四川省內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院

高考數(shù)學(xué)命題將“多考點想,少考點算”作為一條基本命題理念.[1]基于此,衍生出了一系列優(yōu)化運算的解題策略,比如:利用定義、利用模型、正難則反、數(shù)形結(jié)合、特殊化、極限策略、猜想策略、換元策略、設(shè)而不求、分離變量等等.文中以2019年高考試題為例,介紹一些實現(xiàn)“多想少算”的解題策略,以期讀者充分感受“多想少算”的命題理念和策略的魅力.[2]

一 利用定義

李邦河院士指出:“數(shù)學(xué)是玩概念的,而不是技巧.”熟練運用定義解題,常常可獲得快捷有效的解題途徑.

例1(2019年高考浙江卷第8題)設(shè)三棱錐V-ABC的底面是正三角形,側(cè)棱長均相等,P是棱V A上的點(不含端點).記直線PB與直線AC所成角為α,直線PB與平面ABC所成角為β,二面角P-AC-B的平面角為γ,則().

A.β <γ,α<γB.β <α,β <γ

C.β <α,γ <αD.α<β,γ <β

解作PD//CA交V C于D,取PD中點E,連接BE,作EH⊥平面ABC于H,連接BH,作PF⊥平面ABC于F,連接BF,作PG⊥AC于G,連接FG.

圖1

易知V-ABC為正三棱錐,故PB=BD,則BE⊥PD.又PD//CA,則α=∠BPD.顯然β=∠PBF,γ=∠PGF.易知

則sinα>sinβ.由得α>β.又

則γ >β,故α>β,γ >β.

評注解答中抓住異面直線成角、線面角、二面角定義,減輕了思維負荷,實現(xiàn)了問題的快速解答.

二 利用模型

數(shù)學(xué)模型是研究者依據(jù)研究目的,將所研究客觀事物的過程和現(xiàn)象的主要特征、主要關(guān)系,采用形式化的數(shù)學(xué)語言,概括或近似地表達出來的一種結(jié)構(gòu).[3]如恒等式模型、三點共線模型、距離模型、面積模型等,利用模型解題,可縮短思考時間,提升解題效率.

例2(2019年高考天津卷理科第14題)在四邊形ABCD中,AD//BC,AB=AD=5,∠A=30°,點E在線段CB的延長線上,且AE=BE,則

圖2

解作EF//BD交AD于F,取AF中點G,連接EG.由已知得,θ=30°,則∠AEB=120°,由正弦定理得則AE=BE=DF=2,AF=又EG2=AE2+AG2-2AE·AG·cos 2θ則

評注利用向量的恒等式模型(對于任意向量有將表征為關(guān)于的關(guān)系式,再利用正弦定理求出向量的模.解答思路清晰,層層遞進,優(yōu)化了解題過程.

圖3

例3(2019年高考江蘇卷第12題)如圖3,在ΔABC中,D是BC的中點,E在邊AB上,BE=2EA,AD與CE交于點O.若則的值是____.

解如圖,過D作DF//CE,交AB于F,由BE=2EA,D為BC中點,知AE=EF=FB,AO=DO.則又D為BC中點,則同理則故

評注利用三點共線模型為平面內(nèi)一組基底,為平面內(nèi)任意向量,當(dāng)且僅當(dāng)λ+μ=1時,P、A、B三點共線),簡化了運算過程,考查了模型素養(yǎng)、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng).

三 正難則反

正難則反策略是逆向思維的體現(xiàn).逆向思維是指從問題的反面進行思考,從而尋求解決問題的方法.正難則反策略消除了習(xí)慣于一個方面思考問題的思維局限,構(gòu)建了事物之間的可逆性和對立性.

例4(2019年高考江蘇卷第6題)從3 名男同學(xué)和2 名女同學(xué)中任選2 名同學(xué)參加志愿者服務(wù),則選出的2 名同學(xué)中至少有1 名女同學(xué)的概率是____.

解選出的兩名同學(xué)沒有女生的概率為故選出兩名同學(xué)至少有1 名女生的概率為

評注此題從正面思考時需要就選出的兩名同學(xué)中有1名女同學(xué)和2 名女同學(xué)進行分類討論,略顯繁瑣.從事件反面入手,只需考慮事件選出的兩名同學(xué)沒有女生發(fā)生的概率,簡潔有效,可快速獲解.

四 數(shù)形結(jié)合

華羅庚指出:“數(shù)缺形時少直觀,形少數(shù)時難入微;數(shù)形結(jié)合千般好,隔離分家萬事休.”運用數(shù)形結(jié)合思想解題,實現(xiàn)數(shù)與形的相互關(guān)聯(lián),形象直觀,有利于提高解題效率.

例5(2019年高考全國Ⅱ卷文科第12題)設(shè)F為雙曲線C:的右焦點,O為坐標原點,以O(shè)F為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于P、Q兩點.若則C的離心率為().

解設(shè)F(c,0),因為以O(shè)F為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于P、Q兩點,且則故即2a2=c2,所以

圖4

評注通過數(shù)形結(jié)合,將零散、抽象的代數(shù)信息用圖形語言集中、直觀呈現(xiàn)出來,借助“形”的直觀性彌補“數(shù)”的抽象性,降低求解難度,減少運算過程,體現(xiàn)了多想少算的理念.

五 特殊化

特殊化策略指解決問題時從特殊的情況加以考慮,進而探求問題一般屬性的數(shù)學(xué)方法.運用特殊化策略解題,可簡化問題解決的思考方式,優(yōu)化解答過程,提升解題效率.

例6(2019年高考上海卷第16題)已知tanα·tanβ=tan(α+β),有下列兩個結(jié)論:存在α在第一象限,β在第三象限;存在α在第二象限,β在第四象限,則().

A.均正確B.均錯誤

C.對錯D.錯對

解令由得則β在第二、四象限,故錯; 令同理得則存在β在第四象限,故對.

例7(2019年高考全國Ⅲ卷文科第12題)設(shè)f(x)是定義域為R的偶函數(shù),且在(0,+∞)單調(diào)遞減,則().

解設(shè)f(x)=-|x|,則

評注華羅庚指出:“善于退,足夠地退,退到最原始而不失重要性的地方,是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個訣竅.”特殊化求解是解答以上兩例的最佳方式,充分體現(xiàn)了退的思想.

六 極限策略

極限策略是利用極限思想去分析問題并解決問題的方法.利用極限思想,把問題逼近到某一極端狀態(tài),往往能夠起到化繁為簡的作用.

例8(2019年高考全國Ⅱ卷文科第21題(節(jié)選))已知函數(shù)f(x)=(x-1)lnx-x-1.證明:

(Ⅰ)f(x)存在唯一的極值點.

解因為且y=lnx單調(diào)遞增,單調(diào)遞減,故f′(x)單調(diào)遞增.當(dāng)x→0時,f′(x)→-∞;當(dāng)x→+∞時,f′(x)→+∞,則必存在唯一的x0∈(0,+∞),使得f′(x0)= 0,即f(x)存在唯一的極值點.

例9(2019年高考全國Ⅱ卷理科第20題(節(jié)選))已知函數(shù)

(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性,并證明f(x)有且僅有兩個零點.

解因為(1,+∞),故f(x)在(0,1)和(1,+∞)單調(diào)遞增.由f(x)=則x→0時,f(x)→-∞,x→1-時,f(x)→+∞;x→1+時,f(x)→-∞,x→+∞時,f(x)→+∞.則在(0,1)和(1,+∞)上分別存在唯一的x1,x2,使得f(x1)= 0,f(x2)= 0,即f(x)有且僅有兩個零點.

評注以上兩例用極限對函數(shù)圖像趨勢進行了分析,避免了對零點兩側(cè)單調(diào)性的討論,簡化了解題過程.

七 猜想策略

猜想策略是解題者根據(jù)自身知識儲備、解題經(jīng)驗、思維方式,結(jié)合問題條件或?qū)嶒灛F(xiàn)象、數(shù)據(jù)等,對研究對象的性質(zhì)或可能存在的結(jié)果進行大膽、合理的猜想.[4]牛頓指出:“沒有大膽的猜想,就做不出偉大的發(fā)現(xiàn).”因此,在解題過程中,可以根據(jù)實際情況做出合理猜想.

例10(2019年高考北京卷文科第8題)如圖5,A,B是半徑為2的圓周上的定點,P為圓周上的動點,∠APB是銳角,大小為β.圖中陰影區(qū)域的面積的最大值為().

A.4β+4 cosβB.4β+4 sinβ

C.2β+2 cosβD.2β+2 sinβ

圖5

解由圓的對稱性,猜想PA=PB時,陰影面積最大.因為陰影部分面積等于弓形面積與ΔAPB面積之和,當(dāng)點P運動時,弓形面積不變,ΔAPB面積變化,所以當(dāng)ΔAPB邊AB上的高最大時,陰影部分面積最大,如圖6.故

S陰影=S扇+2S△P OB,又∠POB=π-β,由解得PB=則2S△P OB=r2sinβ,故S陰影=βr2+r2sinβ=4β+4 sinβ.

評注本例抓住問題的變量與不變量,根據(jù)圓的對稱性做出初步猜想,進而得出面積最大值.特別指出,猜想不同于空想,而是根據(jù)已知條件進行合理的猜想.

八 換元策略

換元策略是指在解決問題的過程中用一個新變量替換原問題中的變量,以減少變量個數(shù)、降低變量次數(shù),從而將原問題中復(fù)雜結(jié)構(gòu)簡單化、明朗化的方法.常見的換元方法有三角換元、整體換元、對稱換元、均值換元等.[4]

例11(2019年高考全國Ⅰ卷文科第15題)函數(shù)最小值為____.

圖6

解由

令t=cos x,則t ∈[-1,1],故f(t)=-2t2-3t+1.易得,當(dāng)t=1,即cos x=1時,f(x)的最小值為-4.評注利用換元法將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題是解答本例的關(guān)鍵.

九 設(shè)而不求

設(shè)而不求指增設(shè)輔助元,但解題過程中不求出輔助元,最終實現(xiàn)問題解決的方法.設(shè)而不求往往能避免盲目推演而造成無益的運算,從而達到準確、快速、簡捷的解題效果.[5]

例12(2019年高考全國Ⅲ卷文科21題)已知曲線D 為直線上的動點,過D 作C的兩條切線,切點分別為A,B.

(Ⅰ)證明:直線AB 過定點.

解設(shè)則由則y′=x,故 切 線kDA=x1,則即2x0x1-2y1+1=0.同理,2x0x2-2y2+1=0,故直線AB的方程為2x0x-2y+1=0,故直線AB 過定點

評注證明直線AB 過定點,前提是求出AB的方程,要求AB的方程,常規(guī)方法要先求出A,B 坐標,再利用點斜式法求方程,但過程較為繁瑣.通過導(dǎo)數(shù)的幾何意義分別建立過A,B的直線方程,再得出A,B 同時滿足的方程2x0x-2y+1=0,進而求出定點坐標,充分體現(xiàn)了設(shè)而不求的策略.

十 分離變量

分離變量是解答含參函數(shù)不等式恒成立問題的常用方法:分離參數(shù),將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值域(最值)問題.分離變量可以規(guī)避分類討論帶來的繁瑣計算.

例13(2019年高考天津卷理科第8題)已知a ∈R,設(shè)函數(shù)

若關(guān)于x的不等式f(x)≥0 在R 上恒成立,則a的取值范圍為().

A.[0,1] B.[0,2] C.[0,e] D.[1,e]

解(1)當(dāng)x ≤1時,x2-2ax+2a ≥0 恒成立,若x=1,則1 ≥0,不等式恒成立;要使x<1時,x2-2ax+2a ≥0 恒成立,則設(shè)得則g(x)在(-∞,0)單調(diào)遞增,在(0,1)單調(diào)遞減,故當(dāng)x=0時,g(x)max=g(0)=0,得a ≥0.

(2)當(dāng)x > 1時,x-alnx ≥0 恒成立,即恒成立.設(shè)得則h(x)在(1,e)單調(diào)遞減,在(e,+∞)單調(diào)遞增,則當(dāng)x=e時,h(x)min=h(e)=e,得a ≤e.

綜上,a的取值范圍為[0,e].

評注通過分離變量,將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題.分離變量避免了因二級分類帶來的繁瑣計算,簡化了運算過程.

文中介紹了十種多想少算的解題策略,充分展示了多想少算的魅力.當(dāng)然,多想少算的解題策略遠不止文中的十種類型,可結(jié)合具體的高考試題來提煉和開發(fā).