趙宇飛，張中哲，李 科，王燕波，程遠超

一種長懸臂梁結構動力學建模方法

趙宇飛，張中哲，李 科，王燕波，程遠超

（北京精密機電控制設備研究所，北京，100076）

為了有效抑制長懸臂梁結構在受到固定端持續(xù)傳來的周期性振動時在遠端連接處產生的疲勞破壞，保護懸臂梁結構，需要對其遠端連接處保持的輔助支撐機構施加一定的主動抑振控制算法。為此提出懸臂梁結構動力學建模，為控制算法分析、參數(shù)設計和研究提供模型基礎。在對歐拉-伯努利梁振動模型和柔性基礎簡化模型的分析基礎上，根據(jù)固定端輸入的周期性振動信號推導出輔助支撐點處的含柔性基礎懸臂梁振動微分方程，并結合梁的結構推導出符合實際的結構動力學模型。通過計算仿真，獲得柔性基礎懸臂梁的動態(tài)響應并確認了模型的準確性。因此為長懸臂梁結構提供了一種有效的建模方案并對具有柔性基礎的機械臂的振動抑制具有一定的借鑒意義。

懸臂梁結構；柔性基礎；結構動力學建模；振動抑制

0 引 言

近年發(fā)展起來的大型空間機械臂系統(tǒng)在航空航天領域做出了卓越的貢獻。為了減少振動與定位誤差，應用于傳統(tǒng)工業(yè)的機械臂結構一般設計成高剛性結構，而在航空航天及精密機械領域，一類重量輕、能耗低、效率高、執(zhí)行速度快且結構緊湊的柔性機械臂逐漸取代了傳統(tǒng)高剛度結構，但抗彎剛度較低的機械臂將會在工作過程中不可避免地受到振動的影響[1]。這類振動問題一旦發(fā)生，僅僅依靠材料本身的阻尼很難自行衰減，會使系統(tǒng)損失定位精度、降低工作效率，嚴重時將會導致系統(tǒng)共振，大幅度縮短機械臂的壽命[2]。

在復雜的力學環(huán)境下，這類具有柔性基礎的機械臂構型可以簡化為多段連接而成的大型懸臂梁結構，由于結構存在柔性，受到梁的固定端傳來的周期性振動時極易在遠端連接處產生疲勞破環(huán)，使得這類大型懸臂梁結構產生慣性加速度過載而在遠離固定端的連接處產生振動變形，甚至造成梁結構的共振。為延長結構的疲勞壽命，需要在遠離懸臂梁固定端的末置位增加一個抱持機械臂，通過抑振控制算法實現(xiàn)懸臂梁結構前端交變載荷的減小。

本文將根據(jù)長懸臂梁結構的具體搭建方式與梁本身的實際結構進行模型抽象化，針對多段連接形成的外伸梁結構，采用簡支梁和懸臂梁疊加的建模方式，分別進行結構動力學的建模，并根據(jù)兩主掛點處輸入的振動激勵推導出傳遞至輔助支撐點處的振動激勵，并通過仿真驗證模型的準確性，為后期的抑振控制算法研究提供模型基礎。

1 柔性基礎懸臂梁振動模型建立

1.1 懸臂梁振動模型

懸臂梁在橫向發(fā)生彎曲振動時，假定梁各個截面的中性軸都保持在同一平面內，作用于梁上的外載荷亦然，當梁結構收到固定端傳來的振動時，彎曲變形成為梁的主要變形，當振動頻率較低時一般忽略剪切變形以及截面繞梁的中性軸轉動慣量的影響，這種梁模型稱為歐拉-伯努利梁[3]。為了簡化推導懸臂梁動力學模型，梁模型將采用歐拉-伯努利梁進行構建，懸臂梁彎曲變形示意如圖1所示。

圖1 懸臂梁彎曲變形示意

1.2 懸臂梁彎曲振動微分方程

取梁上任意微段d為研究對象，對其進行受力分析，根據(jù)力平衡方程得到：

根據(jù)力矩平衡方程得：

(d)2很小可忽略不計，式（2）可簡化為

將式（3）代入簡化后的力平衡方程，可得到：

由材料力學的平截面假設[4]得知，梁所受彎矩與撓度之間存在如下關系：

式中為材料的彈性模量；為梁截面對中性軸的慣性矩。

將式（5）代入簡化后的平衡方程中可得：

式（6）為根據(jù)歐拉-伯努利梁模型建立的懸臂梁彎曲振動微分方程。

1.3 懸臂梁的固有頻率及振型函數(shù)

對于上述推導所得微分方程，如果所受外力()與外力矩()均為零，此時梁作自由振動，則此時的振動微分方程為

即：

將式（9）代入簡化后的式（8）中，得：

由式（10）可以看出，取左右兩端等于同一常數(shù)2，則：

式（11）中第1個方程的通解為

由于式（11）中第2個方程是一個4階常系數(shù)齊次線性微分方程，其特征方程為

特征方程可簡化為含待定參數(shù)c的下式：

由此得到梁的主振動表達式為

梁一端固定，另一端自由的邊界條件[5]可以表示為

式（16）展開化簡得到：

懸臂梁的各階固有頻率為

將各個特征值代入方程后可確定各個系數(shù)的比值，故對應的振型函數(shù)為

2 梁結構動力學建模

一個長約米，總重量為的長懸臂梁結構由主體和頭端組成，結構主體和頭端在點剛性連接，頭端重M，質心在點處。結構整體通過相距L米的和兩個主掛點以懸掛的方式吊掛運輸，結構末端距離點為L米，以外伸梁的方式延伸到兩個掛載點之外。

靜止時，由于結構頭端段沒有輔助支撐，連接點和結構末端點較掛載點和延伸了較長的距離，在自然重力的重力下，延伸段的結構逐漸發(fā)生了彎曲形變，使得結構的點和點偏離理想水平軸線，使得結構表現(xiàn)出一定的柔性。同時在連接點處（頭體連接處）受到了彎曲作用將會產生一定的彎矩載荷。當結構在自然重力下正常下垂時，末端距離理想水平軸線的距離為。

完成理論準備后回歸結構建模，將長懸臂梁結構采用歐拉-伯努利梁進行建模，如圖2所示。

圖2 結構的建模

1—兩主掛點之間的距離；2—前掛點至產品頭體連接處的距離；3—產品頭體連接處至輔助支撐點的距離；L—產品頭體連接處至頭部質心的距離；L—產品頭體連接處至輔助支撐點的距離

和分別為兩個掛點，為結構頭體連接處，為段的質心，為輔助支撐點。將外伸梁模型分解成和兩段進行分析，并最后將結果進行疊加，最終得到結構的振動激勵和動力學模型。其中，段可以等效為2個固定支點的簡支梁，段可以等效為懸臂梁。

2.1 簡支梁AB的建模

將段簡化為簡支梁進行建模，建模中為梁結構水平方向，為垂直軸線豎直向上方向，并將簡支點作為坐標系原點，如圖3所示。

圖3 簡支梁模型

簡支梁的結構動力學模型可以表示為

2.2 懸臂梁BD的建模

將段結構采用歐拉-伯努利梁進行建模，為梁結構水平方向，為垂直軸線豎直向上方向，并將固支點作為坐標系原點，如圖4所示。

圖4 懸臂梁模型

在懸掛段的點加入輔助支撐機構后，結構將被分解為兩段：段和段。其中段較長可以使用懸臂梁模型進行等效；段較短，可以直接默認為剛體，并且由于段在輔助支撐點之后，且結構頭端的質心在輔助支撐點之前，因此建模時可忽略段，只考慮段的懸臂梁建模。

對于無限多自由度的連續(xù)系統(tǒng)的動態(tài)響應，利用振型疊加法可以將其轉化為無限個單自由度的模態(tài)相應的疊加，則段懸臂梁的微分動力學模型為

現(xiàn)在只考慮結構輔助支撐點的結構動力學，則點振型函數(shù)為

2.3 結構振型疊加

由上可得到由簡支梁和懸臂梁振形疊加后的結構輔助支撐點的第階模態(tài)的位移變形為

結構末端各階模態(tài)振型導致的位移變形的總和為

考慮簡支梁變形微小，可將位移影響看作是一個簡易杠桿，根據(jù)結構的尺寸數(shù)據(jù)可知，點的位移約為中點位移的2.81倍。為進一步確定振動輸入對點帶來的位移影響，在ANSYS中創(chuàng)建簡支梁模型，并在兩主掛點施加振動輸入。在兩主掛點施加振動輸入后如圖5所示。

圖5 時域波形

瞬態(tài)分析后得到中點的位移波形如圖6所示。

圖6 位移波形

對比圖5、圖6可以看出，簡支梁變形產生的撓角極其微小，因此在點產生的影響可以忽略不計，以下只對懸臂梁部分進行分析。

2.4 外力擾動下的結構動力學模型

考慮能量耗散時，長懸臂梁的結構動力學模型則可以化簡得到廣義坐標下的微分動力學方程：

所以受到的廣義力為

該振動將成為系統(tǒng)的激勵，所以結構受迫振動時的微分方程為

對式（33）進行拉普拉斯變換得到：

3 懸臂梁模型準確性驗證

根據(jù)前面推導可知懸臂梁的第1、2階振型函數(shù)為

參考其他類似結構后初步假設結構的系統(tǒng)阻尼比=0.2，則有：

則可推出前兩階傳遞函數(shù)為

對比一階和總輸入相應可知，總位移輸出主要由一階響應構成，在之后的分析和控制中，將使用一階的動力學模型作為主模型即可保證分析控制的準確性與實時性。

采用簡化的只考慮一階模態(tài)的動力學模型計算的點和點的位移比來和ANSYS中的全模態(tài)得到的兩點的位移比進行對比驗證，以驗證理論模型的準確性和簡化模型的有效性。

根據(jù)結構動力學和已知參數(shù)，將整個梁結構假設為只受到彎曲應力的懸臂梁，材料參數(shù)如表1所示。

表1 懸臂梁參數(shù)定義

Tab.1 Parameter Definition of Cantilever Beam

材料鋼材 密度/(kg·m-3)7850 楊氏模量/GPa2.06 結構半徑（等截面）/m0.2 泊松比0.31 阻尼系數(shù)0.2

點的微分動力學模型為

則輔助支撐點的振型函數(shù)為

在外力擾動下，簡化的結構動力學模型得：

將點和結構參數(shù)代入得（僅考慮一階）：

（52）

將L代入得到：

則，理論上點與點的一階相對位移比為1.887。

進行模態(tài)分析得到懸臂梁的前兩階固有頻率分別為10.571和65.209，可見固有頻率與理論推導所得結果相符合。

4 結 論

本文建立了一種多點支撐的長懸臂梁結構的動力學模型。首先介紹了歐拉-伯努利梁的概念，以其為理論基礎分析了懸臂梁的振動特性，并建立了柔性基礎懸臂梁的振動微分方程。然后根據(jù)懸臂梁的安裝情況和實際結構進行結構動力學建模，并研究了該結構在外部振動激勵情況下的動力學模型；隨后推導出柔性基礎模型的傳遞函數(shù)，結合懸臂梁振動模型推導出在外力擾動下的懸臂梁結構動力學模型，最后通過計算仿真，獲得柔性基礎懸臂梁的動態(tài)響應，并以此驗證了所建立模型的準確性。

[1] 王達. 大型空間機械臂關節(jié)及其抑振控制研究[D]. 哈爾濱: 哈爾濱工業(yè)大學, 2012.

Wang Da. Research on a large space manipulator joint and its vibration suppression control[D]. Harbin: Harbin Institute of Technology, 2012.

[2] 于登云, 孫京. 空間機械臂技術及發(fā)展建議[J]. 航天器工程, 2007, 16(4): 1-8.

Yu Dengyun, Sun Jing. Suggestion on development of chinese space manipulator technology[J]. Spacecraft Engineering, 2007,16(4): 1-8.

[3] 翟兆陽. 柔性基礎懸臂梁振動主動控制[D]. 西安: 西安理工大學, 2010.

Zhai Zhaoyang. Active vibration control of a cantilever beam on elastic base[D]. Xi’an: Xi’an University of Technology, 2010.

[4] 白象忠. 材料力學[M]. 北京: 科學出版社, 2007.

Bai Xiangzhong. Mechanics of materials[M]. Beijing: Science Press, 2007.

[5] 郭闖強, 倪風雷，孫敬颋. 具有力矩傳感器的柔性關節(jié)的振動抑制[J]. 機器人, 2011, 33(4): 449-454.

Guo Chuangqiang, Ni Fenglei, Sun Jingting. Vibration suppression for the flexible joint with torque sensor[J]. Robot, 2011, 33(4): 449-454.

[6] Virk G S, Al-Dmour A S. Real-time vibration suppression in a flexible cantilever rig[J]. Microprocessors and Microsystems, 2009(23): 365-384.

[7] 羅飛, 余達太. 主動式控制_機器人抑振控制的有效方式[J]. 機器人, 2015, 17(14): 23-27.

Luo Fei, Yu Datai. Active control_an effective method of reducing vibration control of robotics[J]. Robot, 2015, 17(14): 23-27.

[8] Xu W L, Han J D. Joint acceleration feedback control for robotics[J]. Robotic and Computer Integrated Manufacturing, 2000, 43(16): 207-320.

[9] 劉旭亮, 黃玉平. 柔性機械臂建模及動力學特性分析[J]. 噪聲與振動控制, 2014, 34(6): 7-11 .

Liu Xuliang, Huang Yuping. Modeling and dynamic characteristic analysis of flexible robotic arm[J]. Noise and Vibration Control, 2014, 34(6): 7-11.

A Structural-Dynamic-Modeling Method for Long Cantilever Beam

Zhao Yu-fei, Zhang Zhong-zhe, Li Ke, Wang Yan-bo, Cheng Yuan-chao

(Beijing Research Institute of Precise Mechatronics and Controls, Beijing, 100076)

The long cantilever beam structure connected by multiple sections is often designed as a multi-point support. It is easy to generate fatigue and breakage at the distal joint when it is subjected to periodic vibration continuously transmitted from the fixed end, resulting in a significant reduction in fatigue life. In order to achieve effective vibration suppression and protect the structure, it is necessary to apply a certain active control algorithm to the auxiliary support manipulator holding the beam. The cantilever beam structure dynamics modeling proposed is intended for providing a model basis for parameter-designation of the control algorithm. Based on the analysis of the Euler-Bernoulli beam vibration model, the vibration differential equations of the beam are derived, and the actual structural dynamics model is established based on the structure of the beam. Finally, through the calculation and simulation, the dynamic response of the cantilever beam is obtained and the accuracy of the model is confirmed.It provides an effective modeling solution for the long cantilever beam structure and has certain reference significance for the vibration suppression of the manipulator with flexible foundation.

cantilever beam; flexible foundation; structure dynamic modeling; vibration suppression

TH113.1

A

1004-7182(2020)01-0083-06

10.7654/j.issn.1004-7182.20200115

2019-09-16；

2019-11-24

趙宇飛（1994-），男，碩士研究生，主要研究方向為航天機器人技術。

張中哲（1972-），男，研究員，主要研究方向為航天伺服控制。

李 科（1986-），男，高級工程師，主要研究方向為智能機器人與航天伺服控制。

王燕波（1978-），男，研究員，主要研究方向為空間智能機器人技術。

程遠超（1990-），男，工程師，主要研究方向為機器人技術與應用。