0,且滿足a+b+c+d=1,求證:為后續(xù)行"/>

亚洲免费av电影一区二区三区,日韩爱爱视频,51精品视频一区二区三区,91视频爱爱,日韩欧美在线播放视频,中文字幕少妇AV,亚洲电影中文字幕,久久久久亚洲av成人网址,久久综合视频网站,国产在线不卡免费播放

        ?

        一道不等式競賽試題的證明及推廣

        2020-03-30 05:36:10張曉建
        數(shù)理化解題研究 2020年7期
        關鍵詞:比雪夫運算量柯西

        張曉建

        (安徽省滁州中學 239000)

        一、試題呈現(xiàn)

        (第8屆香港奧林匹克試題)設a,b,c,d>0,且滿足a+b+c+d=1,求證:

        為后續(xù)行文方便,筆者在這里把證明所需不等式一并介紹.

        算數(shù)—幾何平均值不等式設x1,x2,…,xn∈R*,則

        其中等號當且僅當x1=x2=…=xn時取到.

        柯西不等式設ai,bi∈R,i=1,2,…,n,則

        (a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,

        當數(shù)組a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn不全為0時,等號當且僅當bi=λai(1≤i≤n)時成立.

        排序不等式設有兩組數(shù)a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn,滿足:a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn,則有

        a1bn+a2bn-1+…+anb1(反序和)

        ≤a1bt1+a2bt2+…+anbtn(亂序和)

        ≤a1b1+a2b2+…+anbn(同序和).

        其中{t1,t2,…,tn}={1,2,…,n}.當且僅當a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn時等號成立.

        切比雪夫不等式設兩個正數(shù)序列{an},{bn},

        若a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn,則

        二、解法賞析

        解析一0

        我們首先證明:

        即證48x3-8x2-5x+1≥0,

        即證(4x-1)2(3x+1)≥0.

        而當0

        則f(a)+f(b)+f(c)+f(d)

        解析二原不等式等價于

        48(a3+b3+c3+d3)≥8(a2+b2+c2+d2)(a+b+c+d)+(a+b+c+d)3,

        展開化簡可得:

        ≥a2b+b2c+c2d+d2a。

        此不等式證明可以使用排序不等式解決,在這里不做證明,其余三式類似表達.

        評析利用已知條件a+b+c+d=1,將不等式兩邊齊次化,然后展開即可證明不等式,有一定的運算量,注重于齊次化思想以及排序不等式的應用.

        解析三6(a3+b3+c3+d3)

        解析四由柯西不等式得:

        4(a2+b2+c2+d2)≥(a+b+c+d)2

        由切比雪夫不等式得:

        故原不等式左邊滿足:

        評析直接利用切比雪夫不等式和柯西不等式解決問題,緊抓不等式結構特點,實現(xiàn)降次、放縮,進而完成證明.當然也可以使用柯西不等式直接證明,由此我們也可以有下證明方法.

        解析五由柯西不等式得:

        4(a2+b2+c2+d2)≥(a+b+c+d)2

        (a3+b3+c3+d3)(a+b+c+d)

        ≥(a2+b2+c2+d2)2

        ?a3+b3+c3+d3≥(a2+b2+c2+d2)2,

        即證48(a2+b2+c2+d2)2-8(a2+b2+c2+d2)-1≥0,

        即證[4(a2+b2+c2+d2)-1][12(a2+b2+c2+d2)+1]≥0.

        三、結論推廣

        證明由柯西不等式得:

        由切比雪夫不等式得:

        故原不等式左邊滿足:

        證明對m∈N*使用數(shù)學歸納法進行證明.

        由柯西不等式可知不等式成立.

        ②假設m=k時,不等式成立,

        則當m=k+1時,

        由切比雪夫不等式可得:

        即當m=k+1時,不等式成立.

        本文從一個4元不等式出發(fā),在證明的過程中,發(fā)現(xiàn)并得到其n元形式,同時對n元形式又加推廣,與廣大的不等式愛好者共享,希望能夠一起探討、交流.

        猜你喜歡
        比雪夫運算量柯西
        分圓多項式與切比雪夫多項式的類比探究
        柯西積分判別法與比較原理的應用
        柯西不等式在解題中的應用
        柯西不等式的變形及應用
        用平面幾何知識解平面解析幾何題
        減少運算量的途徑
        第四類切比雪夫型方程組的通解
        柯西不等式的應用
        基于方差的切比雪夫不等式的推廣及應用
        讓拋物線動起來吧,為運算量“瘦身”
        少妇激情一区二区三区99| 99精品国产一区二区| 吸咬奶头狂揉60分钟视频| 产国语一级特黄aa大片| 色哟哟精品中文字幕乱码| 中文字幕在线乱码一区| 成人国成人国产suv| 婷婷色中文字幕综合在线| 2021年最新久久久视精品爱| 少妇一级内射精品免费| 丰满少妇按摩被扣逼高潮| 开心五月激情综合婷婷色| 无码电影在线观看一区二区三区| 免费视频成人 国产精品网站| 我想看久久久一级黄片| 丰满熟妇乱又伦精品| 超级碰碰色偷偷免费视频| 色诱久久av| 日韩一区二区三区天堂| 久久精品中文字幕女同免费| 极品成人影院| 色老汉免费网站免费视频| 亚洲AV秘 片一区二区三区| 丰满又紧又爽又丰满视频| 久9re热视频这里只有精品| 国产农村妇女高潮大叫| 中文亚洲成a人片在线观看| 日韩精品一区二区免费| 69一区二三区好的精华 | 亚洲色图视频在线| 亚洲视频一区二区蜜桃| 尤物精品国产亚洲亚洲av麻豆| 日本真人做爰免费视频120秒| 日韩精品一区二区三区在线观看 | 免费午夜爽爽爽www视频十八禁 | 亚洲双色视频在线观看| 久久狼精品一区二区三区| 亚洲v欧美v国产v在线观看| 国产精品27页| 三级国产自拍在线观看| 国产内射爽爽大片视频社区在线 |