楊懷志 牛留斌 谷永磊 楊飛

（1.京滬高速鐵路股份有限公司，北京 100038；2.中國鐵道科學(xué)研究院集團(tuán)有限公司基礎(chǔ)設(shè)施檢測研究所，北京 100081）

軌道的平順性狀態(tài)直接影響高速鐵路車輛運(yùn)行平穩(wěn)性和乘坐舒適性，是合理制訂線路養(yǎng)護(hù)維修措施的重要依據(jù)。軌道不平順對車輛的影響與其幅值、波長有關(guān)，如波長1～3 m 的短波軌道不平順主要引起車輛、軌道部件的振動沖擊破壞，加速道床變形；波長3～150 m 的中長波軌道不平順主要引起車體低頻振動，影響乘坐舒適性。

車體振動加速度是軌道不平順輸入激勵及車輛動力學(xué)響應(yīng)特性的綜合反映。研究二者的關(guān)聯(lián)關(guān)系有助于分析軌道病害引起車輛響應(yīng)的劇烈程度，為現(xiàn)場維修提供科學(xué)依據(jù)。國內(nèi)外對軌道不平順與車體振動之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系展開了大量研究。文獻(xiàn)［1-2］采用傳遞函數(shù)或短時傅里葉變換小波分析研究軌道不平順與車輛振動響應(yīng)信號的關(guān)聯(lián)關(guān)系；文獻(xiàn)［3-4］通過車輛-軌道耦合動力學(xué)理論及頻率分析方法，研究軌道不平順與車體振動的傳遞特性。上述研究多是采用信號處理方法（如相干分析等）或車輛-軌道動力學(xué)理論，利用頻譜分析進(jìn)行研究，側(cè)重找出引起車體強(qiáng)烈振動的單項軌道不平順敏感波長定量分布，未給出軌道不平順與車體振動的顯式傳遞特性。

軌道高低不平順是引起機(jī)車車輛垂向振動的主要來源。由于短波軌道不平順引起激振頻率高，對車體振動加速度影響不大，因此本文只研究長波軌道高低不平順與車體垂向振動之間的關(guān)系。作為車輛動態(tài)系統(tǒng)的激勵與響應(yīng)，長波軌道高低不平順與車體垂向加速度之間存在著近似線性的傳遞關(guān)系［5］，可運(yùn)用線性模型對二者的傳遞關(guān)系進(jìn)行等效分析。將長波軌道高低不平順作為模型的輸入，車體垂向加速度作為模型的輸出，二者的關(guān)聯(lián)關(guān)系將集中表現(xiàn)在假定模型的傳遞關(guān)系上。

本文基于系統(tǒng)辨識理論，以我國高速綜合檢測列車車載軌道檢測系統(tǒng)在一高速鐵路上的實測軌道不平順及車體加速度數(shù)據(jù)為樣本，采用狀態(tài)空間（State-Space）模型，建立長波軌道高低不平順與車體垂向加速度的關(guān)聯(lián)模型，研究二者的傳遞關(guān)系。

中國高速綜合檢測列車軌道不平順的最大測量波長為150 m［6］。兼顧檢測系統(tǒng)最小檢測波長，本文中長波軌道高低不平順取軌道幾何檢測系統(tǒng)中實測左、右長波軌道高低不平順的均值，且只保留波長3～150 m 的波形成分；相應(yīng)的車體垂向加速度是指已經(jīng)濾除了趨勢項之后的實測車體垂向加速度數(shù)據(jù)；車輛檢測速度為200 km/h，采樣間隔為0.25 m。

1 關(guān)聯(lián)模型構(gòu)建

通過功率譜密度估計的方法，可得到軌道幾何檢測數(shù)據(jù)不同的波長成分在空間頻率上的分布特征，顯示出車體垂向加速度在空間頻率上隨車輛運(yùn)行速度的變化規(guī)律。經(jīng)平穩(wěn)性檢驗證實［7-8］，多數(shù)軌道不平順雖不具備各態(tài)歷經(jīng)性，但具有平穩(wěn)或弱平穩(wěn)特性。所以，可將軌道不平順按平穩(wěn)隨機(jī)過程處理，車體加速度及長波軌道不平順功率譜的分析方法詳見文獻(xiàn)［9］。

本文采用平均周期圖譜法（Welch 韋爾奇）進(jìn)行功率譜計算，段內(nèi)傅里葉變換點(diǎn)數(shù)4 096，加漢明窗（Hamming），段與段間數(shù)據(jù)樣本重疊50%。

1.1 狀態(tài)空間模型的構(gòu)建

系統(tǒng)辨識方法是通過觀測一個系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系確定系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。系統(tǒng)辨識方法可以在不使用機(jī)車車輛部件本身固有參數(shù)的基礎(chǔ)上，利用實測得到的輸入和輸出數(shù)據(jù)對車輛的動態(tài)特性進(jìn)行辨識。狀態(tài)空間（State-Space）模型是系統(tǒng)辨識理論中的一種參數(shù)模型方法，用狀態(tài)方程和控制方程來表征模型輸入與輸出數(shù)據(jù)的關(guān)聯(lián)關(guān)系。

在狀態(tài)空間關(guān)聯(lián)模型中，實測長波軌道高低不平順與車體垂向加速度，即輸入u與輸出y之間的關(guān)系式為［10］

式中：x（t）為狀態(tài)空間模型的狀態(tài)變量，將模型輸入與輸出聯(lián)系在一起，其大小決定模型的階數(shù)；u（t）為t時刻軌道不平順的實測輸入，mm；y（t）為t時刻車體垂向加速度的實測輸出，m/s2；p1（t）和p2（t）為t時刻模型誤差值；A，B，C，D為狀態(tài)模型待估參數(shù)。

本文通過子空間算法得到模型待估參數(shù)。假定空間狀態(tài)模型階數(shù)為n，模型輸入、輸出個數(shù)分別為m，r，則參數(shù)矩陣A為n×n矩陣，B為n×m矩陣，C為r×n矩陣，D為m×r矩陣。

在實測狀態(tài)空間模型中，輸入u和輸出y的傳遞函數(shù)G的表達(dá)式為

式中：ω為空間頻率，m-1；In為n階單位矩陣。

得到關(guān)聯(lián)模型的傳遞函數(shù)后，可利用實測長波軌道高低不平順u（t）來預(yù)測車體垂向加速度的模型輸出，并與實測車體垂向加速度y（t）進(jìn)行對比分析。預(yù)測模型計算公式為

式中，N為參與損失函數(shù)計算的數(shù)據(jù)樣本總量。

合理的階數(shù)n能使車體垂向加速度的模型預(yù)測輸出數(shù)據(jù)與實測數(shù)據(jù)差異最小，即傳遞模型的損失函數(shù)最小。獲得模型最小損失函數(shù)的判別方法有FPE（Final Prediction Error）準(zhǔn)則和AIC（Akaike Information Criterion）準(zhǔn)則［10］，其判別公式分別為

式中，d為待估參數(shù)的個數(shù)。

將式（4）分別代入式（5）和式（6），從結(jié)果中選取出最合理的模型階數(shù)n，用以優(yōu)化狀態(tài)空間模型參數(shù)，獲取更為接近實際的傳遞函數(shù)。

1.2 狀態(tài)空間模型的檢驗

為確保所構(gòu)建的狀態(tài)空間模型具有較高的預(yù)測精度，一般采用模型預(yù)測數(shù)據(jù)與實測數(shù)據(jù)之間的殘差及相關(guān)系數(shù)來檢驗狀態(tài)空間模型的精度。

模型殘差re為車體加速度模型預(yù)測輸出與相應(yīng)的實測數(shù)據(jù)y的差值，即

根據(jù)文獻(xiàn)［10］，如果所建模型能夠準(zhǔn)確辨識輸入與輸出的關(guān)聯(lián)關(guān)系，則模型殘差re服從均值為0 的正態(tài)分布，即re～N（0，σ2）。方差σ2為模型殘差偏離均值的平均數(shù)，反映殘差的離散程度。σ越小，模型殘差偏離均值的程度越小，模型預(yù)測輸出與實測數(shù)據(jù)y越接近。驗證數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布有圖示法、統(tǒng)計等多種方法。本文采用正態(tài)概率圖法來直觀驗證模型殘差re是否服從正態(tài)分布。

為檢驗?zāi)Ｐ皖A(yù)測輸出與實測數(shù)據(jù)y的相似程度，還可用相關(guān)系數(shù)ρ來衡量二者的線性相關(guān)程度。相關(guān)系數(shù)ρ定義為

式中：M為驗證模型的數(shù)據(jù)樣本長度為實測車體垂向加速度期望為模型預(yù)測車體垂向加速度的期望

相關(guān)系數(shù)ρ的絕對值在 0～1.00。當(dāng)ρ的絕對值大于0.80時，可認(rèn)為兩組數(shù)據(jù)具有較強(qiáng)的線性相關(guān)性。

除了時域上還可用空間頻域上的相干函數(shù)進(jìn)行比較。常用相干函數(shù)γ來確定2 組信號在頻域上的相關(guān)性，其計算公式為

式中：Guy（ω）為輸入和輸出的互功率譜密度；Guu（ω），Gyy（ω）分別為輸入、輸出自功率譜密度，計算方法見文獻(xiàn)［9］。

相干函數(shù)γ的取值范圍在0～1。當(dāng)γ取1 時說明輸出完全來源于輸入，全相干；當(dāng)γ取0 時說明輸出與輸入完全不相干，是兩個完全獨(dú)立的物理量。通常認(rèn)為γ值在0.80以上時輸出與輸入存在較強(qiáng)的相干關(guān)系。

2 綜合檢測列車實測數(shù)據(jù)頻域特征

一高速鐵路上一固定區(qū)段10 個速度級下實測長波軌道高低不平順與車體垂向加速度功率譜密度（power spectral density ，PSD）估計曲線見圖1。其中使用的實測數(shù)據(jù)樣本數(shù)為150 000個。

圖1 不同速度下一高速鐵路區(qū)段實測功率譜密度估計曲線

從圖1可知，該高速鐵路區(qū)段上長波軌道高低不平順、車體垂向加速度在空間頻域上的能量分布特性。從圖1（a）可知，長波軌道高低不平順?biāo)ㄩL成分的分布比較集中，主要在0.005 ～0.020 m-1頻段，對應(yīng)不平順波長50 ～200 m。長波軌道高低不平順除了在集中頻段分布外，還在空間頻域存在比較有規(guī)律的波長成分。這些間隔均勻的頻率所對應(yīng)最大頻率值為0.030 27 m-1，對應(yīng)的波長約為32 m，等于該高速鐵路鐵路橋梁所對應(yīng)的一跨梁長。

若將一跨梁長所對應(yīng)的波長作為基波波長，該高速鐵路長波軌道高低不平順中所包含的1～7倍基波波長在空間頻域上的分布情況見圖2。由圖2 可知，3 倍基波及以上波長在長波軌道高低不平順中所占的能量成分已急劇減少。這在車體垂向加速度PSD 估計曲線中也可以得到印證。

圖2 由橋梁跨長引起的周期不平順在空間頻域上的分布

從圖1（c）可知，車體垂向加速度所包含的波長成分在空間頻域上分布也比較集中，主要在0.006～0.010 m-1頻段。除此頻段以外，還在2 個頻率點(diǎn)處存在較大的能量，分別為0.030 27 m-1和0.346 70 m-1。0.030 27 m-1與長波軌道高低不平順PSD曲線相對應(yīng)，反映出多跨鐵路橋梁對車輛垂向振動性能的影響；0.346 70 m-1對應(yīng)的波長約為2.88 m，相當(dāng)于輪對圓周長，對應(yīng)的車輪直徑約為919 mm，反映出高速綜合檢測車輛結(jié)構(gòu)對檢測數(shù)據(jù)的影響。

另外，從圖1（b）、圖1（d）可知，當(dāng)檢測速度由200 km/h 變化到340 km/h 時，長波軌道高低不平順PSD 的峰值變化不大；車體垂向加速度PSD 峰值由0.15 m3/s4上升至2.05 m3/s4，增加了近13倍?？梢姡疖囕v垂向振動加劇的不利波長隨車輛運(yùn)行速度的增加而增大。

3 數(shù)值試驗

本文將來源于高速綜合檢測列車的實測檢測數(shù)據(jù)分為獨(dú)立的2部分。一部分用于空間狀態(tài)模型階數(shù)n及系數(shù)矩陣A，B，C，D的估算，另一部分用于模型預(yù)測及結(jié)果對比驗證。

根據(jù)系統(tǒng)辨識方法，將高速綜合檢測列車上的實測長波軌道高低不平順及車體垂向加速度作為模型的輸入和輸出數(shù)據(jù)，根據(jù)最優(yōu)化準(zhǔn)則用式（5）或式（6）選擇合理的階數(shù)n，并估算狀態(tài)空間模型參數(shù)矩陣A，B，C，D，再由式（2）獲得狀態(tài)空間模型的傳遞函數(shù)。不同速度條件下，狀態(tài)空間模型傳遞函數(shù)在空間頻域0.001～0.100 m-1上的幅頻特性曲線與相頻特性曲線見圖3。其中參與狀態(tài)空間模型參數(shù)估計的數(shù)據(jù)量為10 000個。

圖3 不同速度下傳遞函數(shù)的幅頻與相頻特性曲線

從圖3（a）可知，速度高于 260 km/h 時，幅頻特性隨著空間頻率的增加呈現(xiàn)出先遞減后遞增的趨勢，在波長100～150 m 內(nèi)的傳遞特性較好。圖3（b）反映出模型輸入與輸出之間的傳遞延遲。不同速度的傳遞函數(shù)存在一定的差異，故在估算模型傳遞函數(shù)時所使用數(shù)據(jù)的速度變化范圍不能太大。

在同一檢測速度下，多次試驗的數(shù)據(jù)估算出的狀態(tài)空間模型，其傳遞函數(shù)曲線吻合較好。檢測速度330 km/h 時，利用2 次試驗數(shù)據(jù)分別估算出的傳遞函數(shù)在空間頻域0.001～0.100 m-1內(nèi)的幅頻特性與相頻特性曲線，見圖4。

圖4 速度330 km/h時2次試驗的傳遞函數(shù)幅頻與相頻特性曲線對比

檢測速度分別為240，280，330 km/h 時，利用狀態(tài)空間模型傳遞函數(shù)及實測長波軌道高低不平順預(yù)測得到車體垂向加速度波形，并與對應(yīng)的實測車體垂向加速度數(shù)據(jù)進(jìn)行對比，見圖5。其中，預(yù)測區(qū)段里程長4 km，預(yù)測數(shù)據(jù)量16 000個，分別代入式（5）和式（6），選取出合理模型階次n。不同速度對應(yīng)的最優(yōu)化狀態(tài)空間模型的階數(shù)n不同。

圖5 不同速度下車體垂向加速度預(yù)測與實測波形對比

由式（8）計算得出，圖5中車體垂向加速度預(yù)測波形與實測車體垂向加速度數(shù)據(jù)之間的相關(guān)系數(shù)ρ均大于0.86，說明二者存在較強(qiáng)的線性相關(guān)性。圖5（c）車體垂向加速度模型殘差re服從正態(tài)分布N（-0.002 0，0.003 6），近似滿足0 均值正態(tài)分布假設(shè)，其殘差的正態(tài)概率分布曲線見圖6。

圖6 v=330 km/h，n=8時，車體垂向加速度模型殘差正態(tài)概率分布

檢測速度分別為240，280，330 km/h 時，狀態(tài)空間模型的預(yù)測波形與實測車體垂向加速度在空間頻域上的相干函數(shù)γ分布曲線見圖7。其中330 km/h 條件下有2次試驗。

圖7 車體垂向加速度實測數(shù)據(jù)與預(yù)測波形相干曲線

從圖7 可知，在空間頻域 0.005～0.010 m-1（對應(yīng)有效波長100～150 m）及0.030 27 m-1（對應(yīng)波長33 m）處，相干函數(shù)值不低于0.75，說明二者存在較強(qiáng)的相干關(guān)系。結(jié)合圖1（c）、圖1（d），圖7 中相干性較好的頻段與車體垂向加速度能量較大的分布區(qū)段一致。

檢測速度分別為240，280，330 km/h 時，實測車體垂向加速度波形與對應(yīng)的預(yù)測數(shù)據(jù)在空間頻域內(nèi)的功率譜密度估計曲線對比見圖8。其中，參與估計的數(shù)據(jù)量為50 000個，330 km/h條件下有2次試驗。

圖8 不同速度下車體垂向加速度實測數(shù)據(jù)與預(yù)測波形PSD曲線對比

從圖8 可知，不同速度條件下狀態(tài)空間模型預(yù)測車體垂向加速度波形在空間頻域上能量的分布與實測數(shù)據(jù)是一致的。

4 結(jié)論

本文通過高速綜合檢測列車實測數(shù)據(jù)對比分析，得出不同速度條件下的長波軌道高低不平順與車體垂向加速度在頻域上的分布特性；利用狀態(tài)空間模型辨識方法建立了二者的關(guān)聯(lián)模型，通過實測數(shù)據(jù)訓(xùn)練關(guān)聯(lián)模型并優(yōu)化了模型階數(shù)、估算出空間狀態(tài)模型的參數(shù)。

不同速度條件下，通過實測長波軌道高低不平順及相應(yīng)不同速度級條件下的狀態(tài)空間模型傳遞函數(shù)，對車體垂向加速度進(jìn)行了預(yù)測，并與對應(yīng)的實測車體垂向加速度數(shù)據(jù)在時域和空間頻域上進(jìn)行了分析和對比。結(jié)果表明：

1）在時域上，二者波形變化趨勢吻合良好，幅值大小相當(dāng)，相位一致，存在較強(qiáng)的線性相關(guān)性；

2）在空間頻域上，能量分布趨勢特征相同，且在能量主要分布頻段相干性很強(qiáng)；

3）合理階數(shù)的狀態(tài)空間模型能夠準(zhǔn)確地辨識長波軌道高低不平順與車體垂向加速度之間的傳遞關(guān)系。