楊 鑫

(重慶理工大學(xué)化學(xué)化工學(xué)院，重慶 400054)

在過(guò)去的幾十年里，基于模型的PID控制器設(shè)計(jì)研究發(fā)展迅速，提出了很多設(shè)計(jì)方法，例如連續(xù)循環(huán)法［1］、直接合成法［2］、內(nèi)?？刂品?(internal model control，IMC)［3-6］等［7-11］。其中 IMC-PID是應(yīng)用最廣泛的方法［11］，通過(guò)調(diào)節(jié)PID設(shè)計(jì)算法中的λ參數(shù)，可得到很好的控制效果。但是此過(guò)程需要先得到過(guò)程模型，并需要通過(guò)模擬或是工廠實(shí)驗(yàn)來(lái)調(diào)節(jié)其參數(shù)，很費(fèi)時(shí)間，工程代價(jià)也比較高。

為克服上述缺點(diǎn)，Campi等［12］提出了一種基于過(guò)程輸入輸出數(shù)據(jù)，不需要建立過(guò)程模型的PID控制器設(shè)計(jì)方法——虛擬參考反饋參數(shù)整定法(virtual reference feedback tuning，VRFT)。但是該方法的應(yīng)用只限于離散時(shí)間系統(tǒng)［12-13］。為此Yang等［14-15］將VRFT方法發(fā)展到連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)，提出了一種基于數(shù)據(jù)的PID控制器的設(shè)計(jì)方法。此方法不需要建立過(guò)程模型和進(jìn)行反復(fù)實(shí)驗(yàn)來(lái)調(diào)節(jié)控制器參數(shù)，取得了很好的設(shè)計(jì)效果。Yang等［14-15］的研究表明，參考模型的選取對(duì)基于數(shù)據(jù)的PID控制器設(shè)計(jì)很重要。為研究不同參考模型對(duì)控制器設(shè)計(jì)效果的影響，本文采用2個(gè)參考模型對(duì)過(guò)程進(jìn)行基于數(shù)據(jù)的PID控制器設(shè)計(jì)，并對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行分析比較。

1 基于數(shù)據(jù)的PID控制器設(shè)計(jì)

在基于數(shù)據(jù)的PID控制器設(shè)計(jì)中，需要用到一個(gè)參考模型，如圖1所示。

圖1 參考模型

參考模型T(s)表示一個(gè)反饋控制系統(tǒng)，其中包含了一個(gè)線性過(guò)程G(s)和PID控制器C(s)，如圖2所示。

控制器的設(shè)計(jì)目標(biāo)是令圖2中的反饋控制系統(tǒng)盡可能接近事先選定的圖1中的參考模型T(s)。

圖2 反饋控制系統(tǒng)

過(guò)程G(s)未知，但是其過(guò)程輸入輸出數(shù)據(jù)U(s)和Y(s)可以通過(guò)開環(huán)實(shí)驗(yàn)得到。令s=jω，通過(guò)對(duì)過(guò)程輸入輸出數(shù)據(jù)進(jìn)行離散傅里葉變換，得到在不同頻率下的輸入輸出數(shù)據(jù) U(jωi)和Y(jωi)，其中是離散傅里葉變換計(jì)算需要的頻率范圍的上限。最后控制器的設(shè)計(jì)目標(biāo)變?yōu)樵陬l率范圍 [ 0 ωmax]內(nèi)的最小化問(wèn)題，見方程(1)。推導(dǎo)過(guò)程詳見文獻(xiàn)［14-15］。

其中:Re(·)和Im(·)分別表示復(fù)數(shù)矩陣(或者向量)的實(shí)部和虛部;θ是參考模型T(s)的調(diào)節(jié)參數(shù);Kc是比例增益;τI是積分時(shí)間;τD是微分時(shí)間。

對(duì)給定的θ，通過(guò)最小二乘法可得到方程(1)的解:

在給定的θ范圍內(nèi)，通過(guò)尋找最小的 J(θ)，也就是J(θ*)，其相應(yīng)的解W*(θ*)可用來(lái)計(jì)算PID控制器參數(shù)。

2 參考模型T(s)及ωmax

本文選取了2個(gè)參考模型，第1個(gè)模型是基于環(huán)路傳遞方程L(s)的參考模型［9］，另一個(gè)模型是二階加純滯后模型(SOPDT)［8］。

因?yàn)棣豰ax跟控制器設(shè)計(jì)緊密相關(guān)，可將ωmax設(shè)定為反饋系統(tǒng)的帶寬頻率ωb。由于過(guò)程模型和控制器未知，因此計(jì)算ωb的唯一方法是通過(guò)參考模型［14-15］，見式(8)。

2.1 參考模型1及ωmax

參數(shù)θ的范圍包含過(guò)程的時(shí)間延遲范圍，并與方程(1)的優(yōu)化求解有關(guān)。將參考模型1代入式(8)，對(duì)每個(gè) θ，ωb可通過(guò)式(10)得到［14］。

2.2 參考模型2及ωmax

第2個(gè)參考模型是二階加純滯后模型:

在控制器設(shè)計(jì)中，參考模型［15］采用 τ =0.5θ，ξ=0.9或1.0。既然 τ 是 θ的函數(shù)，ξ是固定的，因此方程(1)也與參數(shù)θ相關(guān)，θ的范圍同樣包括過(guò)程的時(shí)間延遲范圍。

將參考模型2代入式(8)，對(duì)每個(gè) θ，得到

基于數(shù)據(jù)的PID控制器設(shè)計(jì)方法分為以下幾步來(lái)執(zhí)行:

步驟1 從開環(huán)實(shí)驗(yàn)中得到過(guò)程輸入輸出數(shù)據(jù)u(t)和y(t)，并且給定θ的范圍。

步驟2 求解方程(1)。對(duì)每個(gè)θ，根據(jù)參考模型可得到相應(yīng)的ωb，令ωmax=ωb。

步驟3 用離散傅里葉變換得出過(guò)程輸入輸出數(shù)據(jù)的頻率響應(yīng) U(ωi)和Y(ωi)。

步驟4 重復(fù)步驟2和3，直到在給定的θ范圍內(nèi)得到最小的J，其相應(yīng)的最優(yōu)結(jié)果W*可用來(lái)計(jì)算得到最佳的PID控制器參數(shù)。

3 算例

圖3 輸入輸出數(shù)據(jù)(G1(s))

通過(guò)使用相同的輸入輸出數(shù)據(jù)和θ范圍，分別用上述2個(gè)參考模型設(shè)計(jì)得到了PID控制器。圖4比較了控制器的目標(biāo)單位階躍伺服響應(yīng)。表1列出了控制器參數(shù)和其控制響應(yīng)的絕對(duì)誤差積分(IAE)。由此看出，采用基于L(s)的參考模型得到的控制器要比采用2階加純滯后模型T(s)得到的控制器產(chǎn)生的響應(yīng)更快，但是過(guò)沖更大一點(diǎn)，振蕩也稍多一點(diǎn)。從IAE結(jié)果比較看來(lái)，用這2個(gè)參考模型設(shè)計(jì)得到的控制器性能很相似。

表1 基于數(shù)據(jù)的PID控制器設(shè)計(jì)(G1(s))

圖4 基于數(shù)據(jù)的PID控制器的目標(biāo)單位階躍伺服響應(yīng)(G1(s))

除了第1個(gè)例子的G1(s)，也對(duì)下面所列的其他10個(gè)過(guò)程進(jìn)行比較研究。對(duì)每個(gè)過(guò)程，采用相同的輸入輸出數(shù)據(jù)和θ范圍，用這2個(gè)參考模型分別設(shè)計(jì)了PID控制器。圖5比較了控制器產(chǎn)生的目標(biāo)單位階躍伺服響應(yīng)。通過(guò)比較可以看出，用基于L(s)參考模型設(shè)計(jì)的控制器要比第2個(gè)參考模型T(s)響應(yīng)稍快，但是過(guò)沖稍微大一點(diǎn)。表2比較了控制器參數(shù)和其產(chǎn)生的控制響應(yīng)的IAE數(shù)值。從IAE的比較來(lái)看，用這2個(gè)模型設(shè)計(jì)的PID控制器性能相當(dāng)。

表2 基于數(shù)據(jù)的PID控制器設(shè)計(jì)(G2(s)-G11(s))

圖5 基于數(shù)據(jù)的PID控制器的目標(biāo)單位階躍伺服響應(yīng)(G2(s)-G11(s))

4 結(jié)束語(yǔ)

介紹了在連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)下基于數(shù)據(jù)的PID控制器的設(shè)計(jì)方法，并研究比較了參考模型對(duì)該設(shè)計(jì)方法的影響效果。通過(guò)采用2種不同形式的參考模型來(lái)設(shè)計(jì)基于數(shù)據(jù)的PID控制器，結(jié)果表明，設(shè)計(jì)得到的控制器性能相當(dāng)。也就是說(shuō)，這2種參考模型都可以用來(lái)設(shè)計(jì)基于數(shù)據(jù)的PID控制器。該設(shè)計(jì)方法相對(duì)基于模型的IMC-PID控制器設(shè)計(jì)方法來(lái)說(shuō)，不需要事先確定過(guò)程模型，也不需要迭代實(shí)驗(yàn)來(lái)找出最佳的控制器調(diào)節(jié)參數(shù)，從而節(jié)省了時(shí)間，降低了工程成本。

［1］Ziegler J G，Nichols N B.Optimum settings for automatic controllers［J］.Transactions of ASME，1942，64:759-768.

［2］Chen D，Seborg D E.PI/PID controller design based on direct synthesis and disturbance rejection［J］.Industiral and Engineering Chemistry Research，2002，41:4807-4822.

［3］Garcia C E，Morari M.Internal model control.1.a unifying review and some new results［J］.Industrial and Engineering Chemistry Process Design and Development，1982，21:308-323.

［4］Chien I L，F(xiàn)ruehauf P S.Consider IMC tuning to improve controller performance［J］.Chemical Engineering Progress，1990，56:33-41.

［5］Lee Y，Park S，Lee M，et al.PID controller tuning for desired closed-loop responses for SI/SO systems［J］.AIChE Journal，1998，44:106-115.

［6］Skogestad S.Simple analytic rules for model reduction and PID controller tuning［J］.Journal of Process Control，2003，13:291-309.

［7］?str?m K J，H?gglund T.PID Controllers:Theory，Design and Tuning［M］.North Carolina，USA:International Society for Measurement and Control，1995.

［8］Wang Q G，Hang C C，Bi Q.A frequency domain controller design method［J］.Chemical Engineering Research and Design，1997，75:64-72.

［9］Huang H P，Jeng J C.Monitoring and assessment of control performance for single loop systems［J］.Industiral and Engineering Chemistry Research，2002，41:1297-1309.

［10］O’Dwyer A.Handbook of PI and PID controller tuning rules［M］.［S.l.］:Imperial College Press，2006.

［11］Li Y，Ang K H，Chong G C Y.Patents，software and hardware for PID control—An overview and analysis of the current art［J］.IEEE Control Systems Magazine，2006，26:42-54.

［12］Campi M C，Lecchini A，Savaresi S M.Virtual feedback reference tuning(VRFT):a new direct approach to the design of feedback controllers［C］//Proceedings of 39rd IEEE Conference on Decision and Control.Sydney:IEEE，2000:623-629.

［13］Kansha Y，Hashimoto Y，Chiu M S.New results on VRFT design of PID controller［J］.Chemical Engineering Research and Design，2008，86:925-931.

［14］Yang X，Xu B，Chiu M S.PID Controller Design Directly from Plant Data［J］.Industrial engineering and cheimistry research，2011，50:1352-1359.

［15］Yang X，Xu B，Chiu M S.A Data-Based Approach to PID Controller Design［C］//the 5th International Symposium on Design，Operation and Control of Chemical Processes，PSE Asia .Singapore:［s.n.］，2010.

［16］Skogestad S，Postlethwaite I.Multivariable Feedback Design:Analysis and Design［M］.New York:Wiley，1996.