鄒 鯤， 來 磊， 駱艷卜， 李 偉

(空軍工程大學信息與導航學院， 西安， 710077)

雷達信號檢測在數(shù)學上屬于統(tǒng)計假設檢驗問題，檢測性能與數(shù)據(jù)的統(tǒng)計模型密切相關[1]。然而在雷達檢測器設計階段，目標背景噪聲(包含了雜波、熱噪聲和可能的干擾)統(tǒng)計特性往往是未知的，需要一定數(shù)量的參考數(shù)據(jù)，用于待檢測單元背景噪聲的抑制和目標的檢出，這種檢測手段稱為自適應檢測[2]。對于雷達目標檢測問題，基于奈曼皮爾遜準則的一致最大勢檢驗通常不存在[3]，可以依據(jù)其他不同的準則設計不同的自適應檢測算法。例如采用廣義似然比檢驗(Generalized Likelihood Ratio Test, GLRT)準則可以得到GLRT檢測器[2]和自適應匹配濾波器(Adaptive Matched Filter,AMF)[4]，利用Wald檢驗準則[5]和Rao檢驗準則[6]也可以得到對應的檢測器。這些檢測器都是漸近最優(yōu)檢測器，在參考數(shù)據(jù)較少的情況[7]或導向矢量失配[8]時，檢測性能會出現(xiàn)差異。

自適應檢測的性能與參考數(shù)據(jù)數(shù)量、質量密切相關。為了更好地抑制待檢測單元背景噪聲，參考數(shù)據(jù)的數(shù)量必須足夠多，且參考數(shù)據(jù)與待檢測單元背景噪聲的統(tǒng)計特性一致，即所謂的場景均勻性。在均勻場景中，參考數(shù)據(jù)數(shù)量必須大于檢測問題維度的2倍時，GLRT的檢測性能損耗才能控制在3 dB以內[2-3]。然而在實際情況下，對參考數(shù)據(jù)的數(shù)量和質量的要求往往很難得到滿足。例如在雷達空時自適應處理過程中[10]，檢測問題維度是空時2個維度的乘積，且探測環(huán)境也受地物分布、復雜電磁環(huán)境的影響，很難找到滿足要求的參考數(shù)據(jù)。因此針對非均勻場景、干擾條件下的自適應檢測問題[11-19]是當前的一個研究熱點。

本文考慮參考數(shù)據(jù)中部分樣本缺失問題，其也可以作為一種特殊的非均勻場景。造成樣本缺失的原因可以來自功率較強的干擾設備[20]，導致雷達接收數(shù)據(jù)中部分信號幅度值超過了接收機最大動態(tài)范圍，從而被標注為無效數(shù)據(jù)；也可以來自雷達系統(tǒng)內部設計的缺陷，某些數(shù)據(jù)處理不及時導致的樣本丟失[21]。常規(guī)的處理方法是將缺失的數(shù)據(jù)置零或進行插值，但都會導致參考數(shù)據(jù)的統(tǒng)計特性出現(xiàn)偏差，影響了自適應檢測性能。為此，本文首先提出了基于期望最大算法的自適應匹配濾波器(Expectation Maximization Based Adaptive Matched Filter, EM-AMF)。

1 檢測問題

考慮如下的自適應檢測問題：

(1)

在這個檢測問題中，待檢測單元數(shù)據(jù)z0是長度為N的復矢量，在H0假設下僅僅包含背景噪聲分量y0，其服從均值為0、協(xié)方差矩陣R未知的復高斯分布，而在H1假設下，待檢測數(shù)據(jù)中疊加了一個幅度α未知的信號導向矢量v。為了估計雜波協(xié)方差矩陣R，假定還存在數(shù)量為K的參考數(shù)據(jù)zk,k=1,2,…,K，這些數(shù)據(jù)僅僅包含了背景噪聲分量yk，其與待檢測單元背景噪聲分量y0為獨立同分布。采用N維矢量pk，表示第k個參考數(shù)據(jù)部分樣本缺失情況，數(shù)據(jù)缺失表征矢量pk中的每個元素取值0或1，如果是1表示該數(shù)據(jù)是正常的，如果是0表示該數(shù)據(jù)是缺失的，那么接收信號zk可以表示為pk與yk的Hadamard乘積，用符號⊙表示。本文假定數(shù)據(jù)缺失表征矢量pk是已知的。

自適應匹配濾波器(AMF)是基于雙步GLRT檢驗準則得到的，其形式[4]為：

(2)

(3)

2 基于EM算法的自適應匹配濾波器

利用數(shù)據(jù)缺失表征矢量pk，將每個參考數(shù)據(jù)yk劃分為2個部分：用yk,obs表示可觀測的數(shù)據(jù)，是由yk中可觀測分量構成的集合；yk,mis表示缺失的數(shù)據(jù)，是由yk中不可觀測分量構成的集合，其中的下標表示為集合：

(4)

由此EM算法表示為[22]：

R(n+1)=arg maxR·

(5)

式中：R(n)表示協(xié)方差矩陣R的第n次迭代估計值?？梢钥闯?，EM算法包含了2個步驟：①計算條件似然函數(shù)的期望；②計算R使得期望最大化。

在EM算法的期望步驟中，考慮到：

yk={yk,obs,yk,mis}|R～CN(0,R)

(6)

式中：符號～表示服從某種分布；CN表示復正態(tài)分布的縮寫。對數(shù)似然函數(shù)可以表示為：

lnp(yk,obs,yk,mis|R)=

(7)

式中：c表示常量；符號‖ ‖和tr{ }分別表示矩陣的行列式和跡。依據(jù)式(5)，需要對式(7)計算條件期望。利用條件高斯定理[23]可以得到：

(8)

其中：

(9)

式中：R[a,b]表示N×N矩陣R中由集合a構成的行和集合b構成列組成。將式(7)代入到式(5)中，并利用式(8)和式(9)的結論，可以得到:

Eyk,mis|yk,obs,R(n){lnp(yk,obs,yk,mis|R)}=

(10)

其中：

(11)

EM算法的步驟②可以表示為：

R(n+1)=arg maxR·

(12)

容易得到：

(12)

EM算法是一種迭代算法，因此首先可以設置一個協(xié)方差矩陣的初始值R(0)，分別計算式(9)、式(11)和式(13)完成對協(xié)方差矩陣的更新估計，并計算：

f(n+1)=

(13)

3 基于MCMC方法的自適應匹配濾波器

在雷達目標檢測過程中，關于待檢測單元雜波協(xié)方差矩陣，如果有一定的先驗信息，就有可能提升檢測性能。先驗信息的使用在貝葉斯框架下，可以用先驗分布表示。為此假定假設檢驗問題(1)中，R的先驗分布為復逆Wishart(Complex Inverse Wishart, CW-1)分布，即R～CW-1(v0,(v0-N)R0)，其概率密度函數(shù)可以表示為：

etr{-(v0-N)M-1R0};v0≥N+1

(15)

(16)

CW-1分布參數(shù)R0表示了先驗均值，而參數(shù)v0表征了對這個先驗均值的不確定性。v0越大，CW-1分布更加集中在其均值R0處，說明不確定性較低，反之當v0=N+1時，表示不確定性最大。需要指出的是，這里采用CW-1分布作為協(xié)方差矩陣R的先驗分布的原因是，對于復高斯分布的協(xié)方差矩陣，其共軛先驗分布是CW-1分布，即先驗分布與后驗分布具有相同的形式，有利于簡化計算。為此利用式(6)，容易得到R的后驗分布：

f(R|y1…yk)～

(17)

E(R|y1…yk)=θY+(1-θ)R0

(18)

Gibbs抽樣方法是MCMC仿真手段的一種，其通過構造參數(shù)的后驗分布，得到抽樣樣本的馬爾科夫序列，只要序列足夠長，該序列統(tǒng)計分布最終可以收斂到目標分布。給定一個協(xié)方差矩陣初始值R(0)，利用式(8)，可以產(chǎn)生一個隨機矢量yk,mis，將其與觀測矢量yk,obs一并構成參考數(shù)據(jù)yk。再利用式(17)，可以隨機產(chǎn)生一個協(xié)方差矩陣R(1)。由此可以得到一個協(xié)方差矩陣的馬爾科夫序列R(n)，n=1,2,…,N。計算這個序列經(jīng)過收斂之后的均值，作為雜波協(xié)方差矩陣后驗均值的估計：

(19)

式中：N表示Gibbs抽樣得到的樣本總數(shù)；Nb表示當抽樣迭代次數(shù)達到Nb時，獲得的樣本分布收斂到了目標分布。

4 數(shù)值仿真分析

圖1 存在樣本丟失的參考數(shù)據(jù)(N=8,K=32)

4.1 Gibbs抽樣收斂性能分析

對于Gibbs抽樣算法，首先要確定協(xié)方差矩陣序列R(n)在什么時候開始處于收斂狀態(tài)，即式(19)中Nb的取值。為此本文采用勢尺度(Potential Scale, PS)的概念[25]進行數(shù)值分析。依據(jù)指定的先驗分布參數(shù)v0和R0，利用式(15)隨機生成一個初始值R(0)，利用Gibbs抽樣算法，可以得到一個抽樣矩陣序列R(n)，n=1,2,…,L。選擇序列中每個矩陣的第m行第n列的元素進行分析，其可以構成一個標量序列φ(n)。將這個序列定義為一個長度L的列矢量φ。將這個過程重復M次，由此可以得到M個長度為L的序列，φ1,φ2,…,φM。分別計算每個序列的均值、方差和所有序列的均值：

(20)

再計算序列間(Between-Sequence)方差B和序列內(Within-Sequence)方差W：

(21)

那么勢尺度定義為：

(22)

序列的收斂性主要分析勢尺度因子與1的距離，越靠近1說明序列越接近目標分布。

圖2給出了勢尺度與迭代次數(shù)之間的關系，這里選擇v0=N+1，R0=IN，即單位矩陣。獨立運行次數(shù)M=500后進行平均?？梢钥闯?，采用Gibbs抽樣方法獲得的馬爾科夫序列最終都會收斂到目標分布，但收斂速度與參數(shù)K和丟失樣本占比p有關。K值相同時，丟失樣本越多，收斂的速度越慢。丟失樣本占比p相同時，K越大，收斂速度越慢。

圖2 Gibbs抽樣算法收斂性能分析

4.2 檢測性能對比分析

將AMF作為檢測器結構，指定虛警概率為10-3，利用計算機仿真獲得判決門限。分析不同的信噪比條件下的檢測性能。信噪比SNR定義為：

SNR=|α|2vHM-1v

(23)

作為對比分析，將匹配濾波器MF作為檢測性能的上限，即假定雜波協(xié)方差矩陣已知。還可以對存在樣本缺失的參考數(shù)據(jù)zk進行線性插值，將插值后的數(shù)據(jù)用于計算樣本協(xié)方差矩陣，并代入式(2)中，得到的檢測器標記為LI-AMF。

而對于MCMC-AMF檢測器，其先驗分布參數(shù)設置為v0=N+1，R0=IN，這種參數(shù)設置表示對協(xié)方差矩陣的先驗信息較少。另外一種設置為v0=N+8，R0(m,n)=0.8|m-n|ej2π(-0.15)(m-n)，這種參數(shù)設置表示對協(xié)方差矩陣有一定的先驗信息，但先驗均值與實際的M取值存在少許差異，v0的值取得更大一些，表示對該先驗信息的把握程度更高一些。由此得到的檢測器標注為MCMC-AMF(Info)。

圖3給出了p=0.1時的檢測性能，分別考慮K=12和32。

圖3 檢測性能(p=0.1)

首先可以看出，MF的檢測性能可以作為所有的檢測性能的上限，而AMF的檢測性能可以作為下限。這是因為參考數(shù)據(jù)中存在數(shù)據(jù)缺失，直接影響了檢測性能。通過對缺失數(shù)據(jù)的插值，LI-AMF的檢測性能相對AMF有了略微的提高，但是由于這種插值方法忽略了信號本身的統(tǒng)計特性，對檢測性能的提升是非常有限的。本文提出了MCMC-AMF和EM-AMF具有較好的檢測性能，且性能相當。這是因為這兩種方法都沒有使用協(xié)方差矩陣的先驗信息，如果使用先驗信息，MCMC-AMF(Info)的檢測性能可以得到進一步的提高。這種提高程度在K較小的情況下更為明顯，這是因為參考數(shù)據(jù)數(shù)量的增加可以彌補先驗信息的缺失。

進一步將數(shù)據(jù)缺失比例因子設置p=0.3，檢測性能見圖4。

圖4 檢測性能(p=0.3)

此時參考數(shù)據(jù)中數(shù)據(jù)丟失的個數(shù)增加，直接從參考數(shù)據(jù)中獲取雜波協(xié)方差矩陣的信息進一步降低，因此此時的AMF和LI-AMF的檢測性能會進一步降低。MCMC-AMF和EM-AMF的檢測性能也會受到影響，K=12時，與圖3(a)對比出現(xiàn)一定程度的下降，但下降程度不太明顯。而對于K=32時，檢測性能受到p的影響較小，這還是因為參考數(shù)據(jù)的增加在一定程度上可以彌補數(shù)據(jù)樣本丟失導致的信息損耗。同樣，利用先驗信息，MCMC-AMF(Info)的檢測性能可以得到進一步的提高。

5 結語

在復雜電磁環(huán)境中，各種可能的干擾會導致雷達接收數(shù)據(jù)中個別樣本丟失，如果不加以處理，或僅僅是簡單的插值處理，檢測性能往往會受到嚴重的影響。本文提出了基于EM算法和MCMC仿真的2種雜波協(xié)方差矩陣估計方法，如果關于協(xié)方差矩陣的先驗信息較少，采用EM算法和采用MCMC仿真方法得到的檢測性能是相當?shù)?。如果可以采用協(xié)方差矩陣的部分先驗信息，即便先驗信息不夠準確，仍然可以有效提升檢測性能。