曲智勇，徐加寶

（哈爾濱工業(yè)大學(xué)電液伺服仿真及試驗(yàn)系統(tǒng)研究所，黑龍江 哈爾濱 150001）

1 引言

六自由度軸耦合道路模擬試驗(yàn)臺(tái)是目前最為先進(jìn)的整車疲勞試驗(yàn)設(shè)備[1]，以其能夠準(zhǔn)確再現(xiàn)車軸及整車多向應(yīng)力狀態(tài)并可提供多種靈活配置的測(cè)試方案的特點(diǎn)[2]，近年來(lái)在車輛的整車疲勞試驗(yàn)中得到了最為廣泛的應(yīng)用。軸耦合道路模擬試驗(yàn)系統(tǒng)在實(shí)際的測(cè)試過程采用四角配置，如圖1所示。

圖1 軸耦合試驗(yàn)臺(tái)四角配置示意圖Fig.1 Four Corner Configuration Road Simulators Sketch

軸耦合道路模擬試驗(yàn)系統(tǒng)每個(gè)角都是一種典型的串并聯(lián)結(jié)構(gòu)，由6個(gè)液壓作動(dòng)器驅(qū)動(dòng)，通過輕質(zhì)高剛度的連桿施加載荷。桿系的特殊布局和結(jié)構(gòu)尺寸設(shè)計(jì)，使得只有在一個(gè)或者兩個(gè)液壓缸做主動(dòng)運(yùn)動(dòng)時(shí)就能實(shí)現(xiàn)臺(tái)架在某個(gè)自由度上的運(yùn)動(dòng)，最大程度地降低了液壓缸之間的運(yùn)動(dòng)耦合[5]。但是在上平臺(tái)大位移運(yùn)動(dòng)時(shí)各個(gè)液壓缸之間的耦合運(yùn)動(dòng)仍然十分明顯。這種耦合運(yùn)動(dòng)降低了試驗(yàn)臺(tái)的控制特性，提高了控制要求。因此在研究其控制策略之前須對(duì)各液壓缸之間的耦合運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分析。以軸耦合道路模擬試驗(yàn)系統(tǒng)的一個(gè)角為研究對(duì)象，首先對(duì)其進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，然后使用聯(lián)合仿真的方法驗(yàn)證了運(yùn)動(dòng)學(xué)分析的正確性。在此基礎(chǔ)上通過對(duì)運(yùn)動(dòng)雅克比矩陣的分析得出了在單自由度運(yùn)動(dòng)時(shí)主要產(chǎn)生耦合運(yùn)動(dòng)的桿系。

2 逆運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

2.1 位姿描述

單角軸耦合道路模擬試驗(yàn)臺(tái)主要由臺(tái)架和六個(gè)連桿、雙臂曲柄、液壓缸組成的桿系組成。為方便描述，將其分成6組桿系，如圖2所示。圖中標(biāo)出了關(guān)節(jié)處的運(yùn)動(dòng)副約束：S代表球鉸副，U代表虎克鉸副，R代表轉(zhuǎn)動(dòng)副，T代表移動(dòng)副，D定義為點(diǎn)線約束。其逆運(yùn)動(dòng)學(xué)分析解決的是已知臺(tái)架的位姿求解各驅(qū)動(dòng)液壓缸運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的問題[6]。定義上平臺(tái)慣性參考系和連體坐標(biāo)系：將兩個(gè)坐標(biāo)系原點(diǎn)建立在臺(tái)架中心，參考坐標(biāo)系Oxyz固定于慣性空間，連體坐標(biāo)坐標(biāo)系O′x′y′z′固定于執(zhí)行機(jī)構(gòu)，隨臺(tái)架運(yùn)動(dòng)，兩個(gè)坐標(biāo)系方向，如圖2所示[7]。

圖2 試驗(yàn)臺(tái)桿系及坐標(biāo)系示意圖Fig.2 Coordinate System Sketch

臺(tái)架的位置和姿態(tài)可以分別用體坐標(biāo)系在參考坐標(biāo)系中的位置矢量t和體坐標(biāo)系相對(duì)于參考坐標(biāo)系按照321方式旋轉(zhuǎn)的歐拉角 φ、θ、ψ 表示。

位置矢量坐標(biāo)和歐拉角完全確定了臺(tái)架的空間位姿，選取系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)為 q=［x，y，z，φ，θ，ψ］T。

體坐標(biāo)系關(guān)于參考坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)變換矩陣如下[8]：

這里 s（·）=sin（·），c（·）=cos（·）。

臺(tái)架上的三個(gè)鉸點(diǎn)pi（i=1，2，3）在參考坐標(biāo)系下可表示為：

式中：q˙—臺(tái)架相對(duì)慣性系的廣義速度；ω—臺(tái)架相對(duì)慣性系的角速度矢量。

臺(tái)架角速度矢量在慣性參考系中坐標(biāo)分量是三個(gè)歐拉角φ、θ、ψ及其導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，角速度矢量坐標(biāo)表示為：

2.2 位置分析

根據(jù)各桿系空間矢量關(guān)系，分析軸耦合道路模擬試驗(yàn)臺(tái)運(yùn)動(dòng)時(shí)的位置關(guān)系。首先求解各個(gè)桿系連桿長(zhǎng)度矢量li（i=1，…，6）的矢量表達(dá)式，過程如下。3號(hào)桿系空間位置關(guān)系，如圖3所示。從圖中可得臺(tái)架垂直支撐桿l2、l3可以表示為：1號(hào)桿系空間位置關(guān)系，如圖4所示。連桿l1可以表示為：l1=-a1-b11--η1l3=η2η3+（η3-η2η3）-a1+

圖3 3號(hào)桿系空間位置關(guān)系圖Fig.3 No.3 Bar System Sketch

圖4 1號(hào)桿系空間位置關(guān)系圖Fig.4 No.1 Bar System Sketch

4號(hào)桿系空間位置關(guān)系，如圖5所示。

圖5 4號(hào)桿系空間位置關(guān)系圖Fig.5 No.4 Bar System Sketch

4號(hào)桿系連桿矢量l4可以表示為：

同樣地，對(duì)5號(hào)、6號(hào)桿系分析，連桿l5、l6可以表示為：

1～6號(hào)桿系雙臂曲柄主動(dòng)臂矢量b2i、從動(dòng)臂矢量b1i在慣性參考系｛b｝中表示為：

由式（6）～式（11）這6個(gè)運(yùn)動(dòng)約束方程即可建立整個(gè)軸耦合試驗(yàn)臺(tái)臺(tái)架運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系。可將其整理后寫成統(tǒng)一的矩陣方程的形式：

式中：L—各耦合連桿長(zhǎng)度矢量構(gòu)成的矢量矩陣；

pb—輪轂鉸點(diǎn)位置矢量矩陣；

a—雙臂曲柄固定鉸點(diǎn)位置矢量矩陣；

b—雙臂曲柄被動(dòng)臂上鉸點(diǎn)位置矢量矩陣；

P—臺(tái)架鉸點(diǎn)位置矢量的系數(shù)矩陣；

A—雙臂曲柄固定鉸點(diǎn)位置矢量的系數(shù)矩陣；

B—雙臂曲柄被動(dòng)臂上鉸點(diǎn)位置矢量的系數(shù)矩陣。

其中各系數(shù)可以分別表示為：

通過矩陣方程式（14）可以得到臺(tái)架在某位姿下的各桿系雙臂曲柄轉(zhuǎn)動(dòng)角度θi，進(jìn)而可以求得雙臂曲柄主動(dòng)臂矢量b2i、從動(dòng)臂矢量b1i。

由圖3～圖5所示，各桿系液壓作動(dòng)器長(zhǎng)度矢量dn（n=1～6）表示為：

對(duì)式（15）進(jìn)行取模運(yùn)算，有：

由式（16）可求得液壓作動(dòng)器長(zhǎng)度di，各桿系液壓作動(dòng)器單位長(zhǎng)度矢量dui表示為：

2.3 速度分析

式（3）對(duì)時(shí)間求?導(dǎo)可以得到上平臺(tái)鉸點(diǎn)的速度，表示為式（18），其中為坐標(biāo)陣-：

式中：Jpiq—廣義速度到臺(tái)架鉸點(diǎn)速度的雅克比矩陣。

由式（14）可以得到各連桿的長(zhǎng)度矢量li（i=1，…，6）為：

進(jìn)行取模運(yùn)算，可得：

由于連桿的長(zhǎng)度為常值，因此對(duì)式（22）求導(dǎo)有：

由于η2是變量，求導(dǎo)可得：

對(duì)式（22）和式（23）進(jìn)行整理，可以統(tǒng)一表示為：

式中：P′—臺(tái)架鉸點(diǎn)速度矢量的系數(shù)矩陣；B′—雙臂曲柄被動(dòng)臂上鉸點(diǎn)速度矢量的系數(shù)矩陣。

設(shè)vb為雙臂曲柄被動(dòng)臂上鉸點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度，該速度由式可表示為：

其中，vb=b˙=［vb1…vb6］T；Jpq=［Jp1qJp2qJp3q］T；Jvbq=［Jvb1q…Jvb6q］T

式中：Jpq—廣義速度到臺(tái)架鉸點(diǎn)速度的雅克比矩陣；Jvpq—廣義速

度到被動(dòng)臂上鉸點(diǎn)速度的雅可比矩陣。

雙臂曲柄在平面內(nèi)繞固定鉸點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，被動(dòng)臂上鉸點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度還可以表示為：

式中：ωb—雙臂曲柄轉(zhuǎn)動(dòng)角速度。

則雙臂曲柄的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度ωb為：

式中：Jωbq—廣義速度到曲柄角速度的雅可比矩陣。設(shè)vd為雙臂曲柄主動(dòng)臂鉸點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度，該速度可表示為：

式中：Jvdq—廣義速度到雙臂曲柄主動(dòng)臂鉸點(diǎn)速度的雅可比矩陣。

通過雙臂曲柄的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度，可以進(jìn)一步求解出液壓缸的伸縮速度vdn，表示為：

式中：Jvdnq—廣義速度到液壓缸伸縮速度的雅可比矩陣。因此液壓缸角速度為：

3 逆運(yùn)動(dòng)學(xué)分析驗(yàn)證

利用Simulink搭建了軸耦合道路模擬試驗(yàn)臺(tái)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，并使用Simulink和ADAMS聯(lián)合仿真的方法驗(yàn)證逆運(yùn)動(dòng)學(xué)分析的準(zhǔn)確性。根據(jù)試驗(yàn)臺(tái)的性能指標(biāo)要求，給定上平臺(tái)六自由度的輸入如下。

在上平臺(tái)相同位姿下，通過求解Simulink逆運(yùn)動(dòng)學(xué)模型和ADAMS逆運(yùn)動(dòng)學(xué)模型解算出的六個(gè)液壓缸位移差值的方法驗(yàn)證逆運(yùn)動(dòng)學(xué)分析的準(zhǔn)確性，部分仿真，如表1所示。

在六自由度的運(yùn)動(dòng)同時(shí)輸入時(shí)，將Simulink位置反解和ADAMS位置反解結(jié)果做差，得到各桿系液壓作動(dòng)器誤差，如圖6所示。通過各個(gè)缸的誤差曲線圖，可以看出誤差能達(dá)到10-6m數(shù)量級(jí)，因此在誤差范圍內(nèi)可以斷認(rèn)為逆運(yùn)動(dòng)學(xué)分析是準(zhǔn)確的。

表1 部分仿真參數(shù)Tab.1 Partial Simulation Parameters

圖6 液壓缸位移誤差Fig.6 Error of Hydraulic Cylinder

4 各桿系耦合強(qiáng)度分析

軸耦合道路模擬試驗(yàn)臺(tái)在臺(tái)架單自由度運(yùn)動(dòng)時(shí)只需一個(gè)或兩個(gè)液壓缸做主動(dòng)運(yùn)動(dòng)時(shí)就能實(shí)現(xiàn)，各液壓缸的運(yùn)動(dòng)相對(duì)獨(dú)立，但是其他液壓缸也存在著比較大的耦合運(yùn)動(dòng)，且在臺(tái)架最大位移處各缸之間的耦合運(yùn)動(dòng)最大。因此，在該狀態(tài)下研究液壓缸之間的耦合特性。從逆動(dòng)力學(xué)分析可以得出各液壓缸伸縮速度vd（nii=1，2，…，6）和廣義速度之間q˙的關(guān)系為：

從中可以看出在單自由度輸入時(shí)Jvdnq的每一列元素分別決定了在該自由度輸入時(shí)各個(gè)液壓缸的運(yùn)動(dòng)。因此可以用Jvdnq每一列元素與其中主要驅(qū)動(dòng)液壓缸相對(duì)應(yīng)的雅克比系數(shù)的比值來(lái)分析單自由輸入時(shí)其他液壓缸耦合運(yùn)動(dòng)的大小。因此，定義耦合強(qiáng)度系數(shù)來(lái)描述臺(tái)架在x方向平動(dòng)時(shí)1號(hào)液壓缸與6號(hào)液壓缸之間的耦合大小，表示為：x

臺(tái)架x方向平動(dòng)時(shí)其他桿系的耦合強(qiáng)度系數(shù)計(jì)算以此類推。通過計(jì)算可以得出=0.0450.000=0.073，=1.23。因此在臺(tái)架x方向平動(dòng)時(shí)1號(hào)、2號(hào)和5號(hào)桿系液壓缸會(huì)產(chǎn)生比較大的耦合運(yùn)動(dòng)，其余液壓缸的耦合運(yùn)動(dòng)可以忽略不計(jì)。同樣地，可以得出在其他方向運(yùn)動(dòng)時(shí)的主要耦合桿系，如表2所示。通過以上分析可以得出，1號(hào)、4號(hào)、5號(hào)和6號(hào)桿系在每個(gè)單自由度運(yùn)動(dòng)時(shí)都會(huì)產(chǎn)生比較大的耦合運(yùn)動(dòng)，對(duì)整個(gè)機(jī)構(gòu)的耦合性影響較大。3號(hào)桿系在x方向平動(dòng)、y方向平動(dòng)、x方向轉(zhuǎn)動(dòng)是會(huì)產(chǎn)生比較大的耦合運(yùn)動(dòng)，對(duì)機(jī)構(gòu)耦合性的影響次之。2號(hào)桿系幾乎對(duì)機(jī)構(gòu)的耦合性不會(huì)產(chǎn)生影響。

表2 單自由度運(yùn)動(dòng)時(shí)主要耦合桿系Tab.2 The Main Coupling Rod System for Single-Degree-of-Freedom Movement

5 總結(jié)

詳盡地介紹了軸耦合道路模擬試驗(yàn)臺(tái)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)分析過程，并使用Simulink和ADAMS聯(lián)合仿真的方式有效驗(yàn)證了逆運(yùn)動(dòng)學(xué)分析的正確性。最后，通過對(duì)廣義速度到液壓缸伸縮速度的雅克比矩陣分析，定義了耦合強(qiáng)度系數(shù)。對(duì)比耦合強(qiáng)度系數(shù)系數(shù)的大小得出在臺(tái)架單自由度運(yùn)動(dòng)時(shí)耦合運(yùn)動(dòng)較大的桿系。這對(duì)軸耦合道路模擬試驗(yàn)臺(tái)的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)和控制系統(tǒng)的研究而言，有一定的參考意義。