張文曉

（英格索蘭亞太工程技術(shù)中心，江蘇太倉(cāng) 215400）

0 引 言

在A(yíng)HU產(chǎn)品中，通常在風(fēng)機(jī)底座下面安裝彈簧減震器，用于阻止或者限制由風(fēng)機(jī)運(yùn)行產(chǎn)生的力傳遞到機(jī)座上面。因此，在彈簧減震器選型的時(shí)候，準(zhǔn)確地計(jì)算出各個(gè)支承點(diǎn)的支反力顯得尤為重要。

為了達(dá)到減震效果，彈簧減震器的個(gè)數(shù)一般不小于4個(gè)。對(duì)于支承點(diǎn)超過(guò)3點(diǎn)的情況，屬于超靜定結(jié)構(gòu)，如果要得到唯一解，需要增加變形協(xié)調(diào)方程。本文將基于平面假設(shè)，即假設(shè)風(fēng)機(jī)底盤(pán)是剛性平面，受力之后仍為平面，給出多點(diǎn)支承條件下的支反力計(jì)算方法。

1 四點(diǎn)支承時(shí)支反力計(jì)算

1.1 力學(xué)模型

風(fēng)機(jī)及彈簧減震器示意圖如圖1所示。受力簡(jiǎn)圖如圖2所示。

由圖2可見(jiàn)，風(fēng)機(jī)底盤(pán)受四點(diǎn)支撐，而平衡方程有3個(gè)，此問(wèn)題屬于一次超靜定問(wèn)題，需要增加協(xié)調(diào)方程才能求解。

1.2 平面假設(shè)

不考慮風(fēng)機(jī)底盤(pán)的變形，假設(shè)風(fēng)機(jī)底盤(pán)放在4個(gè)剛度相同的彈簧上，彈簧變形之后4個(gè)支點(diǎn)仍然在同一平面上，四點(diǎn)支反力矢量端點(diǎn)仍在同一平面上，如圖2所示。

1.3 平衡方程

列力平衡方程，以及對(duì)X軸、對(duì)Y軸列力矩平衡方程如下：

式中：R1、R2、R3、R4為支點(diǎn)1、2、3、4的支反力（如圖2）；（X1,Y1）、（X2,Y2）、（X3,Y3）、（X4,Y4）為4個(gè)彈簧支點(diǎn)的坐標(biāo)；G為重力；（XG,YG）為重力作用點(diǎn)坐標(biāo)。

1.4 協(xié)調(diào)方程

根據(jù)四點(diǎn)共面，列平面方程：

其中a、b、c為平面方程系數(shù)。

1.5 聯(lián)立求解得出支反力

將式（4）～式（7）分別代入式（1）、式（2）得：

將式（4）～式（7）相加得

聯(lián)立式（8）～式（10）得：

在Excel或者其他計(jì)算軟件中，將數(shù)據(jù)合理排布，利用矩陣運(yùn)算即可快速求出系數(shù)a、b、c。然后，再把各點(diǎn)坐標(biāo)及系數(shù)a、b、c分別代入式（4）～式（7）即可求出四點(diǎn)支反力。

2 對(duì)于多點(diǎn)支撐

類(lèi)似地，對(duì)于多點(diǎn)支撐，可對(duì)1.3節(jié)中的平衡方程及1.4節(jié)中的協(xié)調(diào)方程組進(jìn)行擴(kuò)展，重復(fù)1.5節(jié)中步驟，即可得到多點(diǎn)支撐時(shí)的平面方程系數(shù)矩陣的通用形式為

其中n為支反力個(gè)數(shù)。求出系數(shù)a、b、c后便可求得任意支點(diǎn)的支反力為

3 工程實(shí)例

已知風(fēng)機(jī)底盤(pán)結(jié)構(gòu)如圖3所示，在風(fēng)機(jī)底盤(pán)底部有4個(gè)彈簧減震器支撐點(diǎn)。假設(shè)已經(jīng)算出風(fēng)機(jī)、電動(dòng)機(jī)、風(fēng)機(jī)底盤(pán)及其他附件重力重心參數(shù)，如表1所示，給定各彈簧減震器支點(diǎn)坐標(biāo)（坐標(biāo)原點(diǎn)設(shè)定為風(fēng)機(jī)底盤(pán)左下角，如圖3），求各支點(diǎn)反力。

表1 計(jì)算輸入?yún)?shù)表 mm

將參數(shù)表中參數(shù)代入式（11）即可得到系數(shù)矩陣：

將系數(shù)和各點(diǎn)坐標(biāo)分別代入式（12），即可計(jì)算出支反力為：R1=793 N，R2=495 N，R3=1061 N，R4=763 N。

4 考慮風(fēng)機(jī)底盤(pán)變形，通過(guò)有限元計(jì)算

在A(yíng)NSYS里建模，如圖4所示。

Case1：在彈簧減震器處加4個(gè)剛度相同（12 N/mm）彈簧單元。1）將風(fēng)機(jī)、電動(dòng)機(jī)的重力加入模型中，保證理論計(jì)算和有限元計(jì)算的裝配體重力、重心一致；2）加重力載荷求解；3）讀取4個(gè)支點(diǎn)處彈簧單元的支反力。

Case2：彈簧減震器處四點(diǎn)固支。其余步驟同Case1。

其中：Case1代表和理論計(jì)算相同的邊界條件（4個(gè)彈簧等剛度），用于和解析計(jì)算作對(duì)比；Case2代表可以將裝配體調(diào)成水平的4個(gè)支反力的大小，通常用有限元計(jì)算按此工況選型。結(jié)果如表2所示。

表2 有限元計(jì)算結(jié)果 N

5 解析計(jì)算結(jié)果與有限元計(jì)算結(jié)果對(duì)比

解析解與有限元計(jì)算反力結(jié)果對(duì)比如表3所示。

表3 解析解與有限元結(jié)果比較

根據(jù)解析計(jì)算得到的結(jié)果選取彈簧減震器，再根據(jù)有限元計(jì)算（Case2）選取彈簧減震器，將兩組彈簧減震再次代入有限元分析模型，反算通過(guò)兩種方式選擇的彈簧減震器之后，4個(gè)支點(diǎn)的支反力及變形，結(jié)果如表4、表5所示。

通過(guò)對(duì)比結(jié)果可以得出如下結(jié)論：1）當(dāng)邊界條件一致時(shí)，解析解與有限元計(jì)算結(jié)果是吻合的，最大偏差僅為4.2%；2）通過(guò)解析計(jì)算和有限元法分析選定彈簧之后，兩組不同的選型實(shí)際支反力相差10.9%，變形相差3 mm；3）綜合考慮，完全可以利用解析法進(jìn)行風(fēng)機(jī)底盤(pán)彈簧減震器的選型計(jì)算。

表4 通過(guò)解析解選彈簧與通過(guò)有限元法選彈簧后的實(shí)際支反力

表5 通過(guò)解析解選彈簧與通過(guò)有限元法選彈簧后的實(shí)際變形

更重要的是，可以利用編程手段，將此方法編入程序，從而實(shí)現(xiàn)彈簧減震器自動(dòng)選型。這是通過(guò)有限元分析很難實(shí)現(xiàn)的。

6 結(jié) 論

本文主要通過(guò)平面假設(shè)，提出了求解多支點(diǎn)超靜定問(wèn)題的方法。該方法還可廣泛用于其他領(lǐng)域：空調(diào)領(lǐng)域Chiller機(jī)組下的彈簧減震器排布計(jì)算；工程機(jī)械領(lǐng)域里回轉(zhuǎn)支承螺栓群組受力計(jì)算；汽車(chē)起重機(jī)支腿反力計(jì)算；履帶式起重機(jī)支重輪受力計(jì)算等。在使用時(shí)需要注意判斷實(shí)際工程情況是否滿(mǎn)足平面剛體假設(shè)，如果不滿(mǎn)足，則可進(jìn)一步假設(shè)變形為曲面，從而采用同樣的方法增加協(xié)調(diào)方程。如果無(wú)法估計(jì)變形之后各點(diǎn)形態(tài)，則需利用有限元軟件求解。