趙夢草 顧海燕

(東北林業(yè)大學(xué)，哈爾濱，150040)

與分位數(shù)有關(guān)的回歸方法已經(jīng)有很長的統(tǒng)計(jì)學(xué)歷史，最早由Roger et al.[1]于1978年提出。分位數(shù)回歸能夠描述除中心位置外任意發(fā)散點(diǎn)處變量的變化趨勢，較經(jīng)典的最小二乘回歸具有獨(dú)特的優(yōu)勢。目前，分位數(shù)回歸在國內(nèi)外林業(yè)界得到了廣泛的應(yīng)用：高慧淋等[2]利用Reineke方程和線性分位數(shù)回歸技術(shù)，建立了不同分位點(diǎn)的長白山落葉松人工林最大林分密度與林木平均胸徑的關(guān)系模型；Ramazan et al.[3]依據(jù)h-d模型評價了固定、校準(zhǔn)固定和校準(zhǔn)混合效應(yīng)模型、三分位數(shù)和五分位數(shù)回歸5種替代建模方法。Paula et al.[4]開發(fā)了桉樹人工林的h-d方程，研究了Harrison方程和配有迭代重加權(quán)最小二乘法。Som et al.[5]將分位數(shù)回歸系統(tǒng)運(yùn)用到對樹木直徑增長函數(shù)的研究中，比較了混合效應(yīng)模型、九分位數(shù)、五分位數(shù)、三分位數(shù)四種回歸方法。本文利用分位數(shù)回歸，研究影響樹高的因素并對其影響程度的大小進(jìn)行分析，為混合林的經(jīng)營策略提供參考。

1 研究區(qū)概況

研究地區(qū)位于黑龍江省大興安嶺地區(qū)新林區(qū)北部翠崗地區(qū)，海拔1 000～1 400 m，地理坐標(biāo)北緯43°～53°30′，東經(jīng)117°20′～126°。大興安嶺為寒溫帶大陸性季風(fēng)氣候，被稱為中國的“寒極”，南北氣候差異明顯，由北向南年均溫為-5.7～4.0 ℃，年降水量北部為400～500 mm、南部及部分西坡小于400 mm。森林覆蓋率達(dá)86.6%，木材蓄積量占全省26.6%，占全國7.8%；樹種以興安落葉松和樟子松為主。

2 研究方法

2.1 分位數(shù)回歸

分位數(shù)回歸是回歸分析的方法之一。分位數(shù)是指將一個隨機(jī)變量的概率分布范圍分為幾個等份的數(shù)值點(diǎn)。分位數(shù)回歸是給定回歸變量、估計(jì)響應(yīng)變量條件分位數(shù)的一個基本方法，不僅可以度量回歸變量在分布中心的影響，而且還可以度量在分布上尾和下尾的影響，進(jìn)一步推論因變量的條件概率分布。

線性分位數(shù)回歸的基本公式為：

(1)

式中：xi為第i個回歸變量；X=(1，x1，x2，…，xm)T是m+1維向量；b=(β0(τ)，β1(τ)，…，βm(τ))T；τ為分位數(shù)；系數(shù)回歸常數(shù)和回歸系數(shù)為β0(τ)、β1(τ)、…、βm(τ)。

2.2 數(shù)據(jù)處理

選擇翠崗地區(qū)的4塊落葉松白樺混交林樣地，實(shí)測樣地內(nèi)所有林木的樹高、胸徑、活枝高及樹冠東、南、西、北的冠幅，共獲得677組數(shù)據(jù)，分析不同τ的胸徑、活枝高及樹冠東、南、西、北冠幅與樹高的關(guān)系。

由圖1、圖2可見：樹冠東、南、西、北的冠幅與樹高的關(guān)系，在不同τ沒有十分明顯的區(qū)別，因此重點(diǎn)采用分位數(shù)回歸研究胸徑、活枝高與樹高的關(guān)系。統(tǒng)計(jì)研究的3個變量的基本信息見表1；其中間伐組實(shí)行三年一次間隔的弱度間伐。

圖中縱坐標(biāo)表示不同分位數(shù)回歸系數(shù)的參數(shù)估計(jì)值圖中陰影部分表示的95%的置信域。

圖中縱坐標(biāo)表示不同分位數(shù)回歸系數(shù)的參數(shù)估計(jì)值圖中陰影部分表示的95%的置信域。

表1 樹木特征因子統(tǒng)計(jì)

3 結(jié)果與分析

3.1 胸徑、活枝高與樹高的相關(guān)性

由表2可見：胸徑、活枝高與樹高都有較強(qiáng)線性關(guān)系，因此用線性模型分析比較合適。

3.2 胸徑與樹高關(guān)系的分位數(shù)回歸

由于樹高與胸徑呈現(xiàn)線性趨勢，因此采用一元線性分位數(shù)回歸模型，利用公式QY(τ|x)=β0(τ)+xβ1(τ)，τ∈(0，1)，x為胸徑，所得參數(shù)估計(jì)值見表3。

表2 胸徑、活枝高與樹高的相關(guān)系數(shù)

表3 樹高與胸徑關(guān)系的分位數(shù)回歸參數(shù)估計(jì)值

由表3可見：落葉松對照組，在τ=0.10，樹高增加最多，胸徑每增加1 cm，樹高增加約67.3 cm；在τ=0.90，樹高增加最少，胸徑每增加1 cm，樹高增加約50.7 cm；由最小二乘法得到，胸徑每增加1 cm，樹高平均增加約64.2 cm。落葉松間伐組，在τ=0.50，樹高增加最多，胸徑每增加1 cm，樹高增加約56.8 cm；在τ=0.90，樹高增加最少，胸徑每增加1 cm，樹高增加約45.6 cm；由最小二乘法得到，胸徑每增加1 cm，樹高平均增加約50.4 cm。

由表3可見：白樺對照組，在τ=0.90，樹高增加最多，胸徑每增加1 cm，樹高增加約89.6 cm；在τ=0.10，樹高增加最少，胸徑每增加1 cm，樹高增加約51.0 cm；由最小二乘法得到胸徑每增加1 cm，樹高平均增加約64.6 cm。白樺間伐組，在τ=0.75，樹高增加最多，胸徑每增加1 cm，樹高增加約70.5 cm；在τ=0.25，樹高增加最少，胸徑每增加1 cm，樹高增加約51.4 cm；由最小二乘法得到，胸徑每增加1 cm，樹高平均增加約61.8 cm。

圖3表示樹高與胸徑關(guān)系的分位數(shù)回歸直線，直線的斜率代表不同分位數(shù)下樹高隨胸徑變化的平均變化率。發(fā)現(xiàn)不同分位數(shù)的樹高隨胸徑的變化是不同的，因此利用分位數(shù)回歸能更全面地看出樹高與胸徑的關(guān)系。

Ⅰ～Ⅴ分別是τ為0.10、0.25、0.50、0.75、0.90的分位數(shù)回歸直線，虛線為最小二乘回歸直線。

3.3 活枝高與樹高關(guān)系的分位數(shù)回歸

由于樹高與活枝高呈現(xiàn)線性趨勢，因此也采用一元線性分位數(shù)回歸模型，利用公式QY(τ|x)=β0(τ)+xβ1(τ)，τ∈(0，1)，x為活枝高，所得參數(shù)估計(jì)值見表4。

表4 樹高與活枝高關(guān)系的分位數(shù)回歸參數(shù)估計(jì)值

由表4可見：落葉松對照組，在τ=0.75，樹高增加最多，活枝高每增加1 m，樹高增加約1.8 m；在τ=0.10，樹高增加最少，活枝高每增加1 m，樹高增加約1.4 m；由最小二乘法得到，活枝高每增加1 m，樹高平均增加約1.5 m。落葉松間伐組，在τ=0.50，樹高增加最多，活枝高每增加1 m，樹高增加約1.3 m；在τ=0.10，樹高增加最少，活枝高每增加1 m，樹高增加約1.0 m；由最小二乘法得到，活枝高每增加1 m，樹高平均增加約1.1 m。

由表4可見：白樺對照組，在τ=0.90，樹高增加最多，活枝高每增加1 m，樹高增加約1.7 m；在τ=0.10，樹高增加最少，活枝高每增加1 m，樹高增加約1.3 m；由最小二乘法得到，活枝高每增加1 m，樹高平均增加約1.5 m。白樺間伐組，在τ=0.50，樹高增加最多，活枝高每增加1 m，樹高增加約1.4 m；在τ=0.25，樹高增加最少，活枝高每增加1 m，樹高增加約1.3 m；由最小二乘法得到，活枝高每增加1 m，樹高平均增加約1.4 m。

圖4表示樹高與活枝高關(guān)系的分位數(shù)回歸直線，直線的斜率代表不同分位數(shù)下樹高隨活枝高變化的平均變化率。發(fā)現(xiàn)不同分位數(shù)的樹高隨活枝高的變化是不同的，因此利用分位數(shù)回歸能更全面地看出樹高與活枝高的關(guān)系。

Ⅰ～Ⅴ分別是τ為0.10、0.25、0.50、0.75、0.90的分位數(shù)回歸直線，虛線為最小二乘回歸直線。

3.4 胸徑、活枝高與樹高關(guān)系的分位數(shù)回歸

利用二元線性分位數(shù)回歸模型進(jìn)行回歸，QY(τ|x)=β0(τ)+x1β1(τ)+x2β2(τ)，τ∈(0，1)、x1為胸徑、x2為活枝高，所得參數(shù)估計(jì)值見表5。由表5可見，同一樣本數(shù)據(jù)，不同τ得到的參數(shù)估計(jì)值不同，分位數(shù)回歸比最小二乘法能夠更多的反映數(shù)據(jù)的局部信息。

表5 落葉松樹高分位數(shù)回歸參數(shù)估計(jì)值

圖5為不同τ時落葉松樹高隨胸徑、活枝高變化趨勢，τ∈(0，1)，間距為0.05，共有19個點(diǎn)。由圖5可見：樹高隨胸徑的線性增加變化，對照組總體呈上升趨勢，間伐組變化較為平緩；樹高隨活枝高的線性增加變化，對照組總體較為平緩，間伐組變化呈上升趨勢；在τ=0.95處，對照組和間伐組樹高隨胸徑和活枝高的線性增加變化都較小。圖5中兩圖的虛線表示由最小二乘法得到的參數(shù)估計(jì)，對照組，胸徑每增加1 cm，樹高約增加47.3 cm；活枝高每增加1 m，樹高約增加69 cm。間伐組，胸徑每增加1 cm，樹高約增加33.1 cm；活枝高每增加1 m，樹高約增加64 cm。

表6為白樺樹高線性分位數(shù)模型在不同τ時得到的參數(shù)估計(jì)值。

τ∈(0，1)，間距為0.05，共有19個點(diǎn)；虛線表示由最小二乘法得到的參數(shù)估計(jì)。

表6 白樺樹高分位數(shù)回歸參數(shù)估計(jì)值

由圖6可見：樹高隨胸徑的線性增加變化，對照組和間伐組均呈上升趨勢；樹高隨活枝高的線性增加變化，對照組和間伐組變化均呈下降趨勢。圖6中兩圖的虛線表示由最小二乘法得到的參數(shù)估計(jì)，對照組，胸徑每增加1 cm，樹高約增加33.5 cm；活枝高每增加1 m，樹高約增加0.99 m；間伐組，胸徑每增加1 cm，樹高約增加37.1 cm；活枝高每增加1 m，樹高約增加0.91 m。

4 結(jié)論與討論

本文利用分位數(shù)回歸研究了樹高、胸徑和活枝高的相關(guān)關(guān)系。在一元線性分位數(shù)回歸模型中，落葉松胸徑對樹高的影響在低尾處較明顯，而白樺胸徑對樹高的影響在高尾處較明顯，兩樹種對照組胸徑每增加1cm，樹高增加的高度都明顯高于間伐組；落葉松和白樺活枝高對樹高的影響均在中高尾處較明顯，兩樹種對照組活枝高每增加1m，樹高增加的高度都明顯高于間伐組。在二元線性分位數(shù)回歸模型中，落葉松和白樺胸徑對樹高的影響均在高尾處較明顯，而落葉松和白樺活枝高對樹高的影響均在低尾處較明顯，兩樹種對照組胸徑對樹高的影響以及活枝高對樹高的影響均明顯強(qiáng)于間伐組。在樹高、胸徑和活枝高的相關(guān)關(guān)系中，單個因素的影響規(guī)律與多個因素相比具有一定的差異，追求更加精準(zhǔn)的分析應(yīng)適當(dāng)選取影響程度大的一些影響因素綜合進(jìn)行分析。

τ∈(0，1)，間距為0.05，共有19個點(diǎn)；虛線表示由最小二乘法得到的參數(shù)估計(jì)。

可以選取適當(dāng)?shù)姆蔷€性方程研究樹高與其他樹木生長變量的關(guān)系，以獲得更全面的解釋和更多的有關(guān)樹木生長的信息，并且可以把此方法應(yīng)用到其他地區(qū)或其他樹種的樹高的研究上，以便對人工混交林的種植起到指導(dǎo)作用。