0,且滿足a+b+c+d=1,求證:為后續(xù)行"/>

亚洲免费av电影一区二区三区,日韩爱爱视频,51精品视频一区二区三区,91视频爱爱,日韩欧美在线播放视频,中文字幕少妇AV,亚洲电影中文字幕,久久久久亚洲av成人网址,久久综合视频网站,国产在线不卡免费播放

        ?

        一道不等式競賽試題的證明及推廣

        2020-03-30 05:36:10張曉建
        數(shù)理化解題研究 2020年7期
        關鍵詞:比雪夫運算量柯西

        張曉建

        (安徽省滁州中學 239000)

        一、試題呈現(xiàn)

        (第8屆香港奧林匹克試題)設a,b,c,d>0,且滿足a+b+c+d=1,求證:

        為后續(xù)行文方便,筆者在這里把證明所需不等式一并介紹.

        算數(shù)—幾何平均值不等式設x1,x2,…,xn∈R*,則

        其中等號當且僅當x1=x2=…=xn時取到.

        柯西不等式設ai,bi∈R,i=1,2,…,n,則

        (a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,

        當數(shù)組a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn不全為0時,等號當且僅當bi=λai(1≤i≤n)時成立.

        排序不等式設有兩組數(shù)a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn,滿足:a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn,則有

        a1bn+a2bn-1+…+anb1(反序和)

        ≤a1bt1+a2bt2+…+anbtn(亂序和)

        ≤a1b1+a2b2+…+anbn(同序和).

        其中{t1,t2,…,tn}={1,2,…,n}.當且僅當a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn時等號成立.

        切比雪夫不等式設兩個正數(shù)序列{an},{bn},

        若a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn,則

        二、解法賞析

        解析一0

        我們首先證明:

        即證48x3-8x2-5x+1≥0,

        即證(4x-1)2(3x+1)≥0.

        而當0

        則f(a)+f(b)+f(c)+f(d)

        解析二原不等式等價于

        48(a3+b3+c3+d3)≥8(a2+b2+c2+d2)(a+b+c+d)+(a+b+c+d)3,

        展開化簡可得:

        ≥a2b+b2c+c2d+d2a。

        此不等式證明可以使用排序不等式解決,在這里不做證明,其余三式類似表達.

        評析利用已知條件a+b+c+d=1,將不等式兩邊齊次化,然后展開即可證明不等式,有一定的運算量,注重于齊次化思想以及排序不等式的應用.

        解析三6(a3+b3+c3+d3)

        解析四由柯西不等式得:

        4(a2+b2+c2+d2)≥(a+b+c+d)2

        由切比雪夫不等式得:

        故原不等式左邊滿足:

        評析直接利用切比雪夫不等式和柯西不等式解決問題,緊抓不等式結構特點,實現(xiàn)降次、放縮,進而完成證明.當然也可以使用柯西不等式直接證明,由此我們也可以有下證明方法.

        解析五由柯西不等式得:

        4(a2+b2+c2+d2)≥(a+b+c+d)2

        (a3+b3+c3+d3)(a+b+c+d)

        ≥(a2+b2+c2+d2)2

        ?a3+b3+c3+d3≥(a2+b2+c2+d2)2,

        即證48(a2+b2+c2+d2)2-8(a2+b2+c2+d2)-1≥0,

        即證[4(a2+b2+c2+d2)-1][12(a2+b2+c2+d2)+1]≥0.

        三、結論推廣

        證明由柯西不等式得:

        由切比雪夫不等式得:

        故原不等式左邊滿足:

        證明對m∈N*使用數(shù)學歸納法進行證明.

        由柯西不等式可知不等式成立.

        ②假設m=k時,不等式成立,

        則當m=k+1時,

        由切比雪夫不等式可得:

        即當m=k+1時,不等式成立.

        本文從一個4元不等式出發(fā),在證明的過程中,發(fā)現(xiàn)并得到其n元形式,同時對n元形式又加推廣,與廣大的不等式愛好者共享,希望能夠一起探討、交流.

        猜你喜歡
        比雪夫運算量柯西
        分圓多項式與切比雪夫多項式的類比探究
        柯西積分判別法與比較原理的應用
        柯西不等式在解題中的應用
        柯西不等式的變形及應用
        用平面幾何知識解平面解析幾何題
        減少運算量的途徑
        第四類切比雪夫型方程組的通解
        柯西不等式的應用
        基于方差的切比雪夫不等式的推廣及應用
        讓拋物線動起來吧,為運算量“瘦身”
        女同av在线观看网站| av色综合久久天堂av色综合在| 朝鲜女人大白屁股ass| 美女视频一区| 日本一区二区三区的免费视频观看| 91色区在线免费观看国产| 乱码av麻豆丝袜熟女系列| 国产av无码专区亚洲av| 亚洲AV秘 无套一区二区三区| 青青草免费在线视频久草| 亚洲av无码乱码国产精品久久| 亚洲精品无码不卡av| 久久精品成人亚洲另类欧美| sm免费人成虐漫画网站| 午夜精品久久久久久久无码| 国产a v无码专区亚洲av| 丝袜 亚洲 另类 欧美| 国产av一卡二卡日韩av| 香港三级日本三级a视频| 欧美成人免费高清视频| 国产三级视频一区二区| 国产精品黑丝美女啪啪啪| 色噜噜狠狠一区二区三区果冻| 国产成人亚洲综合无码DVD| 人妻露脸国语对白字幕| 疯狂三人交性欧美| 天天躁日日躁狠狠躁av中文| 久久精品国产亚洲片| 国产乱人精品视频av麻豆网站| 无码少妇精品一区二区免费动态| 国产成人av综合亚洲色欲| 国产av精品一区二区三区不卡| 日韩大片高清播放器大全| 亚洲欧美日韩在线一区| 国产精品亚洲美女av网站| 麻豆69视频在线观看| 99久久国产综合精品五月天| 亚洲一级电影在线观看| 日本三区在线观看视频| 在线精品无码字幕无码av| 午夜婷婷国产麻豆精品|