摘?要：在數(shù)學(xué)解題實(shí)踐中嚴(yán)把審題關(guān)，思維方向正確，運(yùn)算準(zhǔn)確是解題成功的關(guān)鍵，其中運(yùn)算求解能力貫徹解題的始終，運(yùn)算求解注意運(yùn)算的組成與合成，注重挖掘隱藏信息提供有效運(yùn)算，選擇合理公式、法則和算理進(jìn)行正確運(yùn)算。

關(guān)鍵詞：為合理與有效運(yùn)算善于挖掘信息;知識(shí)遷移使用;選擇方法;估值計(jì)算

數(shù)學(xué)運(yùn)算是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，在數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)分析中都涉及數(shù)學(xué)運(yùn)算。運(yùn)算求解能力是運(yùn)用定義、法則、公式進(jìn)行鏈接演算的一項(xiàng)基礎(chǔ)能力，運(yùn)算注意分解分步環(huán)節(jié)，并與思維和算法算理有機(jī)結(jié)合，專注運(yùn)算的分解與正確計(jì)算結(jié)合。怎樣才能減少和避免因運(yùn)算的丟分？本文就運(yùn)算求解能力的組成談幾點(diǎn)看法。

一、?挖掘題目隱藏信息合理運(yùn)算求解

量化已知條件，挖掘題中的隱藏條件，觀察圖形的具體特征，抓住問題所需找到運(yùn)算求解的方向，結(jié)合代數(shù)和平面幾何的關(guān)系捕捉到簡化運(yùn)算的關(guān)鍵點(diǎn)。

個(gè)案1：（多項(xiàng)選擇題）已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左右焦點(diǎn)，且|F1F2|=2b2a，點(diǎn)P為雙曲線右支上一點(diǎn)，I為△PF1F2的內(nèi)心，過原點(diǎn)O作PI的平行線交PF1于點(diǎn)K，若S△IPF1=S△IPF2+λS△IF1F2成立，則下列結(jié)論正確的有（）

A.?λ=5-12

B.?λ=5+12

C.?點(diǎn)I的橫坐標(biāo)為a

D.?PK=a

挖掘信息1.?由|F1F2|=2b2a=2c通過運(yùn)算變形化歸轉(zhuǎn)化為解方程e2-e-1=0運(yùn)算得

e=5+12。

挖掘信息2.?從選項(xiàng)A，B聯(lián)想到λ與離心率e有關(guān)，量化信息2：S△IPF1=S△IPF2+λS△IF1F2，

設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r，選擇三角形面積公式運(yùn)算可得

12|PF1|·r=12|PF2|·r+λ·12|F1F2|·r，則有|PF1|-|PF2|=λ·2c=2a，故

λ=ac=1e=5-12，故A，B錯(cuò)。

挖掘信息3.?設(shè)內(nèi)切圓I與PF1、PF2、F1F2相切于點(diǎn)E、G、D，結(jié)合圓的性質(zhì)，由雙曲線的定義求解運(yùn)算可推出|PF1|-|PF2|=|DF1|-|DF2|，從而有2a=2xD，故點(diǎn)I的橫坐標(biāo)為a，C正確。

挖掘信息4.?I為△PF1F2的內(nèi)心，延長PI交F1F2于點(diǎn)M，由三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)有

|PF1||PF2|=|F1M||F2M|=|F1M|2|OF1|-|F1M|，變形運(yùn)算可得|F1M|=2|OF1|·|PF1||PF1|+|PF2|?①。

挖掘信息5.?PI∥OK，|F1K||PF1|=|OF1||F1M|=|PF1|-|PK||PF1|②，把①代入②運(yùn)算化簡得

|PF1|-|PK|=12（|PF1|+|PF2|），即|PK|=12（|PF1|-|PF2|）=a，D正確，答案選

ACD。

多項(xiàng)選擇題是新高考數(shù)學(xué)改革的必考題，這對(duì)教師平時(shí)的運(yùn)算教學(xué)上升到一個(gè)新的高度。本題通過雙曲線的幾何性質(zhì)找到運(yùn)算求解離心率的途徑，信息2，3平面幾何圓的性質(zhì)和雙曲線的定義通過變形運(yùn)算捕捉到λ與e的關(guān)系，再通過運(yùn)算求解出點(diǎn)I的橫坐標(biāo)，為了求出

PK=a，需要深層次挖掘出隱藏條件，在運(yùn)用內(nèi)角平分線性質(zhì)和雙曲線定義運(yùn)算求解中進(jìn)行了深度的變形運(yùn)算，突出對(duì)運(yùn)算組成的化歸、分解，本題體現(xiàn)代數(shù)恒等變形、平面幾何有關(guān)性質(zhì)、圓錐曲線的定義和幾何性質(zhì)，通過對(duì)問題目標(biāo)的綜合運(yùn)算，既考查了思維的深度同時(shí)也考查了運(yùn)算的寬度，在整個(gè)破解過程中展示運(yùn)算算理和符號(hào)運(yùn)算，在化歸轉(zhuǎn)化中運(yùn)用所學(xué)知識(shí)合理控制計(jì)算量，優(yōu)化解決問題。

從個(gè)案1我們看到對(duì)題目已知信息的量化和挖掘能力是運(yùn)算求解能力的一個(gè)重要組成部分。運(yùn)算求解能力是思維能力和運(yùn)算技能的結(jié)合，運(yùn)算包括對(duì)數(shù)字的計(jì)算、估值和近似計(jì)算，對(duì)式子的組合變形與分解變形，對(duì)幾何圖形各幾何量的計(jì)算求解等，運(yùn)算求解能力包括分析運(yùn)算條件、探究運(yùn)算方向、選擇運(yùn)算公式、確定運(yùn)算程序等一系列過程中的思維能力，也包括在實(shí)施運(yùn)算過程中遇到障礙而調(diào)整運(yùn)算的能力。

二、?定義、公式、法則和定理的運(yùn)用能力

運(yùn)算，是指依照數(shù)學(xué)法則，求出一個(gè)算題或一個(gè)算式的結(jié)果，數(shù)學(xué)上，運(yùn)算是一種行為，通過已知量的可能的組合，獲得新的量，計(jì)算同樣一個(gè)算題時(shí)所選用的依據(jù)可能不同，這就造成了運(yùn)算過程的繁簡程度不同，依據(jù)指的就是數(shù)學(xué)中的定義、公式、法則和定理。

個(gè)案2：若2x=3y，則xy=。

解：本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算，所求為用代數(shù)式表示對(duì)數(shù)。

解法1：設(shè)2x=3y=t，則x=log2t，y=log3t。

∴xy=log2tlog3t=1log3t1log2t=logt3logt2=log23。

解法2：∵2x=3y，則log22x=log23y，

∴xlog22=ylog23，∴xy=log23。

解法2抓住題目所求的目標(biāo)，在對(duì)數(shù)有意義的前提下應(yīng)用運(yùn)算性質(zhì)兩邊取以2為底的對(duì)數(shù)，根據(jù)不同的問題選擇公式的正用或逆用，直接導(dǎo)出結(jié)果，快捷找到運(yùn)算的途徑和方法。

三、?運(yùn)算方法的選擇能力

運(yùn)算方法的選擇要科學(xué)有效，代數(shù)問題幾何化運(yùn)算，幾何問題坐標(biāo)化運(yùn)算，代數(shù)與幾何數(shù)形結(jié)合運(yùn)算等都是選擇的方向，正確的選擇為快速準(zhǔn)確求解運(yùn)算指明方向。

個(gè)案3：已知直三棱柱ABCA1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為（）

圖1

圖2

A.?32

B.?155

C.?105

D.?33

解法：將直三棱柱ABCA1B1C1補(bǔ)形成直四棱柱ABCDA1B1C1D1（如圖2），連接AD1，B1D1，則AD1∥BC1，則∠B1AD1為異面直線AB1與BC1所成的角（或其補(bǔ)角），易求得AB1=5，BC1=AD1=2，B1D1=

3，由余弦定理得cos∠B1AD1=105。

解法的運(yùn)算求解方法采取幾何法中補(bǔ)形平移轉(zhuǎn)化法求異面直線所成角，利用余弦定理破解?？梢姺椒ㄟx擇的不同，運(yùn)算量的大小也不一樣。在個(gè)案3對(duì)問題的運(yùn)算求解中，凸顯在坐標(biāo)法和幾何法的選擇上，代數(shù)與幾何相結(jié)合運(yùn)算，立體幾何中平面幾何知識(shí)和正余弦定理的使用對(duì)運(yùn)算求解的效果也存在差異，解法運(yùn)算的時(shí)間長度小，達(dá)到了優(yōu)化運(yùn)算的目的。

四、?數(shù)學(xué)思想和方法的運(yùn)用能力

數(shù)學(xué)思想包括數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、分類與整合、化歸與轉(zhuǎn)化思想等，數(shù)學(xué)方法包括待定系數(shù)法、換元法、反證法、分離變量法等基本方法，這些數(shù)學(xué)思想和方法的運(yùn)用能力也是運(yùn)算能力的一個(gè)重要組成部分。

個(gè)案4?（多項(xiàng)選擇題）下列命題為真命題是（）

A.?ln3<3ln2

B.?lnπ<πe

C.?215<15

D.?3eln2<42

解：分析一：從選項(xiàng)看背景是有關(guān)對(duì)數(shù)、指數(shù)、根式的大小比較問題，高考不能使用計(jì)算器，因此估值運(yùn)算行不通，探究四個(gè)選項(xiàng)從A入手，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則變形可得ln33

分析二：設(shè)函數(shù)f（x）=lnxx，利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)知識(shí)可知f（x）在（0，e）上單調(diào)遞增，在（e，+∞）上單調(diào)遞減，A即為f（3）

分析三：B可變形為lnπππ>e>0，B錯(cuò)。

分析四：注意到函數(shù)f（x）解析式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，由y=lnx為遞增函數(shù)，將指數(shù)式轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)式，等價(jià)于證明15ln2ln22=ln44=ln1616得

f（15）>f（16），e<15<16，f（x）在（e，+∞）上單調(diào)遞減，C正確，D可化為ln88

比較對(duì)數(shù)、指數(shù)、根式的大小關(guān)系，本題解題的關(guān)鍵是構(gòu)造出函數(shù)f（x），為了構(gòu)造出函數(shù)必須將選項(xiàng)不等式進(jìn)行運(yùn)算變形，充分運(yùn)用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則公式logaMn=nlogaM進(jìn)行正用和逆用即可達(dá)到目的。

運(yùn)用函數(shù)導(dǎo)數(shù)知識(shí)可求出f（x）的單調(diào)性與極值（如圖）。

本題的運(yùn)算變形滲透了化歸與轉(zhuǎn)化思想，在運(yùn)算中蘊(yùn)含思維分析，在運(yùn)算中運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行不等式化歸轉(zhuǎn)化，可見數(shù)學(xué)思想和方法的運(yùn)用能力也是運(yùn)算能力的一個(gè)重要組成部分。

從上面的個(gè)案分析，運(yùn)算的合理性是運(yùn)算求解能力的核心，運(yùn)算的合理性體現(xiàn)對(duì)題目信息點(diǎn)的挖掘，體現(xiàn)在思維方法的選擇上，體現(xiàn)在數(shù)學(xué)思想與方法的運(yùn)用上，運(yùn)算在數(shù)學(xué)概念、公式以及二級(jí)結(jié)論的遷移使用上也是關(guān)鍵，對(duì)數(shù)的運(yùn)算、式的運(yùn)算的考查注意代數(shù)問題幾何化，運(yùn)算過程與思維過程交匯進(jìn)行，數(shù)學(xué)運(yùn)算離不開思維，運(yùn)算過程包含著思維過程。運(yùn)算的成功是知識(shí)與能力的掌握，在平時(shí)教學(xué)中注重知識(shí)結(jié)構(gòu)的構(gòu)建和網(wǎng)絡(luò)化，課堂注重講練結(jié)合，精講精練，突出運(yùn)算的精髓，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)，把運(yùn)算求解能力貫穿于整個(gè)教與學(xué)的過程中，通過課堂、練習(xí)、測試等反思運(yùn)算的全程，提升學(xué)生掌握運(yùn)算過程中所用的知識(shí)、方法和數(shù)學(xué)思想，進(jìn)一步有效地用來解決數(shù)學(xué)綜合運(yùn)算問題。

參考文獻(xiàn)：

[1]陳丙妹.數(shù)學(xué)教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生自主探索能力.中學(xué)教學(xué)參考，2011（107）.

作者簡介：張建平，福建省龍巖市，福建省連城縣第一中學(xué)。