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        一道不等式競賽試題的證明及推廣

        2020-03-30 05:36:10張曉建
        數(shù)理化解題研究 2020年7期
        關鍵詞:比雪夫運算量柯西

        張曉建

        (安徽省滁州中學 239000)

        一、試題呈現(xiàn)

        (第8屆香港奧林匹克試題)設a,b,c,d>0,且滿足a+b+c+d=1,求證:

        為后續(xù)行文方便,筆者在這里把證明所需不等式一并介紹.

        算數(shù)—幾何平均值不等式設x1,x2,…,xn∈R*,則

        其中等號當且僅當x1=x2=…=xn時取到.

        柯西不等式設ai,bi∈R,i=1,2,…,n,則

        (a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,

        當數(shù)組a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn不全為0時,等號當且僅當bi=λai(1≤i≤n)時成立.

        排序不等式設有兩組數(shù)a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn,滿足:a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn,則有

        a1bn+a2bn-1+…+anb1(反序和)

        ≤a1bt1+a2bt2+…+anbtn(亂序和)

        ≤a1b1+a2b2+…+anbn(同序和).

        其中{t1,t2,…,tn}={1,2,…,n}.當且僅當a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn時等號成立.

        切比雪夫不等式設兩個正數(shù)序列{an},{bn},

        若a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn,則

        二、解法賞析

        解析一0

        我們首先證明:

        即證48x3-8x2-5x+1≥0,

        即證(4x-1)2(3x+1)≥0.

        而當0

        則f(a)+f(b)+f(c)+f(d)

        解析二原不等式等價于

        48(a3+b3+c3+d3)≥8(a2+b2+c2+d2)(a+b+c+d)+(a+b+c+d)3,

        展開化簡可得:

        ≥a2b+b2c+c2d+d2a。

        此不等式證明可以使用排序不等式解決,在這里不做證明,其余三式類似表達.

        評析利用已知條件a+b+c+d=1,將不等式兩邊齊次化,然后展開即可證明不等式,有一定的運算量,注重于齊次化思想以及排序不等式的應用.

        解析三6(a3+b3+c3+d3)

        解析四由柯西不等式得:

        4(a2+b2+c2+d2)≥(a+b+c+d)2

        由切比雪夫不等式得:

        故原不等式左邊滿足:

        評析直接利用切比雪夫不等式和柯西不等式解決問題,緊抓不等式結構特點,實現(xiàn)降次、放縮,進而完成證明.當然也可以使用柯西不等式直接證明,由此我們也可以有下證明方法.

        解析五由柯西不等式得:

        4(a2+b2+c2+d2)≥(a+b+c+d)2

        (a3+b3+c3+d3)(a+b+c+d)

        ≥(a2+b2+c2+d2)2

        ?a3+b3+c3+d3≥(a2+b2+c2+d2)2,

        即證48(a2+b2+c2+d2)2-8(a2+b2+c2+d2)-1≥0,

        即證[4(a2+b2+c2+d2)-1][12(a2+b2+c2+d2)+1]≥0.

        三、結論推廣

        證明由柯西不等式得:

        由切比雪夫不等式得:

        故原不等式左邊滿足:

        證明對m∈N*使用數(shù)學歸納法進行證明.

        由柯西不等式可知不等式成立.

        ②假設m=k時,不等式成立,

        則當m=k+1時,

        由切比雪夫不等式可得:

        即當m=k+1時,不等式成立.

        本文從一個4元不等式出發(fā),在證明的過程中,發(fā)現(xiàn)并得到其n元形式,同時對n元形式又加推廣,與廣大的不等式愛好者共享,希望能夠一起探討、交流.

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