的應力和應變關(guān)系。他提出土木工程材料在線彈性范圍內(nèi)，應力和應變呈正比例關(guān)系：

(2)

式中：σ為土木工程材料中的正應力；E為土木工程材料的彈性模量(楊氏彈性模量)，彈性模量為土木工程材料固有常數(shù)；ε為土木工程材料中的正應變；τ為土木工程材料中的切應力；G為土木工程材料的剪切模量，剪切模量為土木工程材料固有常數(shù)；γ為土木工程材料中的切應變。

1.1.2 廣義Hooke定律

若將Hooke定理推廣到三維，稱之為廣義Hooke定律。廣義Hooke定律公式[5]如下：

σij=Cijklεkl

(3)

式中:σij表示土木工程材料中的應力張量，為二階對稱張量；εkl表示土木工程材料中的應變張量，為二階對稱張量；Cijkl表示土木工程材料的彈性常數(shù)張量，為四階張量。

廣義的Hooke定律為土木工程材料構(gòu)建了在線彈性階段的力學材料本構(gòu)關(guān)系，為彈性力學的發(fā)展奠定了基礎。我們把滿足廣義的Hooke定律的土木工程材料稱為線彈性材料。廣義的Hooke定律使線彈性理論非常完善，能解決一些實際問題。廣義的Hooke定律模型是一種最簡單和最基本的力學模型。當土木工程材料的應力水平較低時，按該模型計算應力和應變關(guān)系與實際情況基本符合。

1.2 土木工程材料處于非線性彈性階段

隨著外力增加，當土木工程材料應力水平超過土木工程材料線彈性應力限值(比例極限)時，由線彈性階段進入到非線性彈性階段。土木工程材料由線彈性階段向非線性彈性階段轉(zhuǎn)變，實際上土木工程材料的非線性彈性階段首先出現(xiàn)在試件應力最大值處，其他位置的應力還沒有達到線彈性階段的應力限值，仍處于線彈性階段。試件呈現(xiàn)出既有線彈性區(qū)又有非線性彈性區(qū)的局面。隨著荷載增加，當試件材料為彈性各向同性時，試件中其他各點從線彈性階段按梯度漸變到非線性彈性階段。在非線性彈性階段，土木工程材料隨著外力增大，土木工程材料的變形繼續(xù)發(fā)生，變形仍然可恢復，變形比較大。土木工程材料的應力與應變曲線由直線變?yōu)榉蔷€性曲線，不再遵從線性規(guī)律，呈現(xiàn)非線性曲線變化。土木工程材料的彈性模量E發(fā)生變化，由定值變?yōu)樽冎怠Ｍ聊竟こ滩牧系淖冃涡遁d后能恢復到開始加載時的變形，無殘余變形。土木工程材料的變形從線彈性階段的變形發(fā)展到非線性彈性階段的變形，有變形歷史的影響，存在時間問題。從加載到變形是一個過程，也需要時間。土木工程材料的非線性彈性變形對時間具有依賴性。隨著變形繼續(xù)發(fā)展，土木工程材料的溫度上升，能量損耗增加。在非線性彈性階段，有些土木工程材料加載曲線與卸載曲線吻合，應力與應變同相，具有彈性完整性；有些土木工程材料加載曲線與卸載曲線不吻合，卸載曲線中應變所對應的應力小于加載曲線中同一應變所對應的應力，不具有彈性完整性。但當荷載卸載到線性彈性階段，加載曲線同卸載曲線吻合，應力與應變同相，土木工程材料又具有彈性完整性，

1.2.1 非線性彈性中的非線性分類

非線性彈性中的非線性實際中體現(xiàn)在兩個方面[6]:

(1)材料非線性，即應力與應變關(guān)系中的非線性，為土木工程材料本構(gòu)關(guān)系非線性。高分子聚合物和橡膠等土木工程材料的應力和應變關(guān)系中存在這種非線性。

(2)幾何非線性,即應變和變形梯度關(guān)系中的非線性。幾何非線性由結(jié)構(gòu)受到外部因素作用產(chǎn)生的大變形或大應變引起。幾何非線性存在于薄板、薄殼、細桿、薄壁桿件的大變形問題和穩(wěn)定問題中。幾何非線性問題可以分為兩種情形：第一種情形，即大變形小應變，此時結(jié)構(gòu)只是經(jīng)歷了大的變形，應變分量仍假設為無限??；第二種情形，大變形大應變，為最常見情況。此時結(jié)構(gòu)的變形和應變都不再是無限小量。此處的“大”，不再是無限小，而是有限的或相當大。對于經(jīng)典彈性理論，結(jié)構(gòu)的平衡方程是建立在初始構(gòu)形上，并且不考慮結(jié)構(gòu)變形后平衡條件的改變，這也就是彈性理論的小變形假定。對于非線性彈性理論，結(jié)構(gòu)的平衡方程建立在結(jié)構(gòu)變形后的構(gòu)形之上；也就是說，結(jié)構(gòu)的平衡狀態(tài)會隨變形發(fā)生變化，而且這種變形一般是大變形。對于應變當超過一定百分比及不能忽視幾何形狀的改變時，可認為是大應變。應變表達式中必須包含變形的高階微量，不再是線性關(guān)系，這就是幾何非線性理論。

上述材料非線性和幾何非線性屬于兩個不同的問題，相互獨立，可單獨進行分析。非線性彈性實際問題分為三類：材料線性與幾何非線性問題、材料非線性與幾何線性問題以及材料非線性與幾何非線性問題。

1.2.2 土木工程材料的非線性彈性材料本構(gòu)關(guān)系模型

確定土木工程材料的非線性彈性材料本構(gòu)關(guān)系的方法有四種方法[7]：

(1)理論方法。用公理化體系建立非線性彈性材料本構(gòu)關(guān)系的數(shù)學模型，并表述其數(shù)學公式。

(2)實驗方法。通過實驗測量到的數(shù)據(jù)，直接表示應力和應變非線性彈性關(guān)系式。

(3)實驗修正理論方法。根據(jù)某些理論和部分實驗測量的數(shù)據(jù)，建立非線性彈性材料本構(gòu)關(guān)系。

(4)材料科學研究與細觀研究方法。

對于土木工程材料的非線性彈性材料本構(gòu)關(guān)系模型，常見的基本模型有彈性體理想模型和低彈性體模型[8]。

1.2.2.1彈性體理想模型

該模型假設：

(1)土木工程材料存在處于各點處應力為零的初始狀態(tài),初始構(gòu)形取此初始狀態(tài)。

(2)土木工程材料的受力結(jié)果只與相對應初始狀態(tài)的當前變形狀態(tài)有關(guān)。

(3)土木工程材料不考慮時間的影響。

彈性體理想模型可以用Green方法和Cauchy方法兩種途徑來建立相應的非線性彈性物理本構(gòu)方程。

(1)Green方法

按照彈性勢能確定的對應關(guān)系,使應變張量與彈性勢能建立映射。從彈性勢能(應變能或內(nèi)能)出發(fā)，得到彈性體的本構(gòu)方程。彈性勢能函數(shù)必須滿足許可性原理的需要(熱力學定律、能量守恒原理和質(zhì)量守恒原理等)。

應變張量同彈性勢能的映射表達式：

U:εij→U

(4)

應力張量的表達式：

(5)

其中：U表示彈性勢能關(guān)系；εij表示應變張量；σij表示應力張量。

Green方法建立的模型在理論上很好地描述土木工程材料的非線性彈性，將彈性的概念和用途更一般化。但此種方法確定的模型沒有體現(xiàn)材料系數(shù)彈性模量E和Poisson比γ在非線性彈性階段的變化，也沒有體現(xiàn)土木工程材料的硬化。不能很好地模擬土木工程材料在應力峰值后的應變軟化特性[9]。由于這類模型在建模時沒有考慮應力路徑和應變歷史的影響，忽略了時間因素，不適用于循環(huán)加載，只適用于簡單加載的情況。

(2)Cauchy方法

從彈性體具體的應力狀態(tài)對應于特定的應變狀態(tài)出發(fā)，直接假設應力與應變關(guān)系，建立應變張量與應力張量之間的映射。通過實驗確定其中系數(shù)，得到彈性體的本構(gòu)方程。

應變張量與應力張量之間的映射表達式：

σij:εkl→σij

(6)

其中：σij表示應力張量；εkl表示應變張量。

Cauchy方法建立的模型在理論上和數(shù)學形式上都比較簡單，應用面廣，使用方便。由于構(gòu)建模型時沒有考慮時間因素的影響，只適用于簡單加載。實際問題中需要確定的土木工程材料系數(shù)眾多而復雜，物理意義不明確，很難由實驗準確確定。很大程度上限制了這種方法確定模型的適用范圍。擬合的應力與應變曲線函數(shù)形狀有：折線型、雙曲線型、對數(shù)曲線型等。此方法常用來分析多孔結(jié)構(gòu)材料[10]。

1.2.2.2低彈性體模型

該模型從應力與應變時間變化率出發(fā)，引出低彈性體的概念，采用簡單變率理論的理想模型。按照0次對時間導數(shù)的應變速率張量齊次線性關(guān)系，建立低彈性體的當前應力狀態(tài)張量和當前應變率張量到當前應力率張量的映射。

(7)

或者：

dσij=Dijkl(σmn)dεkl

(8)

低彈性體模型考慮了時間因素對土木工程材料的應力和應變的影響，用簡單變率理論表述了二者的密切相關(guān)性，較好地描述了土木工程材料非線性彈性。此模型由于應力與應變的非線性和時間因素導致應力主軸與應變主軸不重合，出現(xiàn)正應力和剪應變之間出現(xiàn)耦合，土木工程材料顯示彈性各向異性。但低彈性模型一般不能反映土木工程材料的剪脹性及壓縮與剪切的交叉影響[11]。

2 土木工程材料彈性各向同性與彈性各向異性

2.1 土木工程材料具有彈性各向同性

土木工程材料具有彈性各向同性，彈性在各個方向相同，與方向無關(guān)。對于彈性各向同性的土木工程材料各個方向上具有相同的彈性常數(shù)。彈性常數(shù)為兩個，用彈性模量E和Poisson比γ表示。在線彈性階段，土木工程材料主應力與主應變方向一致，應力主軸同應變主軸重合。在經(jīng)典彈性力學中，三個應力不變量表達式[12]為：

第一應力不變量：

I1=σii

(9)

第二應力不變量：

(10)

第三應力不變量：I3=|σij|

(11)

其中：σij為土木工程材料任意一點的應力張量。Ii(i=1,2,3)為土木工程材料一點的第i應力不變量。

土木工程材料任意一點的應力狀態(tài)σij隨坐標系改變發(fā)生變化，但對于該點三個應力不變量Ii(i=1,2,3)在線彈性階段，表達式形式和數(shù)值不隨坐標系改變而發(fā)生變化。土木工程材料為彈性各向同性材料。少數(shù)土木工程材料在線彈性階段具有彈性各向同性。

2.2 土木工程材料具有彈性各向異性

土木工程材料具有彈性各向異性，彈性在不同的方向上，具有不同的彈性性質(zhì)。土木工程材料的彈性常數(shù)與方向有關(guān)，不同方向上彈性常數(shù)不相同。具有彈性各向異性的土木工程材料稱為彈性各向異性材料。在線彈性階段，土木工程材料三個應力不變量的形式和數(shù)值隨坐標系改變而改變。土木工程材料表現(xiàn)為彈性各向異性。在非線性彈性階段，土木工程材料應力與應變關(guān)系非線性，主應力與主應變方向不一致，應力主軸同應變主軸不重合，土木工程材料為彈性各向異性。土木工程材料在非線性彈性階段具有彈性各向異性。彈性正交各向異性材料是彈性各向異性材料中常見的一種。

3 土木土木工程材料的彈性呈現(xiàn)記憶性

1938年美國和蘇聯(lián)的科研人員發(fā)現(xiàn)有的金屬具有形狀記憶效應(shape memory effect，SME)[13]。隨著時間推移，科研人員通過對材料研究，發(fā)現(xiàn)了大量具有形狀記憶效應的材料。材料的形狀記憶效應現(xiàn)象的研究也得到了進一步發(fā)展。形狀記憶材料是指在一定條件下發(fā)生一定限值內(nèi)的變形，改變材料的外界條件，材料變形消失，恢復到原來形狀的材料[14]。形狀記憶材料包括形狀記憶合金、形狀記憶陶瓷、形狀記憶高分子聚合物和凝膠。形狀記憶材料研究主要集中在特定溫度下發(fā)生熱彈性(或應力誘發(fā))馬氏體相變或玻璃化轉(zhuǎn)變，能記憶材料特定的形狀。隨著新型的擴展性材料的出現(xiàn)，人們提出了智能材料[15]。智能材料的應用已經(jīng)普及到工程的各個領(lǐng)域，同我們的生活息息相關(guān)。

土木工程材料在荷載作用下處于彈性階段的記憶性賦予土木工程材料智能化。土木工程材料在外力作用下發(fā)生變形，當外力去除掉，它能恢復到原來大小和形狀，對原來大小和形狀具有記憶性。在外力刺激下，土木工程材料的彈性是土木工程材料大小和形狀記憶的具體表現(xiàn)。

土木工程材料在線彈性階段，加載曲線和卸載曲線為同一直線，在卸載過程中顯示沿加載曲線卸載，記憶加載路徑，土木工程材料具有記憶應力(應變)過程行為。同時，土木工程材料卸載后能恢復到原來初始應力(應變)狀態(tài)，具有記憶初始應力(應變)狀態(tài)行為。在外力刺激下，處于線彈性階段的土木工程材料具有應力(應變)記憶行為。在非線性彈性階段，有些土木工程材料加載曲線與卸載曲線吻合，應力同應變同相，土木工程材料具有應力(應變)記憶行為。有些土木工程材料加載曲線與卸載曲線不吻合，卸載時卸載曲線不沿加載曲線發(fā)生變化，卸載曲線中應變所對應的應力小于加載曲線中的同一應變所對應的應力。土木工程材料對應力(應變)過程不具有記憶行為。土木工程材料只記憶初始應力(應變)。當卸載到線彈性階段時，加載曲線與卸載曲線吻合，應力與應變同相，土木工程材料又具有應力(應變)記憶行為。

4 結(jié)語

當土木工程材料在外力作用下，土木工程材料的彈性有一定的限度稱為土木工程材料的彈性極限。不同的材料其彈性限度各不相同。試件應力最大值不超過某一極限值時，若外力作用停止，其形變?nèi)肯Ф謴驮瓲?。當土木工程材料在外力作用下，應力值超過彈性應力極限時，土木工程材料不再表現(xiàn)為彈性，變形階段變?yōu)樗苄宰冃坞A段。在這一變形階段中，卸載時，加載曲線與卸載曲線不重合，變形出現(xiàn)永久不可恢復變形。土木工程材料不再具有大小、形狀和應力(應變)記憶行為。