劉 鵬 任一峰 張 亞吳常鋮

(1.中北大學電氣與控制工程學院,山西太原 030051;2.中北大學儀器科學與動態(tài)測試教育部重點實驗室,山西太原 030051;3.東南大學自動化學院,江蘇南京 210096;4.南京航空航天大學自動化學院,江蘇南京 211106)

1 引言

慣性導航系統(tǒng)(inertial navigation systems,INS)是一種利用慣性測量裝置來測得運載體的運動加速度和角速度,并經(jīng)過運算求出載體的位置和姿態(tài)的導航設備.這是一種自主式的導航系統(tǒng),不需要任何外界信息,只依靠自身的測量裝置.由加速度經(jīng)過積分運算得到速度與位置時,必須要用到初始速度和初始位置.為了避免平臺誤差引起加速度測量的誤差,需要對平臺進行指向?qū)?這個過程稱為INS的初始對準.初始對準是INS正常工作的重要條件[1],實質(zhì)上是確定慣性器件輸入軸與INS所采用的坐標系之間關系的過程.對于平臺式INS,在系統(tǒng)加電啟動后,其3個框架軸的指向是任意的,必須通過調(diào)整使得陀螺儀的敏感軸對準慣性導航坐標系,以便為加速度計的測量提供基準.對準中常提到的兩個重要指標是對準精度和對準速度.其中,對準精度直接影響導航的性能,而對準時間的長短也是評價相關性能的一個重要指標.為了在初始階段使INS達到較高的對準精度和對準速度,需要在建立準確的INS誤差模型的同時,對誤差因素進行分析,從而減小或消除誤差.從控制理論的觀點看,初始對準的主要困難在于INS的誤差方程是不完全可觀測的.文獻[2]指出利用矩陣論方法對INS初始對準誤差動態(tài)方程進行可觀測性分析時,適時地選擇狀態(tài)變量以及劃分狀態(tài)空間來確定可觀測的狀態(tài)分量,可以提高初始對準的有效性,合理解決對準時間與對準精度之間的矛盾.INS的誤差模型是一種時變系統(tǒng),可以借助線性系統(tǒng)理論的已有結(jié)論[3],來對這種系統(tǒng)的可觀測性進行分析.研究可觀測性的原因在于系統(tǒng)的可觀測性(可檢測性)條件是Luenberger觀測器或Kalman濾波器運行的前提[4].當模型中的角度誤差變化不大時,可以把靜基座時的誤差系統(tǒng)模型看作是線性時不變的,這時利用卡爾曼濾波技術(shù)能夠?qū)捎^測的系統(tǒng)狀態(tài)給出最優(yōu)的估計[5].但對于動基座時的誤差模型,一般視其為時變系統(tǒng),為了簡化對時變系統(tǒng)的分析,Goshen-Meskin等人在文獻[6]中系統(tǒng)性地研究了分段定常系統(tǒng)的可觀測性,進而利用這種分段定常的方法來研究動基座時INS的可觀測性[7],文章指出載體的機動性可以增強系統(tǒng)的可觀性.Jiang Y.F.等人在文獻[8]中利用狀態(tài)方程解耦法來分析平臺式INS的可觀測性.對于捷聯(lián)慣性系統(tǒng)對準時的可觀測性問題,文獻[9]給出其非線性時的結(jié)論.近年來,由于衛(wèi)星導航系統(tǒng)的出現(xiàn),多位學者[10-13]對全球定位系統(tǒng)(global positioning system,GPS)和INS組合系統(tǒng)的可觀測性進行了分析.Rhee對時變系統(tǒng)的可觀測進一步劃分為:完全可觀測,區(qū)別可觀測和瞬時可觀測.利用時變系統(tǒng)的可觀測性矩陣來分析此系統(tǒng)的可觀測性[10].Hong S.等人進一步指出改變載體的加速度可以增強姿態(tài)和陀螺偏差的估計,角速率的改變則改進了杠桿臂的估計[11].Ma Y.H.等人利用解耦法將18-維的INS/GPS的組合系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為3個6-維的子系統(tǒng)來分析其可觀測性[12].針對INS的可觀測性問題,亦可利用運動學模型來研究,具體參考文獻[14-18].Batista等人利用時變系統(tǒng)的Gramian矩陣和Lyapunov變換矩陣給出4種動態(tài)模型的可觀測結(jié)論和相應判據(jù)[14].文獻[15]分析了具有單個距離輔助導航系統(tǒng)的可觀測性.對于INS,有時僅關心部分狀態(tài)的信息,文獻[16]分析了此時的可觀測性并給出相應的濾波器.文獻[17]對長基線導航系統(tǒng)的可觀測性進行了分析,同時設計了具有全局指數(shù)穩(wěn)定的濾波器.基于Gramian矩陣對系統(tǒng)進行可觀測性分析的方法亦可以進行傳感器布控[19].信息理論也可以用來對INS進行可觀測性分析[20].

INS的誤差方程在靜基座和動基座時,由于矩陣的部分元素含有緯度參數(shù),所以此時可以認為系統(tǒng)矩陣具有微小變化,進而將系統(tǒng)矩陣的元素看作是具有結(jié)構(gòu)的量:零或者非零元素.這樣,可以利用結(jié)構(gòu)可觀測的判斷方法來分析INS的可觀性與可觀測狀態(tài).系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)可觀測性與結(jié)構(gòu)可控性之間是對偶的關系.結(jié)構(gòu)可控性及其圖論特征最早由Lin[21]在1974年提出,接著Shields等[22]將其推廣到多輸入系統(tǒng).具體分析方法和結(jié)論,參考近期的綜述文獻[23].對于復雜網(wǎng)絡系統(tǒng),通常研究者關心的是節(jié)點之間存在的鏈接數(shù)目,而對具體的權(quán)值大小不予關心,故而可以利用結(jié)構(gòu)化方法來分析復雜網(wǎng)絡的可觀測性[24].此外,文獻[25]利用圖的觀點來分析僅具有方位角時的協(xié)同定位問題的可觀測性.

本文結(jié)合近期的成果[25,28],利用圖論的方法來重新分析INS的可觀測性,其貢獻主要有2點:首先,給出靜基座時慣性導航系統(tǒng)可觀測的二分圖判斷方法,通過對二分圖中最大匹配的不可匹配點的分析,可以得到與文獻[2,7]中相同的結(jié)果,利用圖論進行分析,避免了大量的數(shù)值計算,分析過程簡單明了.其次,基于分段定常系統(tǒng)的分析法,建立其在結(jié)構(gòu)化意義下的動態(tài)圖表示框架,給出動基座時INS的可觀測性判斷和可觀測狀態(tài)確定的動態(tài)圖和廣義二分圖方法,得出動基座時系統(tǒng)仍為不可觀測的結(jié)論.

文章的組織結(jié)構(gòu)如下:第2部分,首先建立方陣與其圖論的表示方式,其次對文章中要用到的相關定義和結(jié)論以引理的形式給出.第3部分,分別給出靜基座和動基座時的慣性導航系統(tǒng)的狀態(tài)方程,針對不同的情形,用二分圖的匹配和動態(tài)圖的Menger-type linking給出系統(tǒng)可觀測性的圖論判定和可觀測狀態(tài)的確定方法,并給出相應的分析結(jié)果.最后,給出本文的總結(jié),指出該方法可以進一步來分析組合導航系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)可觀測性和可觀測狀態(tài).

2 準備知識

這一部分給出方陣和系統(tǒng)的圖論表示,以及文章中要用的一些圖論知識和系統(tǒng)結(jié)構(gòu)可觀測的圖論判據(jù).

2.1 矩陣與圖

矩陣A∈Rn×n稱為結(jié)構(gòu)矩陣是指其的元素或者為零或者為不確定的非零元素[21].對于結(jié)構(gòu)化矩陣規(guī)定其運算如下:A1+A2=A,其中結(jié)構(gòu)化矩陣A的不確定元素為aij當且僅當A1的元素或A2的元素為不確定元素.為了利用結(jié)構(gòu)化理論,這里給出系統(tǒng)圖G的表示形式.一般來說,系統(tǒng)圖是一個有向圖,有時亦稱為流圖.給定矩陣A,其不同的行與列分別對應不同的狀態(tài),如果A中的元素aij0,則存在從狀態(tài)xj到狀態(tài)xi的有向邊(xj,xi).如果輸出矩陣C∈Rm×n的元素ci,j0,則存在從狀態(tài)xj到輸出(傳感器)yi的有向邊.即系統(tǒng)有向圖G可以表示為GA,C=(V,E),其中:

如果對于系統(tǒng)的任意狀態(tài)節(jié)點(矩陣A對應的節(jié)點)都存在一條以某個輸出(矩陣C對應的節(jié)點)為終點,且以這個狀態(tài)為起點的有向通路,則說該系統(tǒng)為輸出可達的.設V1和V2為互不相交的兩個頂點集合,自集合V1到集合V2的有向邊集為

則稱B(V1,V2,EV1,V2)為一個二分圖.如果存在自集合V1中t個不同頂點到集合V2中t個不同頂點的t條不同有向邊,則稱這t條有向邊構(gòu)成的集合為二分圖B(V1,V2,EV1,V2)的一個t-匹配,相應于此匹配的左或右節(jié)點稱為左或右匹配節(jié)點.自集合V1到集合V2的所有不同有向邊構(gòu)成一個最大的邊集合,稱該集合為二分圖B(V1,V2,EV1,V2)的最大匹配.系統(tǒng)圖GA,C的二分圖記為BG(A,C),其左邊頂點集為VA,右邊頂點集為VA∪VC,邊集為矩陣A和C中的非零元素表示的有向邊.

為了方便理解,這里針對上述系統(tǒng)圖及其對應的二分圖給出一個例子來進行說明.

例1考慮線性結(jié)構(gòu)化系統(tǒng)

其中系統(tǒng)矩陣A∈R3×3和觀測矩陣C∈R1×3分別具有下述形式:

其系統(tǒng)圖和對應的二分圖如圖1所示,這里圓形節(jié)點表示狀態(tài)節(jié)點(其中節(jié)點1,2,3分別表示狀態(tài)分量x1,x2,x3),三角形節(jié)點表示輸出節(jié)點(一般指傳感器).圖1的左邊是這個系統(tǒng)對應的系統(tǒng)圖,所有的狀態(tài)節(jié)點都可以到達輸出節(jié)點,故這個系統(tǒng)是輸出可達的.圖1的右邊是相應系統(tǒng)圖的二分圖,其中自左邊節(jié)點到右邊節(jié)點集的任意一條有向邊,如(x1,x3),稱為這個二分圖的1-匹配.任意兩條有向邊,如(x1,x3),(x2,x1),稱為這個二分圖的一個2-匹配.顯然這個圖中存在兩個最大匹配:(x1,x3),(x2,x1),(x3,x2)和(x1,y1),(x2,x1),(x3,x2).這里可以看出,給定一個二分圖,其對應的最大匹配是不唯一的,但其最大匹配所含有的邊數(shù)是唯一的.

圖1 系統(tǒng)圖及其二分圖Fig.1 System graph and its bipartite graph

2.2 相關引理

對于一般線性連續(xù)時不變系統(tǒng)這里給出其在結(jié)構(gòu)化意義下的可觀測性判據(jù),并給出連續(xù)時變系統(tǒng)的分段定常處理方法和可觀測性判據(jù).

考慮結(jié)構(gòu)化意義下的線性連續(xù)時不變系統(tǒng):

其中A∈Rn×n和C∈Rm×n為系統(tǒng)矩陣和輸出矩陣.下面給出其結(jié)構(gòu)可觀測的定義.

定義1[21-22]如果存在與矩陣對(A C)具有相同結(jié)構(gòu)1一般地,稱相同維數(shù)的矩陣對(A C)和( )具有相同的結(jié)構(gòu)是指,如果矩陣(A C)的每一個固定(零)元素,矩陣( )的相應元素也是固定的(零),同時,對于矩陣( )的每一個固定(零)元素,矩陣(A C)的相應元素也是固定的(零).的完全可觀測矩陣對(A0C0),則稱矩陣對(A C)為結(jié)構(gòu)可觀測的.

注1上述定義亦可表述為[26]:如果??>0,存在與(A C)具有相同結(jié)構(gòu)的完全可觀測對(A1C1)使得‖A1?A‖

為了下面表述的方便,這里給出網(wǎng)絡流中的兩個概念,第1個概念是針對一般的有向圖,第2個概念是對線性時不變系統(tǒng)來說的.

定義2(Menger-type linking[27])給定一個有向圖,從頂點集合X到頂點集合Y 的頂點不交的有向路徑稱為自集合X到集合Y 的Menger-type linking,有向路徑的數(shù)目稱為鏈接的尺寸.

定義3[27-28]給定結(jié)構(gòu)化線性連續(xù)時不變系統(tǒng)(1),稱為系統(tǒng)(1)的時間跨度n的動態(tài)圖,其中:

下面用一個例子來說明,給定結(jié)構(gòu)化線性時不變系統(tǒng)后,如何繪制其動態(tài)圖.

例2考慮例1中的結(jié)構(gòu)化線性時不變系統(tǒng).這里畫出該系統(tǒng)對應的時間跨度3的動態(tài)圖.圖2中,X0為最左邊的3個狀態(tài)節(jié)點,X1=為第2列的3個狀態(tài)節(jié)點,為最下面的2個輸出節(jié)點,從X0到的Menger-type linking為著色有向路徑和顯然,在這個動態(tài)圖中,不存在其它鏈接為3的有向路徑.一般地,稱這個自X0到的Menger-type linking為最大鏈接.

圖2 例1的系統(tǒng)對應的動態(tài)圖Fig.2 The dynamic graph associated with the system in example 1

下面的這個引理是系統(tǒng)結(jié)構(gòu)可觀測的圖論判據(jù).

引理1[22,24,27]設A和C分別是n×n和m×n的結(jié)構(gòu)矩陣,以下命題是等價的:

1)系統(tǒng)(1)是結(jié)構(gòu)可觀測的;

2)i)GA,C是輸出可達的;ii)二分圖BG(A C)中存在一個n-匹配;

引理2[29]令A是有向圖G的鄰接矩陣(aij∈{0,1}),在矩陣Ar中,元素等于從頂點i到頂點j,含弧數(shù)為r條的相異有向鏈數(shù).

引理3(Linkage lemma[27]) 設G=(X ∪U∪Y,A;X,Y)是一個具有入X和出Y 的有向圖,BG=(X?∪U?,Y?∪U?;)為相應的二分圖.那么,在G中存在一個自X到Y(jié) 的Menger-type complete linking當且僅當BG中存在一個完美匹配.

注2引理3中的入X是指頂點集合X中的節(jié)點只有出邊,沒有入邊;相應的出Y 中的節(jié)點只有入邊,沒有出邊.完美匹配是指,二分圖中要么左邊節(jié)點都為匹配的始點,要么右邊節(jié)點都為匹配的終點.

對于線性時變系統(tǒng),工程應用中可以將其視作不同階段的線性時不變系統(tǒng)來處理.故而,這里給出分段線性定常系統(tǒng)(piece-wise constant system,PWCS)的一般結(jié)論.考慮下述PWCS[6]:

其中:Aj∈Rn×n,j=1,2,···,r,表示第j階段的系統(tǒng)矩陣,C∈Rm×n表示不同階段具有相同的輸出矩陣.對YYY(t)進行求導數(shù)運算[1,6],并將這些向量堆積在一起可以得到

其中:t1為初始時刻,YYY(r)是包含全部觀測向量及其逐次微分(直到n?1次)的總向量.矩陣Q(r)為

這里,?j(j=1,2,···,r)為時間tj到tj+1的間隔,

為連續(xù)系統(tǒng)在第j時間段的可觀測性矩陣.定義Qs(r)為連續(xù)PWCS的截取可觀測性矩陣(stripped observability matrix,SOM):Qs(r)=

下面作為引理,給出連續(xù)PWCS的一個主要結(jié)論:

引理4[6]如果null(Qj)?null(Aj),1 ≥j ≥r,那么null(Q(r))=null(Qs(r)),rank(Q(r))=rank(Qs(r)).

上述引理中符號null(·)表示矩陣“·”的零空間,符號rank(·)表示矩陣“·”的秩.這個引理說明,在適當條件下,可以利用截取可觀測性矩陣Qs(r)代替矩陣Q(r)來研究連續(xù)PWCS的可觀測性.這樣可以簡化問題論述.

3 主要結(jié)果

這一部分研究兩個問題:第1個問題是靜基座下INS的可觀測性分析和可觀測狀態(tài)的確定,利用的圖論中的二分圖匹配理論.第2個問題是動基座下INS的可觀測性分析和可觀測狀態(tài)的確定,利用時變系統(tǒng)的分段線性定常分析方法和Menger-type linking知識,給出時變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)可觀測的圖論判據(jù),進一步給出廣義二分圖來分析動基座下慣性導航系統(tǒng)的可觀測性.

3.1 靜基座INS的可觀測性

靜基座INS初始對準的動態(tài)誤差方程可寫為[2]

δv1,δv2是速度誤差沿東、北方向的投影;?1,?2,?3是平臺誤差角沿東、北、天3個軸的投影;?1和?2是加速度計沿東、北向的零偏;ε1,ε2,ε3是陀螺沿東、北、天3個方向的漂移;參數(shù)ω是地球自轉(zhuǎn)角速度;φ是當?shù)鼐暥?

取慣性導航系統(tǒng)的水平輸出速度誤差作為觀測值,即Zj=δvj+ωj,j=1,2,式中ωj表示白噪聲.將上式寫成矩陣形式如下:

通常情況下,對于給定的緯度參數(shù),視系統(tǒng)方程(4)和(5)為時不變系統(tǒng),此時可利用線性系統(tǒng)的理論來分析系統(tǒng)的可觀測性.文獻[1-2,7]在確定可觀測狀態(tài)時,取特殊的緯度值來分析.本文根據(jù)緯度參數(shù)的不同取值所引起的系統(tǒng)矩陣A中的元素為零與否進行分析.當緯度參數(shù)取值使得系統(tǒng)矩陣A中的某個元素為零時,系統(tǒng)圖中該元素對應的邊不存在;當緯度參數(shù)取值使得系統(tǒng)矩陣A中的某個元素為非零時,系統(tǒng)圖中該元素對應一條有向邊.進而通過用圖論分析系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)可觀測性的方法來分析靜基座INS的可觀測性,并確定可觀測狀態(tài).

靜基座INS(4)和(5)對應的系統(tǒng)圖為圖3,其中圓形節(jié)點表示狀態(tài)節(jié)點,三角形節(jié)點表示輸出(傳感器)節(jié)點.

圖3 靜基座慣導系統(tǒng)的系統(tǒng)圖Fig.3 System graph associated with the inertial navigation system under the stationary base

這個系統(tǒng)對應的二分圖如圖4所示.

圖4 靜基座慣導系統(tǒng)的系統(tǒng)二分圖Fig.4 System bipartite graph associated with the inertial navigation system under the stationary base

圖4中左邊節(jié)點為有序狀態(tài)節(jié)點,節(jié)點順序與狀態(tài)向量順序一致.右邊節(jié)點由復制狀態(tài)節(jié)點和輸出節(jié)點構(gòu)成.左、右節(jié)點之間的匹配對應系統(tǒng)圖中的有向邊.

定理1靜基座下慣性導航系統(tǒng)(4)和(5)是不完全可觀;其可觀測的狀態(tài)數(shù)目等于系統(tǒng)圖對應二分圖中的最大匹配的數(shù)目;相應的可觀測狀態(tài)為系統(tǒng)二分圖中對應最大匹配的左匹配節(jié)點.

證利用結(jié)構(gòu)化理論來分析系統(tǒng)(4)和(5)的結(jié)構(gòu)可觀測性.定義=PC,其中P=diag{α1,α2},α1和α2為不確定的非零元素.因為?α1,α20,等式

成立,所以上式左邊矩陣與右邊矩陣具有相同的秩.故,矩陣對(A C)和(A)具有相同的可觀測性.將矩陣對(A)中的元素視為結(jié)構(gòu)化元素,此時可以把數(shù)值意義下的可觀測性轉(zhuǎn)換為結(jié)構(gòu)意義下的結(jié)構(gòu)可觀測性.由靜基座慣性導航系統(tǒng)的系統(tǒng)圖3可知,所有的狀態(tài)節(jié)點都是輸出可達的,故引理1的輸出可達條件2)中i)成立.從圖4中直接可以得出,最大匹配的數(shù)目為7,同時這個二分圖的最大匹配并不唯一,故引理1的滿類秩條件2)中ii)不成立.所以系統(tǒng)(A)不是結(jié)構(gòu)可觀的.由定義1可知,若系統(tǒng)(A)為結(jié)構(gòu)不可觀測的,則系統(tǒng)(A C)即為不可觀測的.進一步,由文獻[24]可知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)可觀測的狀態(tài)數(shù)目相應于系統(tǒng)二分圖的左匹配節(jié)點數(shù)目.故,系統(tǒng)(4)和(5)不是完全可觀測的,可觀測的狀態(tài)數(shù)目最大為7.又因為二分圖的最大匹配一般不具有唯一性.所以,具體的這7個狀態(tài)并不唯一. 證畢.

上述定理1不僅回答了靜基座慣性導航系統(tǒng)是否可觀測的問題,并且給出了可觀測狀態(tài)的數(shù)目.下面作為例子,對靜基座INS進一步確定哪些狀態(tài)是可觀測的,哪些狀態(tài)是不可觀測的.

例3靜基座INS可觀測狀態(tài)確定.對于慣性導航系統(tǒng)(4)和(5),其系統(tǒng)圖3對應的二分圖為圖4,這個二分圖中,左邊節(jié)點1,2,···,10分別對應系統(tǒng)狀態(tài)X的分量δv1,δv2,···,ε3.右邊節(jié)點由觀測節(jié)點和復制左邊狀態(tài)節(jié)點得到.由定理1可知,靜基座慣性導航系統(tǒng)的最大可觀測狀態(tài)數(shù)目為7,相應于二分圖4中最大匹配的左匹配節(jié)點.而這個二分圖的最大匹配并不唯一,所以可觀測的狀態(tài)也不唯一.下面分析去掉3個狀態(tài)時,二分圖4中的最大匹配情形.為了簡單起見,用數(shù)字代替原來系統(tǒng)中的狀態(tài)分量.去掉{6,7,8},相應的最大匹配數(shù)為7,最大匹配為(9,4),(4,1),(1,y1),(10,5),(5,3),(3,2),(2,y2),此時可觀測狀態(tài)為δv1,δv2,?1,?2,?3,ε2,ε3;去掉{6,8,9},相應的最大匹配數(shù)為7,最大匹配為(7,2),(2,y2),(10,5),(5,3),(3,4),(4,1),(1,y1),此時可觀測狀態(tài)為δv1,δv2,?1,?2,?3,?2,ε3;去掉{6,8,10},相應的最大匹配數(shù)為7,最大匹配為(9,4),(4,1),(1,y1),(5,3),(3,5),(7,2),(2,y2)或者(5,3),(3,5),(9,4),(6,1),(1,y1),(7,2),(2,y2),此時可觀測狀態(tài)為δv1,δv2,?1,?2,?3,?2,ε2或者δv1,δv2,?1,?3,?1,?2,ε2.去掉{5,6,7},相應的最大匹配數(shù)為6,最大匹配為(9,4),(4,1),(1,y1),(8,3),(3,2),(2,y2);去掉{5,6,9},相應的最大匹配數(shù)為6,最大匹配為(8,3),(3,4),(4,1),(1,y1),(7,2),(2,y2);去掉{5,6,10},相應的最大匹配數(shù)為6,最大匹配為(9,4),(4,1),(1,y1),(8,3),(3,2),(2,y2)或者(8,3),(3,4),(4,1),(1,y1),(7,2),(2,y2);去掉{4,7,8}或者{4,8,9},相應的最大匹配數(shù)為6,最大匹配為(6,1),(1,y1),(10,5),(5,3),(3,2),(2,y2);去掉{4,8,10},相應的最大匹配數(shù)為6,最大匹配為(6,1),(1,y1),(3,5),(5,3),(7,2),(2,y2).去掉{4,5,7},{4,5,9}或者{4,5,10}相應的最大匹配數(shù)為5,最大匹配為(6,1),(1,y1),(8,3),(3,2),(2,y2).當φ=時,相應的最大匹配數(shù)為6,最大匹配為(9,4),(4,1),(1,y1),(8,3),(3,2),(2,y2)或 者(6,1),(1,y1),(9,4),(4,3),(3,2),(2,y2).此時系統(tǒng)只有6個可觀測的狀態(tài)分量,分別為δv1,δv2,?1,?2,ε1,ε2或者δv1,δv2,?1,?2,?1,ε2.

從這個例子可以看出,利用圖論來研究INS的可觀測性和可觀測狀態(tài),可以得到與文獻[2,7]中利用Cramer’s法則研究可觀測度和奇異值判斷可觀測性相同的結(jié)論.

3.2 動基座INS的可觀測性

這一小節(jié)討論平臺式INS在動基座下的可觀測性和可觀測狀態(tài)的確定.為了與靜基座時INS的誤差模型相統(tǒng)一,這里使用相同的參數(shù)變量.在東-北-天坐標系下,刪除位置誤差狀態(tài)變量及垂直通道的誤差狀態(tài)變量,假定加速度計誤差為常值偏置,陀螺儀誤差為常值漂移,并將?1,?2及ε1,ε2,ε3擴充為狀態(tài)變量,則平臺式INS在動基座下的對準誤差模型可以表示為[1,6]

這里XXX=[δv1δv2?1?2?3?1?2ε1ε2ε3]T為狀態(tài)變量,系統(tǒng)矩陣

為時變的,其中0,I為適當維數(shù)的零矩陣和單位矩陣;塊矩陣和分別為

的形式,其中fE,fN,fD分別是平臺式慣導系統(tǒng)加速度計敏感到的比力在東向、北向、天向的分量,它們隨時間變化.

為了研究動基座INS的可觀測性,與文獻[1]和文獻[7]一樣,假設對準過程中基座的運動方式為線運動,其可分為5個定常的時間段,具體分法見例4.在第j個時間段,INS誤差方程可表示為

其中:矩陣Aj中除了塊矩陣F(t)外,其它塊矩陣都相同.記不同階段的F(t)為

在基座的機動過程中,所有時間段都采用相同的測量分量,因此測量矩陣在整個對準過程中是不變的,仍然為方程(5).每個時間段中系統(tǒng)矩陣A都含有緯度參數(shù),與靜基座時INS情形相同,此處亦可利用圖論來避免數(shù)值分析時具體的緯度值.為了給出連續(xù)PWCS的可觀測性的圖論特征,本文對一般的線性時不變系統(tǒng)(1)的動態(tài)圖進行擴展.

定義4定義線性連續(xù)分段定常結(jié)構(gòu)系統(tǒng)(2)的時間跨度n的動態(tài)圖為

其中:k=1,2,···,r表示不同的階段,

下面這個引理給出分段線性定常系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣為結(jié)構(gòu)化矩陣時,系統(tǒng)結(jié)構(gòu)可觀的圖論條件.

引理5假設具有r階段的線性連續(xù)分段定常系統(tǒng)(2)滿足null(Qj)?null(Aj),1 ≥j ≥r,當系統(tǒng)矩陣為結(jié)構(gòu)化矩陣時,這個系統(tǒng)為結(jié)構(gòu)可觀測的充分必要條件是動態(tài)圖G0:n中存在一個自到的n-Menger-type linking.

證必要性.因為線性連續(xù)分段定常系統(tǒng)(2)滿足null(Qj)?null(Aj),1≥j ≥r,所以根據(jù)引理4可知:null(Q(r))=null(Qs(r)), rank(Q(r))=rank(Qs(r))成立[1].當系統(tǒng)矩陣為結(jié)構(gòu)化矩陣時,如果存在一組參數(shù)使得矩陣Qs(r)為列滿秩的,根據(jù)定義1可知,這個分段定常系統(tǒng)為結(jié)構(gòu)可觀測的.根據(jù)引理2和結(jié)構(gòu)化矩陣的運算可知,任意結(jié)構(gòu)矩陣Ak中的非零元素對應于矩陣A的有向圖存在自狀態(tài)節(jié)點xj到狀態(tài)節(jié)點xi的長度為k的鏈接.這里,用歸納法進行說明.當k=1時,由鄰接矩陣的定義可知,結(jié)論顯然成立.假設k=l時,上述結(jié)論成立,下面說明k=l+1時亦成立.由矩陣的乘法可知,Al+1的非零元素可以表示為矩陣A的第i行元素與矩陣Al的第j列元素乘積之和,即若,則至少存在某個h使得,即有0和.因而從狀態(tài)xj到xh存在長度為l的鏈接,從狀態(tài)xh到xi存在一條邊.因此,存在自狀態(tài)節(jié)點xj到狀態(tài)節(jié)點xi的長度為l+1的鏈接.同理可以證明,矩陣CAl中的非零元素dij表示自狀態(tài)節(jié)點xj到輸出節(jié)點yi的長度為l+1的鏈接.當線性連續(xù)分段定常系統(tǒng)(2)為結(jié)構(gòu)可觀測時,矩陣Qs(r)中一定存在n個不同行不同列的元素為非零.根據(jù)上述原因可知,這n個非零元素等價于動態(tài)圖G0:n中存在一個自到的鏈接數(shù)為n的Menger-type linking.即在結(jié)構(gòu)化意義下,這個系統(tǒng)為結(jié)構(gòu)可觀測時,G0:n存在一個自到的n-Mengertype linking.

充分性.如果動態(tài)圖G0:n中存在一個自到的鏈接數(shù)為n的Menger-type linking,則由文獻[23]和引理3可知,此時廣義二分圖中最大匹配的數(shù)目為n.即存在一組參數(shù)使得矩陣Qs(r)為列滿秩的,由結(jié)構(gòu)可觀測性的定義可知,這個分段定常系統(tǒng)為結(jié)構(gòu)可觀測的. 證畢.

為了進一步分析的需要,這里引入一個廣義二分圖.其由不同階段的二分圖組成,這個廣義二分圖的最大匹配為不同階段二分圖匹配的并集(不同階段具有相同的左右頂點的匹配為同一匹配).下面給出動基座時的主要結(jié)論:

定理2動基座下慣性導航系統(tǒng)(5)和(6)是不完全可觀測的;其可觀測的狀態(tài)的最大數(shù)目等于動態(tài)圖G0:10中自初始階段的狀態(tài)頂點到所有輸出節(jié)點的最大Menger-type linking數(shù)目;相應的可觀測狀態(tài)為動態(tài)圖中最大Menger-type linking含有的初始狀態(tài).

證動基座下慣性導航系統(tǒng)滿足引理4中的條件,所以可以通過研究PWCS的可觀測性來得到原來線性時變系統(tǒng)的可觀測性.由引理2可知,結(jié)構(gòu)矩陣Qs(r)的非零元素相應于系統(tǒng)圖中的鏈接,從而可以用動態(tài)圖來刻畫.根據(jù)引理5可知,若動態(tài)圖G0:10中最大Menger-type linking的數(shù)目為10時,慣性導航系統(tǒng)為結(jié)構(gòu)可觀測;并由其證明過程知,其可觀測的狀態(tài)的最大數(shù)目等于動態(tài)圖G0:10中自初始階段的狀態(tài)頂點到所有輸出節(jié)點的最大Menger-type linking數(shù)目.但易知G0:10中最大Menger-type linking的數(shù)目小于10.事實上,通過對廣義二分圖的分析,容易得到其Menger-type linking的數(shù)目為9,也就是說在動基座條件下,慣性導航系統(tǒng)的可觀測狀態(tài)數(shù)目最大為9,故慣性導航系統(tǒng)不是結(jié)構(gòu)可觀測的,根據(jù)定義1可知,這個系統(tǒng)亦不是完全可觀測的.又由PWCS理論可知,相應的可觀測狀態(tài)可以由動態(tài)圖G0:10中最大Menger-type linking含有的初始狀態(tài)來得到. 證畢.

注3定理2在動基座下的可觀測性分析結(jié)果與文獻[9,30-31]中的結(jié)論不同.該文是針對未考慮GPS裝置輔助作用時的平臺式慣性導航系統(tǒng)模型進行分析的,文獻[9,31]考慮的是捷聯(lián)式慣性導航系統(tǒng)模型,故不同模型下可觀測性的分析結(jié)果不同.另外,文獻[10,30]引入的GPS裝置可以提供額外的位置信息,從狀態(tài)方程和測量方程的表達角度來討論,引入GPS裝置可以增強系統(tǒng)的可觀測性.

上述定理利用動態(tài)圖的Menger-type linking得到動基座慣性導航系統(tǒng)是不可觀測的.對于低階或分段數(shù)較少時,繪制和分析動態(tài)圖相對容易,但當分段數(shù)和系統(tǒng)維數(shù)較高時,利用動態(tài)圖分析相對困難.下面,利用廣義二分圖來具體分析動基座慣性導航系統(tǒng)在不同階段的可觀測性與可觀測狀態(tài).

例4動基座INS可觀測狀態(tài)確定.動基座對準過程中,水平機動能力能夠用分段定常水平加速度來代替.可以驗證機動過程的存在能夠明顯的影響慣導系統(tǒng)的可觀測程度.一般用PWCS來分析動基座平臺式慣導系統(tǒng).分段情況分別為:1)勻速直線運動(fE=fN=0,fD=g);2)具有北向加速度的直線運動(fE=0,fN0,fD=g);3)具有東向加速度的直線運動(fE0,fN=0,fD=g);4)具有水平加速度的直線運動(fE0,fN0,fD=g);5)上、下加速運動(fE=fN=0,fD0).

由于分析方法相似,這里僅對前兩個階段給出圖形和分析過程,后面階段可以仿照于此利用廣義二分圖給出相應結(jié)論.對于具有北向加速度的直線運動時的情形,其系統(tǒng)圖為圖5,在原來圖3的基礎上增加一條自節(jié)點5到節(jié)點1的有向邊.這個圖對應的二分圖為圖6,這個二分圖中,左邊節(jié)點1,2,···,10分別對應系統(tǒng)狀態(tài)X的分量δv1,δv2,···,ε3.右邊的圓形節(jié)點是對左邊節(jié)點的復制,三角節(jié)點表示測量傳感器.

圖5 具有北向加速度的平直運動的系統(tǒng)圖Fig.5 System graph associated with the straight line motion under the north acceleration

圖6 勻速和具有北向加速度的平直運動的廣義二分圖Fig.6 Generalized bipartite graph associated with the straight line motion under the uniform velocity and north acceleration

因為此二分圖的右邊匹配節(jié)點最多為7,可知最大匹配數(shù)為7,除了階段1(靜基座)的3個最大匹配外,還存在最大匹配(10,5),(5,1),(1,y1),(9,4),(4,3),(3,2),(2,y2),其相應的不可觀測狀態(tài)為{6,7,8}.對于具有東向加速度的直線運動時的情形,除了階段1(靜基座)的3個最大匹配外,還存在最大匹配(10,5),(5,2),(2,y2),(8,3),(3,4),(4,1),(1,y1),其相應的不可觀測狀態(tài)為{6,7,9}.其它2個階段可以仿照上述分析方法得到相應的最大匹配.由上述最大匹配可知,無論從哪一階段開始,此時的最大可觀測狀態(tài)數(shù)都為7,基座通過運動可以增加可觀測的狀態(tài),但是無論上述5個階段怎樣運動,慣性導航系統(tǒng)都不是完全可觀測的.

4 結(jié)論

文中利用組合圖論中二分圖的匹配理論和Mengertype linking知識建立了平臺式慣性導航系統(tǒng)的可觀測性分析以及可觀測狀態(tài)確定的基本框架.針對靜基座和動基座的情況,分別給出其可觀測性的圖論特征以及可觀測狀態(tài)的確定過程.這里的方法是結(jié)構(gòu)化理論中常用到的,對于可以建模為線性系統(tǒng)的GPS/INS組合導航系統(tǒng)的可觀測性分析,也可以利用文中的方法來處理.作者將進一步利用圖論來研究組合導航系統(tǒng)和運動學模型時導航系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)可觀測性問題,關于具有強非線性的捷聯(lián)式慣性導航系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)可觀測性分析,需要對圖論描述法和非線性系統(tǒng)之間的關系深入研究后方能展開.