王猛松，張二亮，李大磊

（鄭州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，河南 鄭州 450001）

1 引言

疲勞是零件或構(gòu)件的主要失效形式，據(jù)統(tǒng)計(jì)，大約有80%的機(jī)械斷裂事故是由疲勞失效引起。疲勞損傷檢測(cè)一直是材料、機(jī)械、力學(xué)的研究熱點(diǎn)，關(guān)鍵是要找到對(duì)疲勞損傷演化敏感的損傷變量，國(guó)內(nèi)外疲勞損傷檢測(cè)發(fā)展了很多方法，如固有頻率法、塑性變形能法、剛度法、彈性模量法、金屬磁記憶信號(hào)法等[1-2]。剛度法和固有頻率法基本思想是，在疲勞損傷過(guò)程中，剛度逐漸減小，引起動(dòng)態(tài)響應(yīng)固有頻率不斷下降，可用固有頻率和剛度的變化規(guī)律來(lái)監(jiān)測(cè)損傷[3-4]；金屬磁記憶信號(hào)法基本思想是磁信號(hào)在穩(wěn)定循環(huán)階段隨疲勞循環(huán)周次增加無(wú)顯著改變，疲勞裂紋萌生后，磁信號(hào)逐漸增加，并在斷裂后發(fā)生激變，可基于磁記憶信號(hào)建立疲勞損傷累積模型[5]。彈性模量法基本思想是低周疲勞過(guò)程表現(xiàn)為彈性模量的下降和名義應(yīng)力的衰減，可用彈性模量研究疲勞損傷累積[6]。

循環(huán)平穩(wěn)理論在信號(hào)處理中的應(yīng)用始于20世紀(jì)80年代中期，研究的是一類特殊的非平穩(wěn)信號(hào)，它的統(tǒng)計(jì)參量，如均值和自相關(guān)函數(shù)，是時(shí)間的周期函數(shù)。循環(huán)平穩(wěn)信號(hào)處理方法廣泛應(yīng)用在旋轉(zhuǎn)機(jī)械故障診斷領(lǐng)域，并取得了很多成果，引起廣泛的關(guān)注[7]。二階循環(huán)統(tǒng)計(jì)量能反映循環(huán)平穩(wěn)信號(hào)中隱含的周期性成分，該周期性成分與齒輪、軸承等的故障信息有關(guān)。常用的二階循環(huán)統(tǒng)計(jì)量主要有循環(huán)自相關(guān)函數(shù)、譜相關(guān)密度函數(shù)和譜相干函數(shù)[8]。疲勞試驗(yàn)機(jī)與疲勞試樣組成的試驗(yàn)系統(tǒng)在循環(huán)加載下，其振動(dòng)信號(hào)也屬于循環(huán)平穩(wěn)信號(hào)，可將該方法用于疲勞損傷的檢測(cè)。在循環(huán)平穩(wěn)理論基礎(chǔ)上，提出了一種基于循環(huán)平穩(wěn)的疲勞損傷檢測(cè)方法。通過(guò)采集金屬試樣在疲勞過(guò)程中的振動(dòng)信號(hào)，使用循環(huán)平穩(wěn)信號(hào)處理方法進(jìn)行分析，可得該振動(dòng)信號(hào)的譜相關(guān)密度函數(shù)，再基于譜相關(guān)密度函數(shù)建立監(jiān)測(cè)變量，通過(guò)定義的監(jiān)測(cè)變量可在線描述疲勞損傷累積狀態(tài)。并開(kāi)展疲勞試驗(yàn)和數(shù)值仿真驗(yàn)證該方法的可行性。

2 循環(huán)平穩(wěn)理論與算法

2.1 循環(huán)平穩(wěn)理論

循環(huán)平穩(wěn)信號(hào)具有周期變化的統(tǒng)計(jì)量稱為循環(huán)統(tǒng)計(jì)量，根據(jù)統(tǒng)計(jì)量的不同，循環(huán)平穩(wěn)信號(hào)可分為一階（均值）、二階（自相關(guān)函數(shù)）和高階循環(huán)平穩(wěn)[9]。

譜相關(guān)密度函數(shù)可同時(shí)顯示頻域能量的變化和波形的演化。循環(huán)平穩(wěn)信號(hào)r（xt）在t時(shí)刻一個(gè)時(shí)間間隔τ的瞬時(shí)自相關(guān)函數(shù)（τ）是時(shí)域上的周期函數(shù)，可通過(guò)傅里葉展開(kāi)，如式（1）：

式中：f—原始信號(hào)的譜頻率；α—信號(hào)的循環(huán)頻率，表示循環(huán)平穩(wěn)性信號(hào)隱藏的周期形成分的頻率，循環(huán)頻率是離散的，A—一個(gè)包含所有循環(huán)頻率α的集合。二階循環(huán)統(tǒng)計(jì)量可將能量流分解成周期性部分，反映與周期性相關(guān)的能量隨時(shí)間變化規(guī)律。

2.2 循環(huán)平穩(wěn)算法

循環(huán)平穩(wěn)信號(hào)x（t）可以分解為確定性部分mx（t）和殘余部分rx（t），確定性部分就是均值，包含信號(hào)的所有周期性成分，可由原始信號(hào)同步平均得到，其策略，如圖1所示?？苫跉堄嗖糠謗x（t）求取譜相關(guān)密度函數(shù)。

圖1 同步平均Fig.1 Synchronous Average

譜相關(guān)密度函數(shù)是一個(gè)理論值，平均循環(huán)周期圖法（ACP）、循環(huán)調(diào)制譜法（CMS）、快速譜相關(guān)法（Fast-SC）是三種譜相關(guān)密度函數(shù)估計(jì)量的求取方法[10]。采用快速譜相關(guān)法估計(jì)譜相關(guān)密度函數(shù)。ACP是一個(gè)常用的估計(jì)量，但算法效率較低。CMS算法中譜頻率不能取很高分辨率，影響譜相關(guān)密度函數(shù)估計(jì)精度。Fast-SC在前兩種方法基礎(chǔ)上發(fā)展而來(lái)，能夠快速準(zhǔn)確估計(jì)譜相關(guān)密度函數(shù)。

快速譜相關(guān)法的基本過(guò)程，首先對(duì)循環(huán)平穩(wěn)性信號(hào)加窗并進(jìn)行短時(shí)傅里葉變換，如式（3）：

式中：Nw—一個(gè)窗的長(zhǎng)度；R—兩個(gè)連續(xù)窗的間隔；w［m］—窗里的數(shù)據(jù)，fk=kΔf，k=0，…，Nw-1，如圖 2 所示。譜頻率分辨率 Δf=Nw/Fs，F(xiàn)s—采樣頻率。

式中：Xw（i，fk）—帶寬為Δf的復(fù)包絡(luò)，p的取值為0，…，Nw/2R，將式（3）～—（5）代入式（6）可得譜相關(guān)密度函數(shù)的快速譜相關(guān)估計(jì)量。詳見(jiàn)文獻(xiàn)[12]。

圖2 短時(shí)傅里葉變換參數(shù)圖解Fig.2 Illustration of Parameters in the Short-Time Fourier Transform

3 監(jiān)測(cè)變量

采集的整個(gè)疲勞過(guò)程的循環(huán)平穩(wěn)信號(hào)需要分段進(jìn)行處理，每段的時(shí)間過(guò)長(zhǎng)，會(huì)導(dǎo)致部分信號(hào)特征的湮沒(méi)，劃分過(guò)細(xì)會(huì)導(dǎo)致信號(hào)處理效率降低，應(yīng)選取適當(dāng)?shù)姆侄伍L(zhǎng)度。再使用循環(huán)平穩(wěn)算法對(duì)信號(hào)處理，得到每一段時(shí)間內(nèi)的譜相關(guān)密度函數(shù)，尋找譜相關(guān)密度函數(shù)變化與疲勞損傷演化之間的關(guān)系。

可用譜相關(guān)密度函數(shù)的變化反映疲勞損傷累積，為了更直觀的描述譜相關(guān)密度函數(shù)隨疲勞損傷的演化規(guī)律，需定義一些監(jiān)測(cè)變量，如循環(huán)頻率譜區(qū)（CFSA）[10]。循環(huán)頻率譜區(qū)如式（7），是將譜相關(guān)密度函數(shù)上不同頻率和循環(huán)頻率對(duì)應(yīng)分量的累加，將譜相關(guān)密度函數(shù)隨疲勞累積的變化特征集中體現(xiàn)；

4 仿真算例與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

4.1 仿真算例

4.1.1 仿真模型

圖3 單自由度模型Fig.3 Single Degree of Freedom Model

單自由度模型來(lái)模擬承受循環(huán)載荷的金屬試樣，如圖3所示。該單自由度系統(tǒng)的平衡方程為：

通過(guò)單自由度模型仿真疲勞試樣的振動(dòng)信號(hào)，來(lái)研究疲勞損傷規(guī)律。在疲勞實(shí)驗(yàn)當(dāng)中，因疲勞裂紋的變化，試樣的剛度會(huì)隨著時(shí)間改變。在該模型當(dāng)中定義了裂紋張開(kāi)和閉合時(shí)的剛度變化規(guī)律，剛度模型為[2]：

式中：ω0—裂紋開(kāi)閉頻率；k0—裂紋完全張開(kāi)時(shí)的剛度，定義k0在疲勞過(guò)程中線性衰減；剛度變化的幅值定義為：-k0）；kc—裂紋閉合時(shí)的剛度。

4.1.2 Simulink仿真及結(jié)果分析

為了仿真承受循環(huán)載荷的金屬試樣的振動(dòng)響應(yīng)，結(jié)合單自由度模型，可對(duì)的試樣振動(dòng)過(guò)程進(jìn)行Simulink數(shù)值仿真，可以得到試樣在剛度隨時(shí)間變化情況下的響應(yīng)x（t），該位移信號(hào)理論上應(yīng)具有循環(huán)平穩(wěn)性，下面將使用循環(huán)平穩(wěn)信號(hào)處理程序分析x（t），尋找每一段時(shí)間內(nèi)的譜相關(guān)密度函數(shù)與疲勞損傷演化之間的關(guān)系。通過(guò)仿真得到疲勞試樣位移信號(hào)，如圖4所示。再用循環(huán)平穩(wěn)信號(hào)處理程序分析振動(dòng)信號(hào)，可以得到每一段時(shí)間內(nèi)的譜相關(guān)密度函數(shù)。

圖4 仿真的位移信號(hào)Fig.4 Simulation of Displacement Signal

圖5 仿真信號(hào)的譜相關(guān)密度函數(shù)Fig.5 The Spectral Correlation Density Function of the Simulation Signal

在振動(dòng)信號(hào)A、B、C三個(gè)階段的譜相關(guān)密度函數(shù)，在不同循環(huán)頻率下，能夠觀察到均勻分布的波峰，對(duì)應(yīng)基頻和各個(gè)倍頻，說(shuō)明該信號(hào)符合循環(huán)平穩(wěn)信號(hào)的特征，如圖5所示。隨著疲勞損傷演化，譜相干密度函數(shù)圖像發(fā)生明顯變化，幅值呈上升趨勢(shì)，說(shuō)明疲勞過(guò)程中，周期性的沖擊摩擦不斷加劇，試樣的損傷累積導(dǎo)致其物理性能逐漸削減。該仿真結(jié)果驗(yàn)證了使用循環(huán)平穩(wěn)信號(hào)處理方法來(lái)檢測(cè)疲勞損傷的可行性。疲勞過(guò)程中每一段時(shí)間內(nèi)的譜相關(guān)密度函數(shù)對(duì)應(yīng)的CFSA，如圖6所示。可看到CFSA值隨著疲勞損傷的累積不斷增大，說(shuō)明該循環(huán)平穩(wěn)性監(jiān)測(cè)變量可以很好地反映疲勞損傷的累積，因此可在疲勞試驗(yàn)中，通過(guò)采集試樣振動(dòng)信號(hào)并計(jì)算其監(jiān)測(cè)變量，來(lái)檢測(cè)疲勞損傷。

圖6 疲勞過(guò)程的監(jiān)測(cè)變量CFSAFig.6 The Monitor Variable CFSA of the Fatigue Process

4.2 疲勞試驗(yàn)

4.2.1 材料及試驗(yàn)方法

為了進(jìn)一步驗(yàn)證循環(huán)平穩(wěn)信號(hào)處理方法在金屬試樣疲勞損傷中的敏感性，使用MTS液壓伺服試驗(yàn)機(jī)開(kāi)展了疲勞試驗(yàn)，并用信號(hào)采集器采集疲勞過(guò)程中的振動(dòng)信號(hào)。圓柱疲勞試樣，材料是45號(hào)鋼，長(zhǎng)度為160mm，危險(xiǎn)截面直徑9mm。疲勞試樣采用正弦加載，應(yīng)力比為-1，幅值30kN，加載頻率8Hz。搭建的疲勞試驗(yàn)系統(tǒng)，如圖7所示。傳感器的固定位置如夾具的局部放大圖所示，使用傳感器采集疲勞過(guò)程中試樣的振動(dòng)信號(hào)。

圖7 疲勞試驗(yàn)系統(tǒng)Fig.7 The Fatigue Test System

4.2.2 試樣結(jié)果分析

疲勞試樣斷裂后，對(duì)整個(gè)疲勞過(guò)程的振動(dòng)信號(hào)使用循環(huán)平穩(wěn)信號(hào)處理方法進(jìn)行分段處理，可以得到各個(gè)時(shí)間段試樣振動(dòng)信號(hào)的譜相關(guān)密度函數(shù)，疲勞開(kāi)始，疲勞中和疲勞斷裂前的譜相關(guān)密度函數(shù)，在不同的循環(huán)頻率下，同樣可以觀察到均勻分布的波峰，如圖8所示。非零循環(huán)頻率下分量不為0，說(shuō)明循環(huán)加載的疲勞試樣的振動(dòng)信號(hào)屬于循環(huán)平穩(wěn)信號(hào)。并且隨著疲勞損傷的演化，譜相關(guān)密度函數(shù)的幅值有增大趨勢(shì)，表示循環(huán)平穩(wěn)信號(hào)處理方法對(duì)試樣的疲勞損傷是敏感的。

圖8 試樣振動(dòng)信號(hào)的譜相關(guān)密度函數(shù)Fig.8 The Spectral Correlation Density Function of the Sample Vibration Signal

圖9 疲勞過(guò)程中的監(jiān)測(cè)變量CFSAFig.9 The Monitor Variable CFSA of the Fatigue Process

將周期數(shù)歸一化，每個(gè)試樣的疲勞過(guò)程分為N段，n表示當(dāng)前段，分別對(duì)三組低周疲勞數(shù)據(jù)處理可得到監(jiān)測(cè)變量CFSA在疲勞過(guò)程中的變化規(guī)律，如圖9所示。在疲勞過(guò)程中，隨著疲勞損傷的不斷累積，監(jiān)測(cè)變量CFSA逐漸增大。

5 結(jié)論

通過(guò)仿真算例和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，證明了基于循環(huán)平穩(wěn)的疲勞損傷檢測(cè)方法的可行性，循環(huán)平穩(wěn)信號(hào)處理方法可用于檢測(cè)疲勞損傷累積，定義的監(jiān)測(cè)變量CFSA在低周疲勞中隨著試樣內(nèi)部沖擊摩擦的加劇，幅值逐漸增大，即監(jiān)測(cè)變量CFSA與疲勞損傷累積呈正相關(guān)關(guān)系。