廣東省湛江一中培才學(xué)校

廣東省雷州市第八中學(xué)(524232)鄧春梅

一道高考解析幾何試題的命題背景可能就是圓錐曲線的一個(gè)性質(zhì)定理的特殊情況.如果掌握了定理的原理,也就把握了試題的本質(zhì).對(duì)一些典型的試題,不應(yīng)滿足于會(huì)解,而是引導(dǎo)學(xué)生深入探究試題背后的知識(shí)背景,挖掘問題的本質(zhì).這樣才能真正找到解決問題的方法,學(xué)會(huì)用更高觀點(diǎn)去看待數(shù)學(xué)問題,把握問題的本質(zhì).正是《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》所倡導(dǎo)的數(shù)學(xué)探究性課題學(xué)習(xí),引導(dǎo)學(xué)生圍繞某個(gè)數(shù)學(xué)問題,觀察分析,自主探究,提出有意義的數(shù)學(xué)問題,探求適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)結(jié)論或規(guī)律.以下給出了2019年全國(guó)ⅠⅠ卷文科第20題的詳細(xì)解答與分析,并深度挖掘與探究分析其性質(zhì).

一 試題展示與評(píng)析

真題(2019年高考全國(guó)ⅠⅠ卷文科第20題)已知F1,F2是橢圓C:的兩個(gè)焦點(diǎn),P為C上的點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).

(Ⅰ)若ΔPOF2為等邊三角形,求C的離心率;

(Ⅱ)如果存在點(diǎn)P,使得PF1⊥PF2,且ΔF1PF2的面積等于16,求b的值和a的取值范圍.

解析(Ⅰ)若ΔPOF2為等邊三角形,則P的坐標(biāo)為(代入方程可得解得所以

(Ⅱ)由題意可得|因?yàn)镻F1⊥PF2,所以所以所以4b2, 所以所以解得b=4.

評(píng)析此題主要考查橢圓的基本性質(zhì)、橢圓的離心率、橢圓上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離(焦半徑)、過焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)(焦點(diǎn)弦)、焦點(diǎn)三角形的面積、等邊三角形和直角三角形及其面積的知識(shí),考查考生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法和綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力,體現(xiàn)曲線與方程、轉(zhuǎn)化與化歸的思想,著重考查學(xué)生邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).本題平中見奇、內(nèi)涵豐富、解法多樣,是一道具有研究性學(xué)習(xí)價(jià)值的好題.

二 教材尋根

高考題的命題有些是來源于教材,但往往又高于教材,因而我們的課堂教學(xué)需要回歸教材,扎根教材,根深才能葉茂,源遠(yuǎn)方能流長(zhǎng).2019年全國(guó)ⅠⅠ卷文科第20題來源于新課標(biāo)人教B版選修2-1 第47頁(yè)練A 第5題.

題目(新課標(biāo)人教B版選修2-1 第47頁(yè)練A 第5題)已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1,F2,點(diǎn)P在橢圓上,且∠F1PF2=60°,則△F1PF2的面積為____.

教材中的例、習(xí)題具有典型性與代表性,能有效檢查學(xué)生對(duì)重點(diǎn)知識(shí)的掌握及靈活應(yīng)用的程度.分析歷年的高考試題,可以發(fā)現(xiàn),很多高考試題的原型都來自于課本教材,適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行一些改編和創(chuàng)新.高考的命題指導(dǎo)思想中也指出,要考查學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本能力的掌握程度和運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析、解決問題的能力.因此,對(duì)教材例、習(xí)題的探究是高三備考復(fù)習(xí)的重要方式之一.

三 性質(zhì)研究

3.1 正向探究

教材中的例題或習(xí)題具有典型性、代表性,對(duì)其深入探究,?？傻玫浇鉀Q一類問題的一般結(jié)論.

結(jié)論1若F1,F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),點(diǎn)P為橢圓C上任一點(diǎn),∠F1PF2=θ,則△F1PF2的面積為S=

圖1

證明由橢圓的定義,得2c.在△F1PF2中,由余弦定理得

所以(2c)2=(2a)2-2|PF1| · |PF2|(1+cosθ),所以所以S=故△F1PF2的面積為

3.2 類比探究

由橢圓聯(lián)想到雙曲線,則有:

結(jié)論2若F1,F2是雙曲線0,b >0)的兩個(gè)焦點(diǎn),點(diǎn)P為雙曲線上任一點(diǎn),∠F1PF2=θ,則△F1PF2的面積為

圖2

3.3 變式探究

結(jié)論3若F1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),點(diǎn)P為橢圓C上任一點(diǎn),∠F1PF2=θ,則△F1PF2的面積為

證明由橢圓的定義,得2c.在F1PF2中,由余弦定理得

3.4 縱向探究

橢圓中焦點(diǎn)三角形與離心率范圍的三個(gè)性質(zhì).

性質(zhì)1若橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,P為其上一點(diǎn),且|PF1|=λ|PF2|(λ >1),則該橢圓的離心率e的取值范圍為

圖3

證明如圖3,由橢圓的定義,得|PF1|+|PF2|=2a,由解得

因?yàn)棣?>1,由三角形的性質(zhì)有:即解得:1.所以雙曲線的離心率e的取值范圍為1).

性質(zhì)2若雙曲線的0)兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,P為其上一點(diǎn),且|PF1|=m|PF2|(m >1),則該雙曲線的離心率e的取值范圍為

圖4

證明因?yàn)閨PF1|=m|PF2|(m>1),所以點(diǎn)P在雙曲線的右支上,如圖4由雙曲線的第一定義,得2a,由解得

所以雙曲線的離心率e的取值范圍為

性質(zhì)3若橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,P為其上一點(diǎn),且∠F1PF2=θ,則該橢圓的離心率e的取值范圍為

證明在ΔF1PF2中,由余弦定理及橢圓的定義

由以上(1)(2)(3)得

性質(zhì)4若橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,P為其上一點(diǎn),且∠PF1F2=α,∠PF2F1=β,則該橢圓的離心率

證明在ΔF1PF2中,由正弦定理得所以所以所以所以橢圓的離心率

四 真題回顧

與焦點(diǎn)三角形相關(guān)題型大致有六種形式,如圖5所示:

圖5

橢圓中與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的問題是各類考試的熱點(diǎn),經(jīng)久不衰,題型靈活多樣.其解題通法是用到橢圓定義、三角形中的余弦定理、基本不等式等,融合的知識(shí)點(diǎn)較多,對(duì)學(xué)生來說有一定的難度.

由以上性質(zhì)不難發(fā)現(xiàn),歷年高考題也均考查以上圓錐曲線的焦點(diǎn)三角形問題,體現(xiàn)了高考試題“?？汲Ｐ?推陳出新”的理念,在解決有時(shí),靈活運(yùn)用上面的性質(zhì),不僅比較容易找到解題的突破口,而且往往會(huì)獲得簡(jiǎn)潔、明快的解題方法和途徑.下面略舉幾例說明上述性質(zhì)的應(yīng)用.

例1(2016年高考浙江卷理科第7題)已知橢圓與雙曲線的焦點(diǎn)重合,e1、e2分別為C1、C2的離心率,則().

A.m>n且e1e2>1 B.m>n且e1e2<1

C.m1 D.m

解設(shè)P為橢圓與雙曲線在第一象限內(nèi)的公共點(diǎn),F1、F2為它們的公共焦點(diǎn),則所以所以m>n.

設(shè)∠F1PF2=θ.由結(jié)論1、2,得所以所以即(m+n)2+(m-n)2=4c2,所以m2+n2=2c2.所以又e1?=e2,所以所以e1e2>1.故選A.

例2(2016年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽)已知F1、F2為橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn),P為它們的一個(gè)公共點(diǎn),且則該橢圓和雙曲線的離心率之積的最小值是().

解設(shè)橢圓方程為雙曲線方程為由結(jié)論1、2,得e2分別為C1、C2的離心率,則所以當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立.故選B.

例3(2015年高考全國(guó)Ⅰ卷理科第5題)已知M(x0,y0)是雙曲線上一點(diǎn),F1、F2為雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn),若則y0的取值范圍是().

解設(shè)∠F1MF2=θ,則由結(jié)論2,得

又SΔF1MF2,所以故選A.

例4 (2014年高考湖北卷理9)已知F1、F2為橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn),P為它們的一個(gè)公共點(diǎn),且則該橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值是().

解設(shè)橢圓方程為雙曲線方程為

例5(2013年高考浙江卷理科第9題)已知F1、F2是橢圓與雙曲線C2的公共焦點(diǎn),A,B分別是C1,C2在第二、四象限的公共點(diǎn).若四邊形AF1BF2是矩形,則C2的離心率是().

解由結(jié)論1,得SΔF1AF2=12·tan 450=1,由結(jié)論2,得SΔF1AF2=b2·cot 450=b2=1.

例6(20122年高考2安徽卷文科第20題)已知F1、F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)A是橢圓C的頂點(diǎn),點(diǎn)B是直線AF2與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn),∠F2AF1=60°.

(Ⅰ)求橢圓C的離心率;

(ⅠⅠ)已知ΔAF1B的面積為求a,b的值.

解(Ⅰ)橢圓的離心率為(過程略).(ⅠⅠ)由結(jié)論3,

即acb2=40a2-10c2.由得代入上式得6c4=150c2,即c=5.所以

例7(2011年高考江西卷文科第20題)已知F1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),P為橢圓上一點(diǎn)∠PF1F2=150,∠PF2F1=750,則橢圓C的離心率為____.

解由性質(zhì)4,得

例8(2019年廈門質(zhì)檢)已知橢圓b >0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,M為其上一點(diǎn),且則該橢圓的離心率e的[取值范圍為)__[__.)

解由性質(zhì)1易知,λ=3,所以橢圓的離心率e的取值范圍為

例9(2019年?？谝荒?已知雙曲線的0)兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,P為其上一點(diǎn),且|PF1|=2|PF2|,則該雙曲線的離心率e的取值范圍為().

A.(1,3)B.(1,3]C.(3,+∞)D.[3,+∞)

解由性質(zhì)2 易知,m=3,(1,3],所以橢圓的離心率e的取值范圍為(1,3],故選B.

例10(2019年青島二模)已知橢圓的1(a > b >0)兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,M為其上一點(diǎn),且∠F1MF2=120°,則該橢圓的離心率e的取值范圍為____.

解由性質(zhì)3 易知,所以橢圓的離心率e的取值范圍為

從以上例子我們不難發(fā)現(xiàn),利用橢圓中焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)去解與離心率范圍和面積有關(guān)的問題時(shí),能降低思維強(qiáng)度,避免冗長(zhǎng)的推理和運(yùn)算,大大降低難度,使解題過程簡(jiǎn)捷明了,從而獲得事半功倍的解題效果!

五 備考建議

G.波利亞有句名言:“掌握數(shù)學(xué)就是意味著善于解題,如果我們?cè)谌粘５慕虒W(xué)中,能對(duì)課本例習(xí)題作深入的研究,一題多解,一題多變,多題一法進(jìn)行變式教學(xué),立根課本,必定能取得豐碩的成果”.

在數(shù)學(xué)教學(xué)中,我們要善于挖掘教材的潛在教學(xué)功能.教材中有一些典型性題目,它們或者是重要的結(jié)論,或者體現(xiàn)某種數(shù)學(xué)思想方法,或者是某個(gè)一般數(shù)學(xué)命題的具體形式,它的延伸、轉(zhuǎn)化和拓廣,可以呈現(xiàn)出豐富多彩的數(shù)學(xué)內(nèi)容.我們必須充分重視課本典型例題、習(xí)題的探究,這是“用教材教”之根本,也是教師專業(yè)成長(zhǎng)的必有之路.

以上性質(zhì)的總結(jié)不僅可以作為一般公式直接應(yīng)用,也可解決一些難以用常規(guī)方法解決或計(jì)算太復(fù)雜的簡(jiǎn)單題,加快答題的速度,節(jié)省答題的時(shí)間,提高高考的得分率.同時(shí)通過對(duì)這些性質(zhì)的探究過程可以發(fā)現(xiàn),關(guān)于焦點(diǎn)三角形的離心率問題,若只知一個(gè)角可以借助余弦定理進(jìn)行解答,而若知兩個(gè)角,則常借助正弦定理.若以三角形作為研究對(duì)象,不外乎研究邊與邊的關(guān)系,邊與角的關(guān)系,角與角的關(guān)系,周長(zhǎng)和面積等.而周長(zhǎng)和面積的研究,多借助圓錐曲線的第一定義和余弦定理進(jìn)行處理,故掌握?qǐng)A錐曲線的定義,利用定義進(jìn)行解題是解決圓錐曲線題的常規(guī)解法和一般思路.