(山西省交通規(guī)劃勘察設(shè)計(jì)院有限公司，山西 太原 030006)

0 引言

隨著我國經(jīng)濟(jì)水平的不斷提高，越來越多的景區(qū)內(nèi)修建了大跨度柔性人行懸索橋。這種橋的橋面寬往往不足3 m，但跨度卻在100 m以上，這導(dǎo)致其橫向剛度和承載力很小，無法依靠自身來抵抗橫向風(fēng)荷載。為此，工程上常在橋面兩側(cè)增設(shè)抗風(fēng)纜索系統(tǒng)來提高結(jié)構(gòu)橫向剛度[1]。在以往工程設(shè)計(jì)中，抗風(fēng)纜索系統(tǒng)的設(shè)計(jì)計(jì)算方法較為簡單：利用簡化拋物線理論對風(fēng)纜單獨(dú)進(jìn)行計(jì)算[2-3]，不考慮風(fēng)纜與結(jié)構(gòu)的相互作用。這種將風(fēng)纜與主結(jié)構(gòu)分割開來簡化計(jì)算的做法，用于抗風(fēng)纜索系統(tǒng)自身的設(shè)計(jì)并沒有太大問題，但這種做法不能考慮風(fēng)纜對主結(jié)構(gòu)豎向拉力影響，也無法查看抗風(fēng)纜索體統(tǒng)對整個(gè)結(jié)構(gòu)橫向剛度的貢獻(xiàn)程度。若將抗風(fēng)纜索系統(tǒng)與主結(jié)構(gòu)一起建立有限元模型進(jìn)行分析，則可考慮風(fēng)纜對主結(jié)構(gòu)的影響，并可查看主結(jié)構(gòu)和抗風(fēng)纜索系統(tǒng)對橫向風(fēng)荷載的分擔(dān)比例。為實(shí)現(xiàn)這一目的，首要解決的問題就是抗風(fēng)纜索系統(tǒng)的找形問題。

文獻(xiàn)[4]利用ANSYS迭代結(jié)算得到風(fēng)纜的成橋線形，但采用的是簡化拋物線理論，文中按照風(fēng)荷載的大小確定成橋狀態(tài)風(fēng)纜系統(tǒng)線形，恒載狀態(tài)下風(fēng)纜的變形較大。嚴(yán)格按照精確懸連線單元理論編寫恒載狀態(tài)下風(fēng)纜系統(tǒng)的線形，本質(zhì)上為解析解。

按照先平面后立面的順序給出空間索面抗風(fēng)纜索系統(tǒng)的找形思路和過程。在平面內(nèi)由于沒有自重力的影響，可借助節(jié)線法求解；在立面內(nèi)由于有單元自重的影響，需采用懸連線索單元求解。文中給出計(jì)算迭代流程并利用Matlab編程實(shí)現(xiàn)。工程實(shí)例計(jì)算結(jié)果表明，本文提出的找形方法快速有效，可供同類項(xiàng)目參考。

1 平面

設(shè)置抗風(fēng)纜索的目的是抵抗橫向風(fēng)荷載并提高整個(gè)結(jié)構(gòu)橫向剛度，抗風(fēng)主纜和橋面系之間通過抗風(fēng)拉索連接起來，并向橋面系傳遞豎向力、橫向力及縱向力。抗風(fēng)拉索一般通過滑輪實(shí)現(xiàn)與橋面系及抗風(fēng)主纜之間的連接，所以抗風(fēng)拉索的軸力理論上是不發(fā)生變化的。但由于索段自重和節(jié)點(diǎn)處豎向集中力的影響，各段之間的軸力還是略有不同的，在水平面內(nèi)由于沒有其他外界荷載的影響，抗風(fēng)拉索軸力在水平面的分力是一致的，圖1為抗風(fēng)纜索平面投影布置示意圖。

圖1 抗風(fēng)纜索平面投影示意圖

1.1 水平面內(nèi)找形推導(dǎo)

圖1中Si為抗風(fēng)拉索與橋面系相連節(jié)點(diǎn)的橫向坐標(biāo)，共n個(gè)，為已知值；ai為抗風(fēng)拉索沿縱橋向的投影長度，共2n個(gè)，為已知值；bi為抗風(fēng)主纜索段長度沿縱橋向的投影長度，共n+2個(gè)，為已知值；Yi為抗風(fēng)主纜節(jié)點(diǎn)的橫向坐標(biāo)，共n+3個(gè)，其中起終錨固點(diǎn)橫向坐標(biāo)Y0、Yn+2以及“垂點(diǎn)”的橫向坐標(biāo)Ykey是人為設(shè)定值，其余n個(gè)Yi值為未知值；F為抗風(fēng)拉索軸力的平面投影分力，為設(shè)定值；Hxi為抗風(fēng)主纜軸力的縱橋向分力，共n+2個(gè)，為未知值。

利用接線法[5]的思想求解主纜節(jié)點(diǎn)的橫向坐標(biāo)，即對Y1～Yn+1各節(jié)點(diǎn)分別進(jìn)行縱向和橫向受力平衡計(jì)算，共有以下2n+2個(gè)方程式。

(1)

以上2n+2個(gè)方程中有2n+2個(gè)未知量，其中包括n個(gè)主纜橫向坐標(biāo)Yi(Ykey為已知量)和n+2個(gè)主纜軸力的縱向分力Hxi，正好可以求解，但以上方程組與傳統(tǒng)的可一次求解的接線法[5]有所不同，此處未知量Yi與Hxi之間呈耦合關(guān)系而不是線性關(guān)系，不可直接線性求解。

從方程組(1)可以看出，如果已知第1段主纜軸力的縱向分力Hx1和第一點(diǎn)的橫向坐標(biāo)Y1就可以逐步推求出其他索段的縱向分力和節(jié)點(diǎn)橫向坐標(biāo)，而主纜終點(diǎn)和“垂點(diǎn)”的橫向坐標(biāo)是已知值，因此可以先假定一組Hx1和Y1為已知值進(jìn)行計(jì)算，如果求得的終點(diǎn)和“垂點(diǎn)”的橫向坐標(biāo)與設(shè)計(jì)值差距很小時(shí)，可認(rèn)為Hx1和Y1就是所求未知量的解。

1.2 水平面內(nèi)迭代求解

在具體求解方法上，可以假定一個(gè)Hx1值，將一系列的Y1值代入方程組試算，求解各節(jié)點(diǎn)的橫向坐標(biāo)，當(dāng)終點(diǎn)坐標(biāo)的計(jì)算值與設(shè)計(jì)值差距足夠小時(shí)，認(rèn)為Y1為此Hx1值下的真值。但此時(shí)“垂點(diǎn)”的橫向坐標(biāo)的計(jì)算值與設(shè)計(jì)值不一定吻合，這時(shí)就需要更新Hx1值，再重復(fù)之前的計(jì)算過程，直至“垂點(diǎn)”的橫向坐標(biāo)與設(shè)計(jì)值的差值足夠小時(shí)，整個(gè)過程是個(gè)大循環(huán)內(nèi)套小循環(huán)不斷迭代試算的過程，這個(gè)過程可用二分法來實(shí)現(xiàn)，具體的迭代流程如圖2。

在迭代過程中，利用了2個(gè)基本原理來調(diào)整初始值Hx1和Y1的更新方向，以便快速收斂，即：

(1)主纜縱向水平分力Hx1越大則“垂度”越?。?/p>

(2)初始橫向坐標(biāo)Y1越大則終點(diǎn)的橫向坐標(biāo)也會越大。

1.3 水平面內(nèi)迭代流程

根據(jù)實(shí)現(xiàn)上面提到的求解方案，繪制抗風(fēng)纜水平平面內(nèi)找形的流程如圖2，可用Matlab編程實(shí)現(xiàn)。

圖2 抗風(fēng)纜索平面找形迭代流程圖

2 立面

平面計(jì)算收斂后，平面的線形就確定了，利用簡單的幾何關(guān)系便得到主纜和拉索在水平面內(nèi)的投影長度和沿平面軸向方向的分力，這將作為立面找形計(jì)算的已知值，抗風(fēng)纜索的立面投影示意見圖3。

圖3 抗風(fēng)纜索豎面投影示意圖

2.1 索單元假定

纜索在立面的線形受到纜索自身重力的作用，在節(jié)點(diǎn)間呈分段懸連線，必須采用精確懸連線理論進(jìn)行計(jì)算才能反映真實(shí)的纜形，精確懸連線索單元理論的假定如下：

(1)索單元僅承受軸向拉力，不承受壓力和彎矩，為理想柔索。

(2)主纜僅僅承受沿?zé)o應(yīng)力索長的均布力和節(jié)點(diǎn)處的集中力。

圖4 索單元計(jì)算簡圖

(3)忽略索單元截面的橫向變形，認(rèn)為截面不發(fā)生變化。

索段的計(jì)算簡圖如圖4，其中豎向坐標(biāo)以向上為正，外力的方向與坐標(biāo)一致時(shí)為正值。根據(jù)以上基本假定和受力平衡得到索單元的基本方程

Hx1=-Hx2

(2)

V2=-(V1+qS0)

(3)

(4)

(5)

式中，S0為索單元無應(yīng)力長度；q為沿?zé)o應(yīng)力長度的豎向均布力；H1、V1為索起點(diǎn)端受到的縱向和豎向分力，力的方向與坐標(biāo)系統(tǒng)保持一致；E為索單元材料彈模；A為索單元截面面積；dx為索單元在水平面內(nèi)的投影長度；dz為索單元終點(diǎn)豎向坐標(biāo)減去起點(diǎn)豎向坐標(biāo)。索單元的基本參數(shù)為S0、Hx1、V1、dx、dz，只要已知其中的3個(gè)參數(shù)，就能求得剩余的2個(gè)參數(shù)，這個(gè)過程也需要迭代求解，具體過程可參考文獻(xiàn)[6]。

2.2 立面找形推導(dǎo)

立面線形求解過程也是計(jì)算各節(jié)點(diǎn)受力平衡的過程。各節(jié)點(diǎn)受到的力包括主纜起終點(diǎn)傳來的豎向、水平分力和拉索起點(diǎn)傳來的豎向、水平分力以及節(jié)點(diǎn)所受豎向集中力(如索夾重)。其中主纜和拉索傳遞給節(jié)點(diǎn)的水平分力是已知值，且經(jīng)過平面的找形計(jì)算，已在節(jié)點(diǎn)處保持了平衡，所以在本階段可不考慮，僅關(guān)注豎向受力平衡即可，各節(jié)點(diǎn)豎向受力見圖5。

圖5 各節(jié)點(diǎn)豎向受力

索單元為5參數(shù)非線性單元，要已知3個(gè)參數(shù)才能計(jì)算另外2個(gè)，而各索段的軸力水平分力H和水平面投影長度dL已在平面計(jì)算階段獲得，需要另外一個(gè)參數(shù)才能啟動(dòng)計(jì)算，故先假定Z1=Z0+dZ1為已知值。這樣1號主纜的便獲得了已知值dz1_mc，加上平面計(jì)算獲得的另外兩個(gè)值H1_mc和dL1_mc，正好3個(gè)參數(shù)，利用索單元基本方程可求得剩余的兩個(gè)參數(shù)V1_mc和S01_mc；1號拉索獲得已知值dz1—hg=g1-Z1，加上平面計(jì)算獲得的另外兩個(gè)值F和dL1_hg，正好3個(gè)參數(shù)，利用索單元基本方程可求得剩余的兩個(gè)參數(shù)V1_hg和S01_hg；利用節(jié)點(diǎn)豎向受力平衡：q1+Vq1_hg+Vz1_mc+Vq2_mc=0，可得第二段主纜的起點(diǎn)豎向力Vq2_mc。

第二段索獲得3個(gè)已知參數(shù)H2_mc、L2_mc、Vq2_mc，利用索單元基本方程可獲得剩余參數(shù)dZ2、S02_mc，這樣第二點(diǎn)的豎向坐標(biāo)可確定Z2=Z1+dZ2；2、3號拉索分別獲得已知值dz2—hg=g1-Z2、dz3—hg=g2-Z2，加上平面計(jì)算獲得的F、L2_hg、L3_hg，可獲得剩余參數(shù)Vq2_hg、Vq3_hg、S02_hg、S03_hg，同樣利用節(jié)點(diǎn)2豎向受力平衡，q2+Vq2_hg+Vq3_hg+Vz2_mc+Vq3_mc=0，可得下一段段主纜的起點(diǎn)豎向力Vq3_mc。

依次類推可得到最終點(diǎn)豎向坐標(biāo)計(jì)算值Zn+2_cal，這個(gè)值與終點(diǎn)豎向坐標(biāo)的設(shè)計(jì)值Zn+2會有所差別，這就要不斷迭代調(diào)整初始dz1_mc，直到兩者差值足夠小，計(jì)算結(jié)束后可獲得主纜豎向坐標(biāo)和各索段的無應(yīng)力長度。dz1_mc的初始值可根據(jù)線性節(jié)點(diǎn)平衡法[3]獲得，較精確的初始值和適當(dāng)?shù)牟介L可加快收斂。

3 算例

某景區(qū)人行懸索橋，主纜跨度125 m，垂度12 m，吊桿間距3 m，見圖6。為抵抗橫向風(fēng)載，在跨中103 m段設(shè)置抗風(fēng)索纜結(jié)構(gòu)，抗風(fēng)拉索成三角形布置，通過滑輪與橋面系及抗風(fēng)主纜相連，恒載狀態(tài)設(shè)計(jì)抗風(fēng)拉索軸力的水平面分力為0.5 kN，抗風(fēng)拉索長度的縱向分量為3 m?？癸L(fēng)主纜起終錨固點(diǎn)距拉索上節(jié)點(diǎn)的豎向距離6.7 m，橫向距離8.5 m，橫向垂度為7.5 m。單根主纜由7根6×19s+IWR(Φ36)型鋼絲繩組成，彈模1.1e5 MPa；吊桿采用Φ32粗鋼筋，彈模2.06e5 MPa；抗風(fēng)主纜為單根6×19s+IWR(Φ36)型鋼絲繩，彈模1.1e5 MPa；抗風(fēng)拉索為單根6×19s+IWR(Φ16)型鋼絲繩，彈模1.1e5 MPa。

圖6 某人行懸索橋布置圖(單位:cm)

抗風(fēng)拉索與橋面系交點(diǎn)共17個(gè)，抗風(fēng)拉索共2×17=34節(jié)，抗風(fēng)主纜共17+2=19節(jié)，節(jié)點(diǎn)17+3=20個(gè)，以第10個(gè)節(jié)點(diǎn)作為橫向“垂點(diǎn)”，設(shè)計(jì)抗風(fēng)拉索成橋狀態(tài)的平面分力為0.5 kN。利用Matlab編制找形程序，得到抗風(fēng)主纜的橫、豎向坐標(biāo)及無應(yīng)力長度見表1。

表1 抗風(fēng)主纜的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)和無應(yīng)力長度 mm

4 驗(yàn)證

利用Matlab編制的找形程序，不僅能得到成橋線形、索段無應(yīng)力長度，還能得到拉索對橋面系的豎向作用，將該豎向力作為外荷載施加于MIDAS軟件建立的主結(jié)構(gòu)有限元模型中進(jìn)行主纜找形。最后將找形成功的主結(jié)構(gòu)模型與抗風(fēng)纜索結(jié)構(gòu)模型合二為一，并去掉之前施加的豎向力，打開大位移選項(xiàng)進(jìn)行幾何非線形分析，得到的恒載狀態(tài)變形結(jié)果如圖7，可見恒載狀態(tài)下結(jié)構(gòu)的位移量很小，橫豎向位移量分別為2.3 mm、1.95 mm，不足跨度的1/40 000，說明本文提出的抗風(fēng)拉索找形方法滿足工程精度要求。

圖7 恒載狀態(tài)整體結(jié)構(gòu)的變形(單位:mm)

5 結(jié)語

(1)按照本文提出的方法編程計(jì)算，可快速找出空間索面抗風(fēng)纜索系統(tǒng)的成橋線形。

(2)基于分段精確懸鏈線索單元求解得到的抗風(fēng)纜成橋線形及各索段無應(yīng)力長度，本質(zhì)為解析解，帶入有限元模型進(jìn)行幾何非線性分析，計(jì)算結(jié)果表明，恒載狀態(tài)下纜索系統(tǒng)變形很小，精度可滿足工程要求。