井照敬，張 玉

(巢湖學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，安徽 巢湖 238000)

20世紀(jì)80年代，Schatte[1]和Brosamler[2]討論了幾乎處處中心極限定理，近年來，該理論一直是概率極限理論研究的熱點.Berkes等[3]構(gòu)造了一系列獨立隨機變量序列，使其滿足幾乎處處中心極限定理但不滿足中心極限定理.這說明在實際生活中，幾乎處處中心極限定理的應(yīng)用更廣泛.隨后，Berkes等[4]推廣了文獻(xiàn)[3]，在無界函數(shù)條件下得到幾乎處處中心極限定理.之后，獨立隨機變量的幾乎處處中心極限定理被推廣到相依序列[5-7].筆者的主要目的是證明NA序列的隨機和序列依然滿足幾乎處處中心極限定理，且在幾種不同權(quán)重條件下該結(jié)論依然成立.

定義1[1]獨立同分布的隨機變量部分和的幾乎處處中心極限定理的簡單形式如下：

其中I(·)為示性函數(shù)，Φ(·)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.

定義1是最常見的幾乎處處中心極限定理的形式.近年來，該結(jié)論通過不同條件在各種相依類型上得到證明.

其中Z～N(0,σ2).

定義2[8]稱隨機變量X1,…,Xn(n≥1)為負(fù)相協(xié)的(簡記NA), 如果對于任意2個具有相同單調(diào)性的函數(shù)f1和f2，以及集合{1,2，…，n}的任意2個非空且不相交子集A和B,有

Cov(f1(Xi,i∈A),f2(Xj,j∈B))≤0.

若隨機變量X1,X2，…,Xn是NA的,f1,f2,…,fn是非減函數(shù), 則隨機變量f1(X1),f2(X2),…,fn(Xn)也是NA的.

定義3[7]稱隨機變量X1,…,Xn(n≥1)為正相協(xié)的(簡記PA),如果對于任意2個使得協(xié)方差存在且對每個變元均非降的函數(shù)g1和g2，以及集合{1,2，…，n}的任意2個非空且不相交子集A和B,有

Cov(g1(Xi,i∈A),g2(Xj,j∈B))≥0.

對于隨機變量序列{Xk，k≥1}和{Nn,n≥1}，做出以下假設(shè)：

引理2[9]設(shè){Xn,n≥1}是嚴(yán)平穩(wěn)的、均方可積的相協(xié)隨機序列，且滿足假設(shè)(H1)和(H2)，則有

(1)

易證(1)式對于NA序列也成立.

證明記

則f-(x1,…,xn)是關(guān)于每個分量都非增的函數(shù).關(guān)于f+(x1,…,xn)與f-(x1,…,xn)，由單調(diào)性可知Cov(f+(x1,…,xn),f-(x1,…,xn))≤0，于是

(2)

(3)

于是由B-C引理可知，

(4)

E(Zn(f))→E(f(Z))n→+∞.

(5)

結(jié)合(4)，(5)式，可得

(6)

接下來還需證明

(7)

要證明(7)式成立，可通過如下計算：

其中

(8)

由于|f|是Lipschitz函數(shù)，因此由(4)式顯然可得

于是

(9)

綜上可知(3)式成立.