張 營，鞏永光，田 濤

（濟寧學院物理與信息工程系，山東 曲阜 273155）

1 引言

由于交流永磁同步電機勵磁采用永磁體，從而有效地減小了電機的體積并降低了質(zhì)量，因而交流永磁同步電機在工業(yè)機器人領(lǐng)域得到較廣泛的應(yīng)用，而工業(yè)機器人姿態(tài)變換時的位置要求對交流永磁同步電機的位置控制提出了更高的要求[1-2]。

工業(yè)自動化生產(chǎn)的機器人用的交流永磁同步電機具有高效率、低損耗的特點，由于電機模型的非線性，傳統(tǒng)控制方式具有參數(shù)整定困難，控制系統(tǒng)穩(wěn)定性和精度不高的缺點。為了克服傳統(tǒng)控制方式的缺點，眾多線性以及非線性算法在交流永磁同步電機的控制系統(tǒng)設(shè)計中得到廣泛應(yīng)用[3-5]。其中，Ziegler-Nichols控制由于實現(xiàn)簡單，無需對特定對象建模，可實現(xiàn)對PI參數(shù)在線整定，因而在控制領(lǐng)域的到廣泛應(yīng)用[6-7]。

預測算法具有多步預測、滾動優(yōu)化和反饋校正控制率，其具有操作控制效果好、魯棒性強、對模型精度要求不高的優(yōu)點[8-10]。將PI Ziegler-Nichols控制與預測控制算法相結(jié)合，設(shè)計PI Ziegler-Nichols預測并行位置控制器。當誤差增大時，預測控制算法能夠提高收斂速度，提高了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和魯棒性。當誤差變小時，PI Ziegler-Nichols算法自調(diào)整能力使電機運行能夠達到較理想的狀態(tài)。

2 永磁同步電機數(shù)學模型

假設(shè)永磁同步電機磁路不飽和且忽略損耗，則永磁同步電機的數(shù)學模型可寫為：

式中：ud，uq，iq，id—d-q 軸的電壓及電流；L、R、ωr—電感、內(nèi)阻及角速度；Ψf、pn—磁鏈與極對數(shù)。

3 PI Ziegler-Nichols智能預測控制器設(shè)計

3.1 PI Ziegler-Nichols控制器

PIZiegler-Nichols控制器結(jié)構(gòu)設(shè)計，如圖1所示。

圖1 PI Ziegler-Nichols結(jié)構(gòu)框圖Fig.1 Structure Diagram of PI Ziegler-Nichols

圖中：α—調(diào)節(jié)因子；ΔeN—經(jīng)歸一化的偏差變化率；eN—經(jīng)歸一化的偏差；k—反饋系數(shù)。ΔeN和eN可表示為：

式中：ωref—設(shè)定值；ωf—反饋值；ωref_max—最大設(shè)定值；e（k）—偏差。

由式（5）～式（7）可推出調(diào)節(jié)因子α為：

傳統(tǒng)PI控制算法為：

式中：i（k）、Kp、Ki—輸出量，比例系數(shù)及積分系數(shù)。將式（8）代入如下調(diào)整函數(shù)可得：

式中：k1、Ktp—比例調(diào)整率及校正后的比例系數(shù)—積分調(diào)整率及校正后積分系數(shù)。

根據(jù)式（10）與式（11）可得到 α 取值范圍為［-1，1］（閉環(huán)系統(tǒng)），因而PI Ziegler-Nichols控制式可寫為：

2.14 標題層次 根據(jù)GB1.1-87《標準化工作導則 標準編寫的基本規(guī)定》，標題層次采用阿拉伯數(shù)字連續(xù)編碼，兩個數(shù)字符號之間加下圓點相隔，最末數(shù)字后面不加標點。標題層次劃分一般不超過4節(jié)，4節(jié)不夠時，可將層次再細劃分。第一級標題為 1，第二級標題為 1.1，第三級標題為 1.1.1，第四級標題為1.1.1.1。各級標題序號均頂格書寫，序號后空一字空再寫標題或具體內(nèi)容。示例:

式中：i*（k）—控制器輸出。

3.2 預測控制器

預測控制是基于模型的控制算法，預測模型具有表達系統(tǒng)動態(tài)行為的功能，將來針對不同的控制策略可計算出不同的輸出預測軌跡，從而選擇最優(yōu)控制策略。使系統(tǒng)具有一定的性能優(yōu)化。

滾動優(yōu)化方法僅在每次遞增時控制系統(tǒng)，因此開環(huán)預測模型為：

式中：Y0（K+1）—當沒有Δu（k）時未來p步的預測；A—控制對象的動態(tài)矩陣。

開環(huán)預測和閉環(huán)反饋校正的預測：

式中：hi—預測誤差修正系數(shù)。控制算法就是要確定一組M個控制增量，即：

滾動優(yōu)化函數(shù)取為：

趨于最小。其中，Q—預測輸出誤差加權(quán)陣；R—空指針增加權(quán)陣；Q≥0，R≥0。在實施過程中，僅將 Δu（k）施加于系統(tǒng)，令：

式中：A—P*M模型矩陣；M—控制時長度；P—預測時長最大值。dT點積計算公式為：

由以上的分析可推出PI Ziegler-Nichols預測控制器，如圖2所示。

圖2 PI Ziegler-Nichols預測控制器結(jié)構(gòu)圖Fig.2 Structure Diagram of PI Ziegler-Nichols Predictive Controller

4 仿真分析

對PID控制器和PI Ziegler-Nichols預測并行控制器進行設(shè)計。主要參數(shù)如下：J=2.77×10-3kg·m2；摩擦力矩為 4.79N·m；動態(tài)力矩為 12N·m，Kt=2.05 N·m/A；B=1.43×10-4N·m·s；Ra=2.6Ω；Ld=Lq=6.65×10-3H；Ie=7.3A；Imax=12.8A；Pn=4；預測控制器參數(shù)?。篘=100，M=4，P=100，Q=I（I為單位陣），R=0.2I，h=0.9；PI Ziegler-Nichols控制器參數(shù)為：Kp=12，Ki=1.3，k1=1.6，k2=3.4，α=0.7。偏差設(shè)定值為0.9。

4.1 施加負載擾動

假定在負載施加常量階躍干擾，該干擾常量為15N·m，施加時間第2s，則擾動曲線，如圖3、圖4所示。由擾動響應(yīng)變化曲線可知，PID控制器當2s處負載發(fā)生干擾時，其曲線響應(yīng)有較大偏離，需較長時間重新達到穩(wěn)定。與之相比設(shè)計的PI Ziegler-Nichols預測控制器，系統(tǒng)抗干擾能力強。

圖3 PI Ziegler-Nichols預測控制響應(yīng)曲線Fig.3 Response Curve of PI Ziegler-Nichols Predictive Control

圖4 傳統(tǒng)PID控制響應(yīng)曲線Fig.4 Response Curve of Traditional PID Control

4.2 電機參量變化

假定系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動慣量變大6倍，其控制響應(yīng)曲線，如圖5、圖6所示。對比圖中曲線的變化波形可知，PI Ziegler-Nichols預測控制器響應(yīng)曲線更為平穩(wěn)，變化較小。

圖5 電機參數(shù)變化時PI Ziegler-Nichols預測控制響應(yīng)曲線Fig.5 Response Curve of PI Ziegler-Nichols Predictive Control When Motor Parameters Change

圖6 電機參數(shù)變化時傳統(tǒng)PID控制響應(yīng)曲線Fig.6 Response Curve of Traditional PID Control When Motor Parameters Change

4.3 正弦跟蹤實驗

設(shè)定正弦跟蹤函數(shù)為：15sin（0.8766t），則正弦跟蹤函數(shù)的誤差曲線，如圖7、圖8所示。由圖中誤差曲線波形可知，PI Ziegler-Nichols預測控制器跟蹤誤差小，跟蹤性能更好。

圖7 PI Ziegler-Nichols預測控制誤差曲線Fig.7 Error Curve of PI Ziegler-Nichols Predictive Control

圖8 傳統(tǒng)PID控制時的誤差曲線Fig.8 Error Curve of Traditional PID Control

5 結(jié)論

針對機器人姿態(tài)變換時永磁電機伺服系統(tǒng)的負載變化等特點，提出了PI Ziegler-Nichols預測控制策略。通過PI Ziegler-Nichols的自調(diào)整進行控制參數(shù)調(diào)節(jié)，適應(yīng)系統(tǒng)位置變化。針對誤差值較大的現(xiàn)象，設(shè)計的預測控制算法可使系統(tǒng)誤差以較快速度收斂，從而實現(xiàn)PI Ziegler-Nichols的自調(diào)整及調(diào)節(jié)。仿真分析證明，當系統(tǒng)參量產(chǎn)生變化時，PI Ziegler-Nichols預測控制算法可進行適應(yīng)調(diào)整，在機器人伺服系統(tǒng)中應(yīng)用時，可實現(xiàn)較好的位置控制精度和較快的響應(yīng)速度。