石宇靜,李 強(qiáng)

(哈爾濱理工大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系,黑龍江哈爾濱 150080)

1 引言

在過去的十多年,復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)受到了越來越多的關(guān)注和研究.一方面,復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)普遍存在于生活中,如互聯(lián)網(wǎng)、萬維網(wǎng)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[1]等等;另一方面,復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)在物理、科技、生命科學(xué)等領(lǐng)域均具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值[2].因此,深入研究復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)具有重要的現(xiàn)實(shí)意義.

同步作為自然界中普遍存在的一種現(xiàn)象,已經(jīng)被人們廣泛關(guān)注.近些年,針對復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)同步的研究有了很大的進(jìn)展[3].目前,復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)同步的研究方法主要有滑?？刂芠4]、牽制控制[5]、脈沖控制[6-7]、間歇控制[8]等方法.然而,在實(shí)際中系統(tǒng)的某些參數(shù)往往是未知的,自適應(yīng)控制方法則可以在系統(tǒng)參數(shù)未知的情況下,設(shè)計(jì)自適應(yīng)控制器,通過自適應(yīng)律進(jìn)行不斷的參數(shù)調(diào)整,對所研究的系統(tǒng)進(jìn)行實(shí)時(shí)有效地控制.如文獻(xiàn)[9-12]針對參數(shù)未知復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)給出了自適應(yīng)控制器設(shè)計(jì)方法.

上述同步的研究均是針對復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)漸近同步和指數(shù)同步的研究結(jié)果,即誤差動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)軌跡在時(shí)間趨于無窮時(shí)達(dá)到平衡點(diǎn).但是,在實(shí)際的工程中,人們更希望誤差動(dòng)態(tài)系統(tǒng)能夠在有限時(shí)間內(nèi)達(dá)到平衡點(diǎn),這樣可以節(jié)約時(shí)間和成本,更有實(shí)用價(jià)值.因此,近些年復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)的有限時(shí)間同步問題被很多學(xué)者關(guān)注,并且取得了一些研究成果見文獻(xiàn)[13-18].其中,文獻(xiàn)[13]針對網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)間的耦合是非線性耦合時(shí),研究復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)有限時(shí)間同步的牽制控制器設(shè)計(jì)方法,并且同步過渡時(shí)間的估計(jì)值不依賴于初始條件.文獻(xiàn)[14]研究了時(shí)滯復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)的有限時(shí)間同步問題.文獻(xiàn)[15]利用隨機(jī)穩(wěn)定性理論,研究了具有隨機(jī)擾動(dòng)的復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)有限時(shí)間同步控制方法.文獻(xiàn)[16-18]利用非光滑分析和Filippov解的定義,研究了不連續(xù)復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)的有限時(shí)間同步控制問題.然而,在這些研究中,所設(shè)計(jì)的控制器都是要求網(wǎng)絡(luò)的耦合權(quán)重是已知的,如果網(wǎng)絡(luò)的耦合權(quán)重未知,那么這些控制器將不能夠?qū)崿F(xiàn)對復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)的有效控制.在實(shí)際中,復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)是由多個(gè)子節(jié)點(diǎn)組成的,而這些子節(jié)點(diǎn)間的耦合強(qiáng)度和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是錯(cuò)綜復(fù)雜的,這樣使得網(wǎng)絡(luò)的耦合權(quán)重往往是不可測和不可知的.因此,針對耦合權(quán)重未知復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)的有限時(shí)間同步控制的研究是一個(gè)具有挑戰(zhàn)性的問題.

基于上述分析,本文研究了復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)有限時(shí)間同步問題.文章的主要貢獻(xiàn)陳列如下:1)分別針對復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的耦合權(quán)重已知和耦合權(quán)重未知兩種情況,利用自適應(yīng)控制方法設(shè)計(jì)相應(yīng)的自適應(yīng)控制器和自適應(yīng)律;2)所引用Lipschitz條件中,不同于已有文獻(xiàn)如[16-17]等要求參數(shù)ηi已知,本文的參數(shù)ηi可以是未知的;3)在網(wǎng)絡(luò)權(quán)重未知的情況,在Filippov解的框架下,給出了不連續(xù)的非線性自適應(yīng)控制器設(shè)計(jì)方法;4)基于有限時(shí)間穩(wěn)定性理論,證明了本文所設(shè)計(jì)兩種自適應(yīng)控制器均能保證同步誤差系統(tǒng)是有限時(shí)間穩(wěn)定的,并且給出了同步過渡時(shí)間上界的估計(jì).

2 模型描述

考慮如下復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)模型:

其中:xi(t)=[xi1(t) xi2(t)··· xin(t)]T∈Rn,ui(t)∈Rn分別表示第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)向量和控制輸入,

表示連續(xù)的向量值函數(shù).常數(shù)c和aij分別表示耦合強(qiáng)度以及網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),其中aij>0表示第i個(gè)節(jié)點(diǎn)與第j個(gè)節(jié)點(diǎn)間有連接,否則aij=0,且滿足

令L=(lij)N×N,其中l(wèi)ij=caij.

令s(t)是復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)中孤立節(jié)點(diǎn)的一個(gè)解,假定它是唯一的并且滿足

其中s(t)=[s1(t) s2(t)··· sn(t)]T∈Rn可以是一個(gè)平衡點(diǎn),一個(gè)非平凡周期軌道或是一個(gè)混沌軌道.

定義同步誤差ei(t)=xi(t)?s(t),由

定義1對于復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)(1),如果存在一個(gè)時(shí)刻t?>0,滿足

其中‖·‖表示向量范數(shù),則稱復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)(1)與目標(biāo)系統(tǒng)(2)在有限時(shí)間內(nèi)達(dá)到同步.

引理1[19]假設(shè)V(t)是連續(xù)的正定函數(shù),如果存在連續(xù)函數(shù)γ,且γ(σ)>0,σ∈(0,+∞)滿足

則有V(t)≡0,?t ≥t?.如果γ(σ)=dσq,且d>0,0

引理2[17]如果a1,a2,···,an,r,p 為實(shí)數(shù)且滿足0

對于復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)(1)滿足如下假設(shè)條件:

假設(shè)1非線性函數(shù)fj(xij(t),t)(i=1,···,N,j=1,···,n)滿足Lipschitz條件,即存在一個(gè)常數(shù)ηi>0,對于任意不同的xij(t),sj(t)∈R滿足

3 主要結(jié)果

3.1 耦合權(quán)重已知的自適應(yīng)控制器設(shè)計(jì)

在此小節(jié),假設(shè)復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)(1)中的耦合權(quán)重lij和參數(shù)ηi是已知的.設(shè)計(jì)自適應(yīng)控制器使得復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)(1)和目標(biāo)系統(tǒng)(2)能在有限時(shí)間內(nèi)達(dá)到同步.為了實(shí)現(xiàn)這一目的,設(shè)計(jì)如下自適應(yīng)控制器:

sgn(·)表示符號函數(shù),且控制增益αi>0,常數(shù)0<μ<1.

設(shè)計(jì)自適應(yīng)律為

定理1在滿足假設(shè)1的條件下,復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)(1)和目標(biāo)系統(tǒng)(2)的狀態(tài)在自適應(yīng)控制器(4)和自適應(yīng)律(5)的作用下是有限時(shí)間同步的,并且同步過渡時(shí)間滿足

證選取如下Lyapunov函數(shù):

計(jì)算V1(t)沿系統(tǒng)(3)的導(dǎo)數(shù)并考慮假設(shè)1成立,則有如下式子成立:

紅軍在茂縣收購糧食，每斗玉米（約40斤）付給銀元四至五元。茂縣蘇維埃每天在縣城附近地帶為紅軍籌糧，有時(shí)候一天可籌集四五千斤。城西區(qū)蘇維埃每天也可為紅軍籌糧約1000斤。

計(jì)算V2(t)沿系統(tǒng)(3)的導(dǎo)數(shù),且代入自適應(yīng)律(5)有如下式子成立:

結(jié)合式(8)-(9)并利用引理2,可得

證畢.

由引理1可知,在自適應(yīng)控制器(4)和自適應(yīng)律(5)的作用下,復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)(1)與目標(biāo)系統(tǒng)(2)能夠在有限時(shí)間內(nèi)達(dá)到同步,而且同步過渡時(shí)間滿足式(6).

3.2 耦合權(quán)重未知的自適應(yīng)控制器設(shè)計(jì)

首先給出幾個(gè)本小節(jié)用到的有關(guān)集值映射和Filippov解的引理.

引理3[20]假設(shè)E ?Rn,如果對每個(gè)點(diǎn)x∈E,對應(yīng)一個(gè)非空子集F(x)?Rn,則稱映射x→F(x)是從E→B(Rn)的集值映射,其中B(Rn)表示Rn中的所有子集.

引理4[20]對于右端不連續(xù)系統(tǒng)

定義如下Filippov集值映射:

函數(shù)V:Rn→B(Rn)的廣義梯度定義為

其中:co(·)表示凸包,?V?Rn是函數(shù)V 不可微點(diǎn)的集合,S是測度為零的集合.

定義V 在點(diǎn)x關(guān)于集值映射F(x)的集值Lie導(dǎo)數(shù)定義為

在此小節(jié),進(jìn)一步考慮復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)(1)中的耦合權(quán)重lij和參數(shù)ηi未知的情況下,設(shè)計(jì)自適應(yīng)控制器使得復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)(1)和目標(biāo)系統(tǒng)(2)能在有限時(shí)間內(nèi)達(dá)到同步.對系統(tǒng)做如下假設(shè):

假設(shè)2令ki=ηi+,其中,存在常數(shù)>0滿足|ki|≥.

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)耦合權(quán)重未知時(shí),設(shè)計(jì)如下自適應(yīng)控制器:

其中:

sgn(ei(t))=[sgn(ei1(t))··· sgn(ein(t))]T,φ(ei(t))的定義同式(4),控制增益βi>0,?i>0,常數(shù)0<μ<1,是未知參數(shù)ki的估計(jì).

自適應(yīng)律設(shè)計(jì)如下:

其中:ρi>0為常數(shù),‖ei(t)‖1=為向量的1-范數(shù).

定理2在滿足假設(shè)1和假設(shè)2的條件下,復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)(1)和目標(biāo)系統(tǒng)(2)的狀態(tài)在自適應(yīng)控制器(12)和自適應(yīng)律(13)的作用下是有限時(shí)間同步的,并且同步過渡時(shí)間滿足

證將控制器(12)代入同步誤差系統(tǒng)(3)可得

由于系統(tǒng)(15)包含不連續(xù)項(xiàng)sgn(ei(t)),令函數(shù)gi(t)表示同步誤差系統(tǒng)(15)的右邊函數(shù),且g(t)=.由Filippov規(guī)則,可得

選取如下Lyapunov函數(shù):

為參數(shù)估計(jì)誤差.

計(jì)算V(t)關(guān)于式(16)的集值Lie導(dǎo)數(shù):

由假設(shè)1和SGN的定義可得

將式(19)-(21)代入式(18)可得

根據(jù)假設(shè)2,容易得到

將式(23)代入式(22),并利用引理2可得

證畢.

由引理1 可知,在自適應(yīng)控制器(12)和自適應(yīng)律(13)的作用下,復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)(1)與目標(biāo)系統(tǒng)(2)能夠在有限時(shí)間內(nèi)達(dá)到同步,而且同步過渡時(shí)間滿足式(14).

4 數(shù)值仿真

考慮含有N=6個(gè)節(jié)點(diǎn)的復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)(1),其耦合矩陣如下:

選擇非線性函數(shù)f(xi(t),t)=Bψ(xi(t)),其中:

圖1給出了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)(1)與目標(biāo)系統(tǒng)(2)在沒有控制作用時(shí),誤差動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的誤差軌跡.從圖1可以看出若不對復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行控制,復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)(1)和目標(biāo)系統(tǒng)(2)的狀態(tài)無法達(dá)到同步.

圖1 無控制作用時(shí)同步誤差ei(t)Fig.1 Synchronization errors ei(t)without control

情形1考慮復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)(1)中的耦合權(quán)重lij和參數(shù)ηi是已知的.根據(jù)定理1利用自適應(yīng)控制器(4)和自適應(yīng)律(5)作用于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò).選擇復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)(1)和目標(biāo)系統(tǒng)(2)的初值條件分別為

圖2 控制器(4)作用下同步誤差ei(t)Fig.2 Synchronization errors ei(t)under controller(4)

圖3 自適應(yīng)參數(shù)δi(t)Fig.3 Adaptive parameters δi(t)

圖2描述了復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)與目標(biāo)軌跡之間有限時(shí)間同步誤差的變化曲線,圖3顯示了自適應(yīng)參數(shù)δi(t)(i=1,···,6)的變化軌跡.

為了進(jìn)一步說明所設(shè)計(jì)的自適應(yīng)控制器的優(yōu)勢,本文將自適應(yīng)控制器(4)與文獻(xiàn)[14]所設(shè)計(jì)的如下反饋控制器做對比:

其中:ωi=0.1,τi=0.2,i=1,···,6.

利用文獻(xiàn)[14]的控制器設(shè)計(jì)方法,其仿真結(jié)果如圖4所示.對比可知,利用文獻(xiàn)[14]的控制器也可以實(shí)現(xiàn)對復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)和目標(biāo)軌跡的同步控制.但是,在文獻(xiàn)[14]所給的控制器作用下復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)達(dá)到同步所需的時(shí)間更長.因此,本文所設(shè)計(jì)的自適應(yīng)控制器比文獻(xiàn)[14]所設(shè)計(jì)的控制器收斂速度更快.

圖4 在文獻(xiàn)[14]控制器作用下同步誤差ei(t)Fig.4 Synchronization errors ei(t)under controller of Reference[14]

接著,本文改變自適應(yīng)律(5)中自適應(yīng)參數(shù)δi(t)(i=1,···,6)的初始條件為δ1(0)=?3,δ2(0)=?4,δ3(0)=3,δ4(0)=?2,δ5(0)=0,δ6(0)=?4.5,其他參數(shù)同上所述,不做改變.得到仿真結(jié)果如圖5-6所示.將圖5-6與前面的圖2-3相比較可知,改變自適應(yīng)律的初始條件,對同步誤差軌跡的收斂速度影響不大.

圖5 改變自適應(yīng)律(5)的初始條件同步誤差ei(t)Fig.5 Synchronization errors ei(t)under changing initial condition of adaptive law(5)

圖6 改變自適應(yīng)律(5)的初始條件自適應(yīng)參數(shù)δi(t)Fig.6 Adaptive parameters δi(t)under changing initial condition of adaptive law(5)

情形2考慮復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)(1)中的耦合權(quán)重lij和參數(shù)ηi是未知的,那么根據(jù)定理2,利用自適應(yīng)控制器(12)和自適應(yīng)律(13)作用于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò),復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)和目標(biāo)系統(tǒng)的狀態(tài)初始條件選擇同上,選擇自適應(yīng)更新律(13)的初值

選擇控制器參數(shù)為

仿真結(jié)果如圖7-8所示.圖7描述了復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)與目標(biāo)系統(tǒng)的同步誤差變化曲線,從圖7中可以看出,所設(shè)計(jì)的自適應(yīng)控制器(12)可使同步誤差在有限時(shí)間內(nèi)快速的收斂到平衡點(diǎn).圖8顯示了未知參數(shù)估計(jì)的變化曲線.

圖7 控制器(12)作用下同步誤差ei(t)Fig.7 Synchronization errors ei(t)under controller(12)

圖8 未知參數(shù)估計(jì)Fig.8 Estimation of unknown parameters

5 結(jié)論

本文研究了復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)有限時(shí)間同步控制問題.首先針對系統(tǒng)耦合權(quán)重lij和參數(shù)ηi已知的情況,設(shè)計(jì)了自適應(yīng)控制器和自適應(yīng)律,利用有限時(shí)間穩(wěn)定性定理證明了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)與目標(biāo)系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)達(dá)到同步.接著進(jìn)一步考慮系統(tǒng)耦合權(quán)重lij和參數(shù)ηi均未知,設(shè)計(jì)了不連續(xù)的自適應(yīng)控制器和未知參數(shù)的自適應(yīng)律,利用微分包含原理在Filippov解的框架下,得到了復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)與目標(biāo)系統(tǒng)有限時(shí)間同步的結(jié)論.最后,通過數(shù)值仿真驗(yàn)證了所提自適應(yīng)控制策略的有效性.