趙宇飛，張中哲，李 科，王燕波，程遠(yuǎn)超

一種長懸臂梁結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)建模方法

趙宇飛，張中哲，李 科，王燕波，程遠(yuǎn)超

（北京精密機(jī)電控制設(shè)備研究所，北京，100076）

為了有效抑制長懸臂梁結(jié)構(gòu)在受到固定端持續(xù)傳來的周期性振動(dòng)時(shí)在遠(yuǎn)端連接處產(chǎn)生的疲勞破壞，保護(hù)懸臂梁結(jié)構(gòu)，需要對(duì)其遠(yuǎn)端連接處保持的輔助支撐機(jī)構(gòu)施加一定的主動(dòng)抑振控制算法。為此提出懸臂梁結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)建模，為控制算法分析、參數(shù)設(shè)計(jì)和研究提供模型基礎(chǔ)。在對(duì)歐拉-伯努利梁振動(dòng)模型和柔性基礎(chǔ)簡化模型的分析基礎(chǔ)上，根據(jù)固定端輸入的周期性振動(dòng)信號(hào)推導(dǎo)出輔助支撐點(diǎn)處的含柔性基礎(chǔ)懸臂梁振動(dòng)微分方程，并結(jié)合梁的結(jié)構(gòu)推導(dǎo)出符合實(shí)際的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型。通過計(jì)算仿真，獲得柔性基礎(chǔ)懸臂梁的動(dòng)態(tài)響應(yīng)并確認(rèn)了模型的準(zhǔn)確性。因此為長懸臂梁結(jié)構(gòu)提供了一種有效的建模方案并對(duì)具有柔性基礎(chǔ)的機(jī)械臂的振動(dòng)抑制具有一定的借鑒意義。

懸臂梁結(jié)構(gòu)；柔性基礎(chǔ)；結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)建模；振動(dòng)抑制

0 引 言

近年發(fā)展起來的大型空間機(jī)械臂系統(tǒng)在航空航天領(lǐng)域做出了卓越的貢獻(xiàn)。為了減少振動(dòng)與定位誤差，應(yīng)用于傳統(tǒng)工業(yè)的機(jī)械臂結(jié)構(gòu)一般設(shè)計(jì)成高剛性結(jié)構(gòu)，而在航空航天及精密機(jī)械領(lǐng)域，一類重量輕、能耗低、效率高、執(zhí)行速度快且結(jié)構(gòu)緊湊的柔性機(jī)械臂逐漸取代了傳統(tǒng)高剛度結(jié)構(gòu)，但抗彎剛度較低的機(jī)械臂將會(huì)在工作過程中不可避免地受到振動(dòng)的影響[1]。這類振動(dòng)問題一旦發(fā)生，僅僅依靠材料本身的阻尼很難自行衰減，會(huì)使系統(tǒng)損失定位精度、降低工作效率，嚴(yán)重時(shí)將會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)共振，大幅度縮短機(jī)械臂的壽命[2]。

在復(fù)雜的力學(xué)環(huán)境下，這類具有柔性基礎(chǔ)的機(jī)械臂構(gòu)型可以簡化為多段連接而成的大型懸臂梁結(jié)構(gòu)，由于結(jié)構(gòu)存在柔性，受到梁的固定端傳來的周期性振動(dòng)時(shí)極易在遠(yuǎn)端連接處產(chǎn)生疲勞破環(huán)，使得這類大型懸臂梁結(jié)構(gòu)產(chǎn)生慣性加速度過載而在遠(yuǎn)離固定端的連接處產(chǎn)生振動(dòng)變形，甚至造成梁結(jié)構(gòu)的共振。為延長結(jié)構(gòu)的疲勞壽命，需要在遠(yuǎn)離懸臂梁固定端的末置位增加一個(gè)抱持機(jī)械臂，通過抑振控制算法實(shí)現(xiàn)懸臂梁結(jié)構(gòu)前端交變載荷的減小。

本文將根據(jù)長懸臂梁結(jié)構(gòu)的具體搭建方式與梁本身的實(shí)際結(jié)構(gòu)進(jìn)行模型抽象化，針對(duì)多段連接形成的外伸梁結(jié)構(gòu)，采用簡支梁和懸臂梁疊加的建模方式，分別進(jìn)行結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的建模，并根據(jù)兩主掛點(diǎn)處輸入的振動(dòng)激勵(lì)推導(dǎo)出傳遞至輔助支撐點(diǎn)處的振動(dòng)激勵(lì)，并通過仿真驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確性，為后期的抑振控制算法研究提供模型基礎(chǔ)。

1 柔性基礎(chǔ)懸臂梁振動(dòng)模型建立

1.1 懸臂梁振動(dòng)模型

懸臂梁在橫向發(fā)生彎曲振動(dòng)時(shí)，假定梁各個(gè)截面的中性軸都保持在同一平面內(nèi)，作用于梁上的外載荷亦然，當(dāng)梁結(jié)構(gòu)收到固定端傳來的振動(dòng)時(shí)，彎曲變形成為梁的主要變形，當(dāng)振動(dòng)頻率較低時(shí)一般忽略剪切變形以及截面繞梁的中性軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響，這種梁模型稱為歐拉-伯努利梁[3]。為了簡化推導(dǎo)懸臂梁動(dòng)力學(xué)模型，梁模型將采用歐拉-伯努利梁進(jìn)行構(gòu)建，懸臂梁彎曲變形示意如圖1所示。

圖1 懸臂梁彎曲變形示意

1.2 懸臂梁彎曲振動(dòng)微分方程

取梁上任意微段d為研究對(duì)象，對(duì)其進(jìn)行受力分析，根據(jù)力平衡方程得到：

根據(jù)力矩平衡方程得：

(d)2很小可忽略不計(jì)，式（2）可簡化為

將式（3）代入簡化后的力平衡方程，可得到：

由材料力學(xué)的平截面假設(shè)[4]得知，梁所受彎矩與撓度之間存在如下關(guān)系：

式中為材料的彈性模量；為梁截面對(duì)中性軸的慣性矩。

將式（5）代入簡化后的平衡方程中可得：

式（6）為根據(jù)歐拉-伯努利梁模型建立的懸臂梁彎曲振動(dòng)微分方程。

1.3 懸臂梁的固有頻率及振型函數(shù)

對(duì)于上述推導(dǎo)所得微分方程，如果所受外力()與外力矩()均為零，此時(shí)梁作自由振動(dòng)，則此時(shí)的振動(dòng)微分方程為

即：

將式（9）代入簡化后的式（8）中，得：

由式（10）可以看出，取左右兩端等于同一常數(shù)2，則：

式（11）中第1個(gè)方程的通解為

由于式（11）中第2個(gè)方程是一個(gè)4階常系數(shù)齊次線性微分方程，其特征方程為

特征方程可簡化為含待定參數(shù)c的下式：

由此得到梁的主振動(dòng)表達(dá)式為

梁一端固定，另一端自由的邊界條件[5]可以表示為

式（16）展開化簡得到：

懸臂梁的各階固有頻率為

將各個(gè)特征值代入方程后可確定各個(gè)系數(shù)的比值，故對(duì)應(yīng)的振型函數(shù)為

2 梁結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)建模

一個(gè)長約米，總重量為的長懸臂梁結(jié)構(gòu)由主體和頭端組成，結(jié)構(gòu)主體和頭端在點(diǎn)剛性連接，頭端重M，質(zhì)心在點(diǎn)處。結(jié)構(gòu)整體通過相距L米的和兩個(gè)主掛點(diǎn)以懸掛的方式吊掛運(yùn)輸，結(jié)構(gòu)末端距離點(diǎn)為L米，以外伸梁的方式延伸到兩個(gè)掛載點(diǎn)之外。

靜止時(shí)，由于結(jié)構(gòu)頭端段沒有輔助支撐，連接點(diǎn)和結(jié)構(gòu)末端點(diǎn)較掛載點(diǎn)和延伸了較長的距離，在自然重力的重力下，延伸段的結(jié)構(gòu)逐漸發(fā)生了彎曲形變，使得結(jié)構(gòu)的點(diǎn)和點(diǎn)偏離理想水平軸線，使得結(jié)構(gòu)表現(xiàn)出一定的柔性。同時(shí)在連接點(diǎn)處（頭體連接處）受到了彎曲作用將會(huì)產(chǎn)生一定的彎矩載荷。當(dāng)結(jié)構(gòu)在自然重力下正常下垂時(shí)，末端距離理想水平軸線的距離為。

完成理論準(zhǔn)備后回歸結(jié)構(gòu)建模，將長懸臂梁結(jié)構(gòu)采用歐拉-伯努利梁進(jìn)行建模，如圖2所示。

圖2 結(jié)構(gòu)的建模

1—兩主掛點(diǎn)之間的距離；2—前掛點(diǎn)至產(chǎn)品頭體連接處的距離；3—產(chǎn)品頭體連接處至輔助支撐點(diǎn)的距離；L—產(chǎn)品頭體連接處至頭部質(zhì)心的距離；L—產(chǎn)品頭體連接處至輔助支撐點(diǎn)的距離

和分別為兩個(gè)掛點(diǎn)，為結(jié)構(gòu)頭體連接處，為段的質(zhì)心，為輔助支撐點(diǎn)。將外伸梁模型分解成和兩段進(jìn)行分析，并最后將結(jié)果進(jìn)行疊加，最終得到結(jié)構(gòu)的振動(dòng)激勵(lì)和動(dòng)力學(xué)模型。其中，段可以等效為2個(gè)固定支點(diǎn)的簡支梁，段可以等效為懸臂梁。

2.1 簡支梁AB的建模

將段簡化為簡支梁進(jìn)行建模，建模中為梁結(jié)構(gòu)水平方向，為垂直軸線豎直向上方向，并將簡支點(diǎn)作為坐標(biāo)系原點(diǎn)，如圖3所示。

圖3 簡支梁模型

簡支梁的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型可以表示為

2.2 懸臂梁BD的建模

將段結(jié)構(gòu)采用歐拉-伯努利梁進(jìn)行建模，為梁結(jié)構(gòu)水平方向，為垂直軸線豎直向上方向，并將固支點(diǎn)作為坐標(biāo)系原點(diǎn)，如圖4所示。

圖4 懸臂梁模型

在懸掛段的點(diǎn)加入輔助支撐機(jī)構(gòu)后，結(jié)構(gòu)將被分解為兩段：段和段。其中段較長可以使用懸臂梁模型進(jìn)行等效；段較短，可以直接默認(rèn)為剛體，并且由于段在輔助支撐點(diǎn)之后，且結(jié)構(gòu)頭端的質(zhì)心在輔助支撐點(diǎn)之前，因此建模時(shí)可忽略段，只考慮段的懸臂梁建模。

對(duì)于無限多自由度的連續(xù)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，利用振型疊加法可以將其轉(zhuǎn)化為無限個(gè)單自由度的模態(tài)相應(yīng)的疊加，則段懸臂梁的微分動(dòng)力學(xué)模型為

現(xiàn)在只考慮結(jié)構(gòu)輔助支撐點(diǎn)的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)，則點(diǎn)振型函數(shù)為

2.3 結(jié)構(gòu)振型疊加

由上可得到由簡支梁和懸臂梁振形疊加后的結(jié)構(gòu)輔助支撐點(diǎn)的第階模態(tài)的位移變形為

結(jié)構(gòu)末端各階模態(tài)振型導(dǎo)致的位移變形的總和為

考慮簡支梁變形微小，可將位移影響看作是一個(gè)簡易杠桿，根據(jù)結(jié)構(gòu)的尺寸數(shù)據(jù)可知，點(diǎn)的位移約為中點(diǎn)位移的2.81倍。為進(jìn)一步確定振動(dòng)輸入對(duì)點(diǎn)帶來的位移影響，在ANSYS中創(chuàng)建簡支梁模型，并在兩主掛點(diǎn)施加振動(dòng)輸入。在兩主掛點(diǎn)施加振動(dòng)輸入后如圖5所示。

圖5 時(shí)域波形

瞬態(tài)分析后得到中點(diǎn)的位移波形如圖6所示。

圖6 位移波形

對(duì)比圖5、圖6可以看出，簡支梁變形產(chǎn)生的撓角極其微小，因此在點(diǎn)產(chǎn)生的影響可以忽略不計(jì)，以下只對(duì)懸臂梁部分進(jìn)行分析。

2.4 外力擾動(dòng)下的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型

考慮能量耗散時(shí)，長懸臂梁的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型則可以化簡得到廣義坐標(biāo)下的微分動(dòng)力學(xué)方程：

所以受到的廣義力為

該振動(dòng)將成為系統(tǒng)的激勵(lì)，所以結(jié)構(gòu)受迫振動(dòng)時(shí)的微分方程為

對(duì)式（33）進(jìn)行拉普拉斯變換得到：

3 懸臂梁模型準(zhǔn)確性驗(yàn)證

根據(jù)前面推導(dǎo)可知懸臂梁的第1、2階振型函數(shù)為

參考其他類似結(jié)構(gòu)后初步假設(shè)結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)阻尼比=0.2，則有：

則可推出前兩階傳遞函數(shù)為

對(duì)比一階和總輸入相應(yīng)可知，總位移輸出主要由一階響應(yīng)構(gòu)成，在之后的分析和控制中，將使用一階的動(dòng)力學(xué)模型作為主模型即可保證分析控制的準(zhǔn)確性與實(shí)時(shí)性。

采用簡化的只考慮一階模態(tài)的動(dòng)力學(xué)模型計(jì)算的點(diǎn)和點(diǎn)的位移比來和ANSYS中的全模態(tài)得到的兩點(diǎn)的位移比進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證，以驗(yàn)證理論模型的準(zhǔn)確性和簡化模型的有效性。

根據(jù)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)和已知參數(shù)，將整個(gè)梁結(jié)構(gòu)假設(shè)為只受到彎曲應(yīng)力的懸臂梁，材料參數(shù)如表1所示。

表1 懸臂梁參數(shù)定義

Tab.1 Parameter Definition of Cantilever Beam

材料鋼材 密度/(kg·m-3)7850 楊氏模量/GPa2.06 結(jié)構(gòu)半徑（等截面）/m0.2 泊松比0.31 阻尼系數(shù)0.2

點(diǎn)的微分動(dòng)力學(xué)模型為

則輔助支撐點(diǎn)的振型函數(shù)為

在外力擾動(dòng)下，簡化的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型得：

將點(diǎn)和結(jié)構(gòu)參數(shù)代入得（僅考慮一階）：

（52）

將L代入得到：

則，理論上點(diǎn)與點(diǎn)的一階相對(duì)位移比為1.887。

進(jìn)行模態(tài)分析得到懸臂梁的前兩階固有頻率分別為10.571和65.209，可見固有頻率與理論推導(dǎo)所得結(jié)果相符合。

4 結(jié) 論

本文建立了一種多點(diǎn)支撐的長懸臂梁結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型。首先介紹了歐拉-伯努利梁的概念，以其為理論基礎(chǔ)分析了懸臂梁的振動(dòng)特性，并建立了柔性基礎(chǔ)懸臂梁的振動(dòng)微分方程。然后根據(jù)懸臂梁的安裝情況和實(shí)際結(jié)構(gòu)進(jìn)行結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)建模，并研究了該結(jié)構(gòu)在外部振動(dòng)激勵(lì)情況下的動(dòng)力學(xué)模型；隨后推導(dǎo)出柔性基礎(chǔ)模型的傳遞函數(shù)，結(jié)合懸臂梁振動(dòng)模型推導(dǎo)出在外力擾動(dòng)下的懸臂梁結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型，最后通過計(jì)算仿真，獲得柔性基礎(chǔ)懸臂梁的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，并以此驗(yàn)證了所建立模型的準(zhǔn)確性。

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A Structural-Dynamic-Modeling Method for Long Cantilever Beam

Zhao Yu-fei, Zhang Zhong-zhe, Li Ke, Wang Yan-bo, Cheng Yuan-chao

(Beijing Research Institute of Precise Mechatronics and Controls, Beijing, 100076)

The long cantilever beam structure connected by multiple sections is often designed as a multi-point support. It is easy to generate fatigue and breakage at the distal joint when it is subjected to periodic vibration continuously transmitted from the fixed end, resulting in a significant reduction in fatigue life. In order to achieve effective vibration suppression and protect the structure, it is necessary to apply a certain active control algorithm to the auxiliary support manipulator holding the beam. The cantilever beam structure dynamics modeling proposed is intended for providing a model basis for parameter-designation of the control algorithm. Based on the analysis of the Euler-Bernoulli beam vibration model, the vibration differential equations of the beam are derived, and the actual structural dynamics model is established based on the structure of the beam. Finally, through the calculation and simulation, the dynamic response of the cantilever beam is obtained and the accuracy of the model is confirmed.It provides an effective modeling solution for the long cantilever beam structure and has certain reference significance for the vibration suppression of the manipulator with flexible foundation.

cantilever beam; flexible foundation; structure dynamic modeling; vibration suppression

TH113.1

A

1004-7182(2020)01-0083-06

10.7654/j.issn.1004-7182.20200115

2019-09-16；

2019-11-24

趙宇飛（1994-），男，碩士研究生，主要研究方向?yàn)楹教鞕C(jī)器人技術(shù)。

張中哲（1972-），男，研究員，主要研究方向?yàn)楹教焖欧刂啤?/p>

李 科（1986-），男，高級(jí)工程師，主要研究方向?yàn)橹悄軝C(jī)器人與航天伺服控制。

王燕波（1978-），男，研究員，主要研究方向?yàn)榭臻g智能機(jī)器人技術(shù)。

程遠(yuǎn)超（1990-），男，工程師，主要研究方向?yàn)闄C(jī)器人技術(shù)與應(yīng)用。