任金霞，黃藝培，蔣夢倩

(江西理工大學 電氣工程與自動化學院，江西 贛州 341000)

0 引 言

永磁同步電動機(permanent magnet synchronous motors，PMSM)由于其高效率、低慣性和高轉矩慣量比等高性能特性而在工業(yè)中得到廣泛應用。在許多應用中，PMSM的快速響應和高精度轉速控制都是重要的技術指標。

永磁同步電機一般用傳感器來檢測轉子的位置和轉速，但這會降低永磁同步電機的魯棒性。在很多環(huán)境下，傳感器并不可靠，反而會增加系統(tǒng)的復雜性并可能導致電磁干擾問題，無傳感器方法則可以避免這些問題。目前有許多估計永磁同步電機轉速的技術方法，如高頻注入法和擴展卡爾曼濾波器(EKF)技術。但是這些技術方法的使用都要經(jīng)過大量復雜的信號處理運算，這增加了計算的難度和系統(tǒng)的復雜度。通過分析發(fā)現(xiàn)，模型參考自適應控制(model reference adaptive control，MRAC)技術能夠有效地解決這些問題。MRAC是用于估算轉子速度和位置最好的技術之一，由于其在性能方面需要較少的計算時間，因此易于實現(xiàn)。但是MRAC一般適用于低速且精度要求不高的場合[3]。

為提高系統(tǒng)的魯棒性，本文提出將分數(shù)階理論應用于模型參考自適應系統(tǒng)中，在同步旋轉坐標系中根據(jù)PMSM的電流方程建立可調模型和參考模型，并以參考模型和可調模型的d-q軸電流差值作為誤差，轉速作為可調參數(shù)，根據(jù)分數(shù)階Lyapunov穩(wěn)定性理論設計分數(shù)階自適應律。在MATLAB/Simulink環(huán)境下進行仿真實驗，實驗結果顯示，分數(shù)階自適應律應用于模型參考自適應系統(tǒng)具有明顯優(yōu)越性。

1 分數(shù)階微積分

分數(shù)階微積分實際上是任意階微積分，階數(shù)甚至可以為復數(shù)[4]。分數(shù)階微積分算子定義為

(1)

在分數(shù)階理論的發(fā)展過程中，出現(xiàn)了多種定義，最常見的R-L分數(shù)階積分定義為

(2)

式中：t>0，α∈R+；Γ(α)為Gamma函數(shù)，

(3)

2 PMSM模型參考自適應系統(tǒng)

本文以永磁同步電機的電壓和電流作為自適應控制系統(tǒng)的輸入，根據(jù)參考模型和可調模型的輸出電流誤差得到轉速誤差信息，由此設計分數(shù)階自適應律。分數(shù)階MRAC設計框圖見圖1。

圖1 分數(shù)階MRAC設計框圖

2.1 參考模型和可調模型

表貼式三相PMSM在同步旋轉坐標系下的電壓方程為

式中：ud,uq,id,iq分別為同步旋轉坐標系下定子的d-q軸電壓和電流；Ls為d-q軸定子等效電感；ωe為電機轉速；ψf為磁鏈；R為定子電阻。

將式(4)寫成電流方程的形式：

(5)

令

則式(5)可變換為

(7)

式(7)可簡寫為

(8)

將式(8)寫成狀態(tài)空間表達式

(d/dt)i′=Ai′+Bu′，

(9)

式(9)中的狀態(tài)矩陣A包含轉子速度信息，因此可將此式作為可調模型，ωe為可調參數(shù)，三相PMSM為參考模型。

將式(8)以估計值表示為

(10)

式(10)可簡寫為

(11)

(12)

將式(12)寫成

(13)

2.2 分數(shù)階Lyapunov穩(wěn)定性理論

考慮到電機中的電容和電感都具有分數(shù)階特性，引用文獻[5]中的分數(shù)階Lyapunov穩(wěn)定性定理，此處不再證明。

2.3 分數(shù)階自適應律的設計

則式(13)可表示為

(14)

設計Lyapunov函數(shù)為

(15)

其中，系數(shù)γ>0。

對式(15)求α階導，得

(16)

(17)

(18)

令p為單位陣，則

可得

設KI=γ，為提高系統(tǒng)的響應速度，引入比例環(huán)節(jié)，則

(21)

3 仿真實驗與結果分析

按照圖2所示的PMSM無傳感器矢量控制框圖，在MATLAB/Simulink環(huán)境下搭建仿真模型。其中，電機的仿真參數(shù)如表1所示。

圖2 基于分數(shù)階MRAC的PMSM矢量控制框圖

將自適應律的參數(shù)值設為KI=0.5，KP=0.3，α的取值約束在[0.1，1]間，經(jīng)過多次實驗，發(fā)現(xiàn)當分數(shù)階次取α=0.1時，能取得較好的控制效果。為了分析分數(shù)階模型參考自適應系統(tǒng)具有的動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能，與傳統(tǒng)整數(shù)階模型參考自適應系統(tǒng)得出的仿真結果進行對比如下。

3.1 電機在空載狀態(tài)下的響應

電機在空載狀態(tài)下啟動，給定轉速為300 r/min,仿真結果如圖3和圖4 所示。

3.2 轉速突變時的電機響應

電機在空載狀態(tài)下啟動，給定轉速為300 r/min，在0.3 s時轉速突變?yōu)?50 r/min，仿真結果如圖5和圖6所示。

表1 電機仿真參數(shù)

圖3 電機實際轉速

圖4 電機轉速估計誤差

3.3 加入5 N負載時的電機響應

電機在空載狀態(tài)下啟動，給定轉速為300 r/min，在0.3 s時加入5 N負載，仿真結果如圖7和圖8所示。

從圖3和圖4中可以看到，對于PMSM的轉速實際值，當α=0.1時電機轉速能夠快速響應，且相比于整數(shù)階，有較小的超調量，調節(jié)時間短，在0.05 s左右能快速達到穩(wěn)定狀態(tài)，而整數(shù)階情形下則需要0.18 s左右達到穩(wěn)定狀態(tài)。在分數(shù)階情形下，系統(tǒng)進入穩(wěn)定狀態(tài)的時間僅為整數(shù)階情形下的27.8%。

從圖5～6中可以看到，在轉速突變的情況下，α=0.1時電機轉速可快速達到650 r/min，能夠在0.36 s左右迅速達到穩(wěn)定狀態(tài)，并且在轉速突變時，轉速估計誤差穩(wěn)定在10 r左右。而當α=1時，電機在0.4 s左右才能進入到穩(wěn)定狀態(tài)，

圖5 轉速突變時電機實際轉速

圖6 轉速突變時電機轉速估計誤差

耗時較長，且轉速估計誤差穩(wěn)定時抖動較大，為20 r左右。在分數(shù)階情形下，系統(tǒng)進入穩(wěn)定狀態(tài)的時間提高了50%，轉速估計精度提高了50%。

從圖7～8中可以看到，當系統(tǒng)加入負載時，在整數(shù)階情形下，電機實際轉速會受到較大的擾動，在0.3 s時最大轉速為470 r左右。而當α=0.1時，電機實際轉速受到的擾動較小，在0.3 s時最大轉速為400 r左右，然后迅速回到穩(wěn)定狀態(tài)，最大轉速估計誤差降低了29.4%，有較強的抗擾動能力。

從以上仿真結果可以看出，相比于整數(shù)階自適應律情形下，PMSM在分數(shù)階自適應律情形下調速性能得到了提高，有較好的魯棒性。

圖7 加入負載時電機實際轉速

圖8 加入負載時電機轉速估計誤差

4 結 論

本文提出了一種基于Lyapunov穩(wěn)定性理論的分數(shù)階MRAS方法并應用于PMSM中。將PMSM本身作為參考模型，PMSM電流方程作為可調模型和適應機制，為獲得更精確的轉速，將分數(shù)階理論應用于自適應律中。仿真結果表明，相比于整數(shù)階情形，在分數(shù)階情形下，電機調速系統(tǒng)能夠有較好的動態(tài)響應和較好的魯棒性。