朱群鋒，王 璐，汪 超

(安徽工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，安徽 馬鞍山 243002)

優(yōu)化問題是指在滿足一定條件下，在眾多方案或參數(shù)值中尋找最優(yōu)方案或參數(shù)值，以使得某個或多個功能指標(biāo)達(dá)到最優(yōu)，或使系統(tǒng)的某些性能指標(biāo)達(dá)到最大值或最小值[1]。

受到人類智能、生物群體社會性或自然現(xiàn)象規(guī)律的啟發(fā)，人們發(fā)明了很多用于處理優(yōu)化問題的智能優(yōu)化算法，其中模仿自然界生物進(jìn)化機(jī)制的遺傳算法(GA)[2]，通過群體內(nèi)個體間的合作和競爭來優(yōu)化搜索的差分進(jìn)化算法(DE)[3]，模擬生物免疫系統(tǒng)學(xué)習(xí)和認(rèn)知功能的免疫算法(IA)[4]，模擬蟻群集體尋徑行為的蟻群算法(ACO)[5]，源于固體物質(zhì)退火過程的模擬退火算法(SA)[6]等。

2019年，Jain等[7]從飛鼠覓食搜尋過程的基本特征中得到啟發(fā)，提出飛鼠搜索方法(Squirrel Search Algorithm，簡稱SSA)。算法的基本思想是將飛鼠的位置看作是求解空間中的候選解，飛鼠的位置主要分布在正常樹、橡子樹和山核桃樹，分別代表一般解、次優(yōu)解和最優(yōu)解。假定森林中一般解的數(shù)量最多，只有唯一的最優(yōu)解和3個次優(yōu)解。森林中的飛鼠種群存在信息交互，最優(yōu)解引導(dǎo)次優(yōu)解和一般解，次優(yōu)解引導(dǎo)一般解。同時算法中引入了獵人和季節(jié)檢測的機(jī)制。當(dāng)飛鼠在森林樹木搜索過程中覺察到周圍有獵人出沒，則會隨機(jī)轉(zhuǎn)移到附近一個安全的位置。此外通過季節(jié)監(jiān)測常數(shù)檢測季節(jié)的變化，當(dāng)冬季結(jié)束時，位于普通樹的飛鼠即一般解會更活躍，為了更好地找尋食物，會基于飛行進(jìn)行重新定位。這個過程一直循環(huán)往復(fù)，直到滿足迭代停止條件。SSA在多區(qū)域太陽能、風(fēng)能綜合的熱電聯(lián)產(chǎn)經(jīng)濟(jì)調(diào)度問題方面獲得了應(yīng)用[8]。在SSA算法中，飛鼠在覓食搜尋過程中采取固定模式，使得全局搜索、局部搜索的能力和收斂速度及精度仍然有提升的空間。

粒子群算法具有算法早期收斂數(shù)度快的特點，但也存在著精度較低、易發(fā)散等缺點。優(yōu)化數(shù)學(xué)模型由慣性部分、認(rèn)知部分和社會部分3部分組成[9]。其中,慣性部分中加入合適的慣性權(quán)重能有效兼顧算法的全局搜索和局部搜索能力；認(rèn)知部分和社會部分中引入合適的學(xué)習(xí)因子可有效提高算法收斂速度和跳出局部最優(yōu)的能力。

為了有效避免基本SSA算法陷入局部最優(yōu)解的困境，本文提出了一種基于粒子群算法策略改進(jìn)的飛鼠優(yōu)化算法，所提的算法在以下兩個方面作了改進(jìn)：

(1)受粒子群算法策略的啟發(fā)，基于社會部分設(shè)計了一種新的飛鼠個體位置更新公式，在更新公式中加入了慣性權(quán)重和學(xué)習(xí)因子，可平衡SSA算法的全局探索和局部開發(fā)能力，同時加快了算法的收斂速度。

(2)加入概率判斷函數(shù)，抑制算法的過早收斂，提高算法的密集搜索能力，進(jìn)一步平衡SSA算法的全局探索和局部開發(fā)能力。

通過12個基準(zhǔn)函數(shù)測試，比較了本文算法與其他5個常用智能優(yōu)化算法的計算結(jié)果，驗證了本文算法的有效性。

1 改進(jìn)的SSA算法

基于粒子群算法策略改進(jìn)的飛鼠優(yōu)化算法有以下6個步驟：

(1)假設(shè)飛鼠個體數(shù)目為N和最大進(jìn)化代數(shù)為Tmax。N個個體隨機(jī)更新他們的位置，具體計算如下：

SFi=SFL+rand(1,D)×(SFU-SFL)(i=1,2,···,N)

(1)

式中：SFi表示第i個體更新的位置；D表示該飛鼠所在空間的維數(shù)；SFU表示搜索空間的上界；SFL表示搜索空間的下界。

(2)計算各個飛鼠位置對應(yīng)的適應(yīng)度，并根據(jù)適應(yīng)度大小對飛鼠所在的位置進(jìn)行排序，最優(yōu)的為山核桃樹，次于最優(yōu)的3個飛鼠的位置為橡子樹，剩下的飛鼠位置位于正常樹。

(3)飛鼠進(jìn)行覓食搜尋階段，該覓食的過程可能出現(xiàn)3種情況。

第一種情況為橡子樹上的飛鼠向山核桃樹移動。

(2)

如果r1>Pdp，表示沒有獵人出現(xiàn)，飛鼠隨機(jī)轉(zhuǎn)移到附近一個安全的位置；如果r1≤Pdp，表示獵人出現(xiàn)，飛鼠被迫縮小范圍，它們的位置重新隨機(jī)定位。

第二種情況為正常樹上的飛鼠向山核桃樹移動。

(3)

第三種情況為正常樹上的飛鼠向橡子樹移動。

(4)

式中：r3為0到1之間的隨機(jī)數(shù)；r4為0到1之間的隨機(jī)數(shù)，其中w為0.8，c1=c2=1.494 45。

R=Nh/(N-4)

(5)

式中：Nh表示正常樹上的飛鼠飛往山核桃樹上的數(shù)量；N-4表示正常樹上飛鼠的數(shù)量；經(jīng)過多次算法測試，R=0.45時算法性能較好。

(4)與第2個步驟相同。

(6)

(7)

當(dāng)季節(jié)轉(zhuǎn)換為非冬季時，位于正常樹上的飛鼠即一般解會更活躍，為了更好地找尋食物，會基于Le′υy飛行進(jìn)行重新定位，依照公式(8)更新自己的位置。

(8)

Le′υy是一種隨機(jī)分布，如公式(9)。

(9)

式中：β是常數(shù)，取1.5；σ通過公式(10)計算。

(10)

式中：Γ(x)=(x-1)!.

(6)重復(fù)上述步驟直至進(jìn)化代數(shù)大于Tmax。

2 算法測試

本文選取12個國際常用優(yōu)化測試函數(shù)作為測試集，包含4個單峰測試函數(shù)F1、F2、F3和F4，4個多峰函F5、F6、F7和F8以及4個固定維度下的復(fù)雜多峰函數(shù)F9、F10、F11和F12。單峰測試函數(shù)如表1所示。優(yōu)化算法對比方面，本文選取了原始的飛鼠搜索算法(SSA)、標(biāo)準(zhǔn)的粒子群算法(PSO)、離子運動算法(IMO)、蝗蟲優(yōu)化算法(GOA)和差分進(jìn)化算法(DE)進(jìn)行比較。

2.1 算法參數(shù)設(shè)置

為了體現(xiàn)公正性，每一種算法均在同一個實驗環(huán)境中測試；本文所用編程軟件為MATLAB R2017 a，其計算機(jī)配置為Windows 10系統(tǒng)，CPU為Intel(R) Core(TM)i5-4258U CPU@2.4 GHz，優(yōu)化算法中的共同參數(shù)為：種群規(guī)模N均為50，此外，每個優(yōu)化算法均對測試函數(shù)做30次獨立運行。

2.2 算法性能評價指標(biāo)

傳統(tǒng)的性能評價對比中，優(yōu)化算法最后的收斂平均值和相應(yīng)的方差是衡量優(yōu)化算法性能的一個基本指標(biāo)，前者表示算法的收斂精度值，后者表示算法的穩(wěn)定性，二者數(shù)值越小，算法性能越好。

在高維度50的情況下，單峰測試函數(shù)的平均收斂值(最優(yōu)結(jié)果的30次平均值減去理論最優(yōu)值)和方差，如表2所示。從表2可以看出，單峰函數(shù)F1、F2、F3、F4的平均收斂值和方差都優(yōu)于其他5個優(yōu)化算法。

表1 單峰測試函數(shù)

表2 單峰測試函數(shù)計算結(jié)果統(tǒng)計表

圖1 50維單峰測試函數(shù)的迭代曲線

為分析各個算法的收斂情況，50維度下優(yōu)化算法的計算迭代曲線圖如圖1所示。其中橫坐標(biāo)代表迭代次數(shù)，縱坐標(biāo)代表函優(yōu)差(目標(biāo)函數(shù)值與理論最優(yōu)值之差)。從圖1可以看出，本文算法的收斂速度、收斂精度和收斂穩(wěn)定性優(yōu)于其它算法，尤其在測試函數(shù)F1、F3和F4上較為明顯，驗證了本文算法的有效性。

為了進(jìn)一步考察本文算法的性能，4個50維度和4個固定維度的復(fù)雜多峰測試函數(shù)如表3所示。4個固定維度函數(shù)F9、F10、F11和F12的維度分別為3維、4維、4維和4維。多峰測試函數(shù)的平均收斂值和方差的計算結(jié)果如表4所示。從表4可以看出，8個測試函數(shù)的平均收斂值除F5外，本文算法都優(yōu)于其它算法；方差除F5、F9、F11和F12外，本文算法都優(yōu)于其它算法。

表3 復(fù)雜多峰測試函數(shù)

表4 復(fù)雜多峰測試函數(shù)計算結(jié)果統(tǒng)計表

圖2 復(fù)雜多峰測試函數(shù)的迭代曲線

8個復(fù)雜多峰測試函數(shù)的計算迭代曲線圖如圖2所示。從圖2可以看出，本文算法的計算結(jié)果從整體性能上優(yōu)于其它算法。相較于之前的飛鼠優(yōu)化算法，本文改進(jìn)算法在收斂速度、收斂精度和收斂穩(wěn)定性方面都有明顯的提升，驗證了本文改進(jìn)算法的有效性。

3 結(jié) 語

針對飛鼠優(yōu)化算法的不足，本文提出一種基于粒子群算法策略改進(jìn)的飛鼠優(yōu)化算法。基于12個基準(zhǔn)測試函數(shù)，計算結(jié)果顯示了該改進(jìn)算法在收斂速度、收斂精度和收斂穩(wěn)定性方面均有提升。此外，本文也存在不足之處，只是簡單的引入了粒子群算法策略的思想，沒有對權(quán)重和學(xué)習(xí)因子的取值對算法優(yōu)化性能的影響進(jìn)行深入的討論。