孫霆，董春曦

西安電子科技大學(xué) 電子工程學(xué)院，西安 710071

近年來(lái)，無(wú)源定位算法由于其本身不輻射電磁信號(hào)，具有電磁隱蔽性[1]等優(yōu)點(diǎn)受到了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注，它已經(jīng)被大量應(yīng)用在無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)、雷達(dá)、麥克風(fēng)陣列以及聲吶系統(tǒng)[2-9]等領(lǐng)域中。無(wú)源定位技術(shù)可以歸納為依靠傳感器網(wǎng)絡(luò)獲取不同類型的觀測(cè)量進(jìn)行求解，這些觀測(cè)量主要包括到達(dá)時(shí)間(Time of Arrival,TOA)、到達(dá)時(shí)間差(Time Difference of Arrival,TDOA)、到達(dá)角(Angle of Arrival,AOA)、以及上述參數(shù)的相互結(jié)合。當(dāng)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)或者傳感器與目標(biāo)之間存在相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系時(shí)，還可以利用到達(dá)頻率差(Fequency Difference of Arrival,FDOA)觀測(cè)量對(duì)目標(biāo)的位置以及速度進(jìn)行估計(jì)。

本文主要針對(duì)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)無(wú)源定位算法進(jìn)行研究。由于其相關(guān)的最大似然問(wèn)題存在高度的非線性以及非凸性，因此尋找全局最優(yōu)解變得十分困難。為此，國(guó)內(nèi)外學(xué)者提出了大量的算法：線性化的最大似然估計(jì)(Maximum Likelihood Estimation,MLE)[10-11]是解決定位問(wèn)題十分有效的算法，但是這種算法的性能以及收斂性依賴于一個(gè)好的初始位置值，一旦該值選取較差其性能也會(huì)變差。為了克服這個(gè)問(wèn)題，Ho和Xu提出了著名的兩步加權(quán)最小二乘(Two-Stage Weighted Least Squares,TSWLS)算法[12]，TSWLS算法第1步引入額外變量并且建立了偽線性方程，隨后給出了加權(quán)最小二乘(Weighted Least Squares,WLS)解，第2步利用額外變量與目標(biāo)位置的關(guān)系建立了新的等式方程以提高定位精度。雖然TSWLS算法實(shí)時(shí)性較高，但是在定位精度方面還有待進(jìn)一步提高；半定松弛(SeminDefine Relaxation,SDR)算法[13-14]首先將定位問(wèn)題描述為具有二次約束條件的優(yōu)化問(wèn)題，隨后利用合理的近似以及適當(dāng)?shù)乃沙跅l件將其轉(zhuǎn)化為了半定規(guī)劃(SeminDefine Programming,SDP)問(wèn)題，最后利用優(yōu)化工具箱給出了具有高精度的估計(jì)值。但是這個(gè)問(wèn)題的計(jì)算復(fù)雜度較高，需要在實(shí)時(shí)性以及精度兩者之間進(jìn)行較好的折中。文獻(xiàn)[15]給出了一種基于定位誤差修正的算法，第1步與傳統(tǒng)的TSWLS相同，第2步對(duì)估計(jì)誤差做了修正并給出了最終的定位估計(jì)值。文獻(xiàn)[16]首先將定位問(wèn)題描述為具有二次約束條件的二次規(guī)劃(Quadratically Constrained Quadratic Programming,QCQP)問(wèn)題，隨后利用WLS的解，將二次約束轉(zhuǎn)化為了線性約束，即將QCQP問(wèn)題轉(zhuǎn)化為了線性約束二次規(guī)劃(Linearly Constrained Quadratic Programming,LCQP)問(wèn)題；最后利用廣義逆矩陣的性質(zhì)對(duì)LCQP問(wèn)題求解，并且形成一種迭代算法，這種算法具有閉式解的優(yōu)點(diǎn)，同時(shí)在高斯噪聲模型下，其定位性能優(yōu)于現(xiàn)存的技術(shù)。

除上述提到的非凸性以及非線性問(wèn)題，傳感器參數(shù)存在誤差時(shí)也會(huì)對(duì)無(wú)源算法的性能產(chǎn)生較大的影響，文獻(xiàn)[17]詳細(xì)闡述了不考慮傳感器參數(shù)誤差時(shí)產(chǎn)生的影響并且將TSWLS算法擴(kuò)展到了存在傳感器參數(shù)誤差時(shí)的場(chǎng)景中；隨后文獻(xiàn)[18]中的TSWLS在其基礎(chǔ)上進(jìn)一步提高了算法精度，并且該算法適用非相交多源的定位解算。文獻(xiàn)[13]中的SDR算法同樣給出了一種考慮了傳感器參數(shù)誤差的情況，但是SDR算法計(jì)算復(fù)雜度遠(yuǎn)高于TSWLS算法。而近幾年，文獻(xiàn)[19-20]分別提出了存在傳感器位置誤差情況下改進(jìn)的TSWLS算法以及多維標(biāo)度(MultiDimensional Scaling,MDS)算法；但是，這些算法是基于TDOA觀測(cè)量對(duì)目標(biāo)定位解算，并不能應(yīng)用到對(duì)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)參數(shù)估計(jì)的場(chǎng)景之中。因此針對(duì)存在傳感器參數(shù)誤差的情況下，研究一種運(yùn)動(dòng)目標(biāo)無(wú)源定位的閉式算法十分有必要。

本文主要針對(duì)TDOA/FDOA運(yùn)動(dòng)目標(biāo)定位場(chǎng)景，在考慮了傳感器存在參數(shù)誤差的情況下，提出了一種改進(jìn)的兩步加權(quán)最小二乘算法；該算法分為兩步，其中第1步與文獻(xiàn)[18]中經(jīng)典的TSWLS算法第1步相同，首先引入了輔助向量，并且建立了偽線性方程，給出了輔助向量的WLS解；第2步中，與文獻(xiàn)[18]有所區(qū)別，利用輔助向量中額外變量與目標(biāo)參數(shù)之間的關(guān)系，構(gòu)造了新的等式方程，并且利用WLS給出最終解。理論分析表明該算法在測(cè)量噪聲較小時(shí)下可以實(shí)現(xiàn)克拉美羅下界(Cramér-Rao Lower Bound,CRLB)[21]，并且該算法仍然是閉式解，計(jì)算復(fù)雜度與TSWLS算法相當(dāng)，遠(yuǎn)小于SDR算法。此外，經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)木S度調(diào)整，該算法同樣適用于對(duì)多非相交源的定位場(chǎng)景。仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所提算法的有效性。

1 定位場(chǎng)景

(1)

將所有可利用的傳感器位置和速度值使用向量形式表示為

(2)

(3)

式中：總的測(cè)量噪聲向量Δβ服從零均值高斯分布，其協(xié)方差矩陣為E(ΔβTΔβ)=Qβ。

不失一般性地，選取第1個(gè)傳感器為參考傳感器。因此由M個(gè)傳感器可以得到(M-1)個(gè)TDOA值，乘以信號(hào)傳播速度之后，得到如下表達(dá)式：

(4)

(5)

對(duì)式(4)兩邊關(guān)于時(shí)間求導(dǎo)有

(6)

(7)

(8)

(9)

2 算 法

本節(jié)具體給出所提出算法的推導(dǎo)過(guò)程，由于所提出的算法第1步與文獻(xiàn)[18]的第1步相同，因此第1步僅給出簡(jiǎn)單的總結(jié)；在新的第2步中，詳細(xì)給出了推導(dǎo)過(guò)程。

2.1 算法第1步

(10)

對(duì)式(4)移項(xiàng)并且兩邊進(jìn)行平方，將RD測(cè)量值ri1、可利用的傳感器位置si以及式(10)代入，同時(shí)僅保留線性誤差項(xiàng)可以得到一組TDOA等式為

(i=2,3,…,M)

(11)

式中：η1i=uo-s1+ri1ρuo,s1。

對(duì)式(11)兩邊關(guān)于時(shí)間求導(dǎo)可以得到一組FDOA方程為

(i=2,3,…,M)

(12)

(13)

(14)

(15)

同樣，矩陣Gt和Gf的每一行元素分別為

(16)

(17)

矩陣方程(14)的加權(quán)最小二乘解為

(18)

(19)

2.2 算法第2步

(20)

文獻(xiàn)[18]的第2步同樣考慮了這種非線性關(guān)系，并且建立了等式方程，而本文第2步建立了一個(gè)不同于文獻(xiàn)[18]的等式方程；另外，文獻(xiàn)[18]中的TSWLS第2步得到結(jié)果之后還需要進(jìn)行一些其他操作(如平方根運(yùn)算等)才能得到最終結(jié)果，相比之下，算法第2步更簡(jiǎn)潔明了，可以直接得到最終的WLS估計(jì)結(jié)果；第2步的具體過(guò)程如下。

(21)

將式(21)代入式(20)，并且只保留線性誤差項(xiàng)，則有如下等式：

(22)

另外，第1步得到的位置和速度估計(jì)誤差可以進(jìn)一步改寫為

(23)

聯(lián)合式(22)和式(23)，將它們用矩陣形式表示可以建立新的矩陣方程為

(24)

(25)

式(24)的WLS解為

(26)

(27)

同樣，由于E(Δφ1)=0，因此當(dāng)測(cè)量噪聲較小時(shí)第2步的估計(jì)近似為無(wú)偏估計(jì)，其協(xié)方差矩陣近似為

(28)

此外，還需要注意：

3 性能分析

本節(jié)將對(duì)所提出算法的性能進(jìn)行分析，給出本文定位場(chǎng)景下的CRLB，并且理論推導(dǎo)證明在測(cè)量噪聲較小時(shí)，所提算法可以達(dá)到CRLB。

(29)

(30)

式中:

(31)

(32)

即本文提出的算法在測(cè)量噪聲較小時(shí)能夠?qū)崿F(xiàn)CRLB。

4 仿真實(shí)驗(yàn)

(33)

表1 場(chǎng)景1中觀測(cè)站的位置與速度

圖1 近場(chǎng)目標(biāo)參數(shù)估計(jì)均方根誤差對(duì)比

圖2 近場(chǎng)目標(biāo)參數(shù)估計(jì)偏差對(duì)比

如圖2所示，對(duì)于近場(chǎng)目標(biāo)估計(jì)偏差性能而言，沒(méi)有考慮傳感器誤差的算法[15-16]具有較大的位置和速度估計(jì)偏差。當(dāng)測(cè)量噪聲較小時(shí)，TSWLS算法能夠提供和SDR算法以及本文提出算法比較接近的估計(jì)偏差，但是當(dāng)噪聲繼續(xù)增大時(shí)，TSWLS的偏差性能開始下降。當(dāng)測(cè)量噪聲達(dá)到5 dB時(shí)，TSWLS算法的目標(biāo)位置估計(jì)偏差比本文提出的算法大約高出了6 dB，同樣，目標(biāo)速度估計(jì)偏差比本文提出的算法大約高出了6 dB。SDR算法與本文所提出的算法在整個(gè)噪聲功率范圍內(nèi)對(duì)于目標(biāo)參數(shù)估計(jì)的偏差比較接近，均能夠?qū)崿F(xiàn)較小的位置與速度估計(jì)偏差，這兩種算法具有較好的定位性能。但是需要強(qiáng)調(diào)的是，SDR算法求解優(yōu)化問(wèn)題需要大量的計(jì)算復(fù)雜度，該算法實(shí)時(shí)性難以保證；本文算法是一種閉式解法，因此具有較高的實(shí)時(shí)性(見第5節(jié)表2)。

圖3 遠(yuǎn)場(chǎng)目標(biāo)參數(shù)估計(jì)均方根誤差對(duì)比

圖4 遠(yuǎn)場(chǎng)目標(biāo)參數(shù)估計(jì)均方根誤差對(duì)比

如圖5所示，對(duì)于位置估計(jì)均方根誤差，當(dāng)噪聲小于-5 dB時(shí)，2種算法均能夠?qū)崿F(xiàn)CRLB。但是當(dāng)噪聲繼續(xù)增大時(shí)，2種算法定位性能開始下降，當(dāng)噪聲為0 dB時(shí)，本文算法得到的均方根誤差比文獻(xiàn)[18]的TSWLS得到的均方根誤差大約降低了4 dB。對(duì)于速度估計(jì)均方根誤差，當(dāng)噪聲大于-15 dB時(shí)，文獻(xiàn)[18]TSWLS算法的估計(jì)性能出現(xiàn)了較大的下降，而本文算法在噪聲大于-5 dB時(shí)才開始偏離CRLB，本文算法具有更好的魯棒性。圖6給出了2種算法對(duì)于目標(biāo)參數(shù)估計(jì)的偏差性能，對(duì)于位置估計(jì)偏差性能，文獻(xiàn)[18]的算法與本文算法十分接近；但是對(duì)于速度估計(jì)偏差，本文算法顯然比文獻(xiàn)[18]的算法具有更小的偏差，當(dāng)測(cè)量噪聲等于-5 dB時(shí)，本文算法比文獻(xiàn)[18]算法的估計(jì)偏差大約減少了7 dB。

圖5 兩個(gè)不相交目標(biāo)參數(shù)估計(jì)均方誤差對(duì)比

圖6 兩個(gè)不相交目標(biāo)參數(shù)估計(jì)偏差對(duì)比

5 計(jì)算量分析

本節(jié)主要對(duì)所提出算法的計(jì)算復(fù)雜度進(jìn)行分析，為了分析簡(jiǎn)便，主要以實(shí)數(shù)乘法進(jìn)行分析。

首先分析本文算法第1步的計(jì)算量。

接下來(lái)給出第2步計(jì)算量的分析過(guò)程，第2步中計(jì)算與觀測(cè)站數(shù)目無(wú)關(guān)，因此能夠得到準(zhǔn)確的乘法次數(shù)。

此外，由于TSWLS的第1步需要對(duì)加權(quán)矩陣初始化，并且更新加權(quán)矩陣W1一般需要重復(fù)計(jì)算兩次，則第1步中1)需要計(jì)算2次，2)需要計(jì)算3次，因此本文提出的算法一共需要(120M3-120M2+688M+5 688)次的實(shí)數(shù)乘法運(yùn)算。同樣，文獻(xiàn)[17-18]中的TSWLS算法第2步均與觀測(cè)站數(shù)目無(wú)關(guān)，計(jì)算量主要都體現(xiàn)在了第1步中，因此本文算法與它們計(jì)算量相當(dāng)，這從表2中也可以看出，表2中給出了考慮傳感器參數(shù)誤差存在情況下不同算法的平均CPU運(yùn)行時(shí)間，顯然TSWLS算法以及本文算法計(jì)算量相當(dāng)。而SDR算法需要進(jìn)行大量的運(yùn)行時(shí)間。本文算法具有相當(dāng)高的實(shí)時(shí)性，這一點(diǎn)在定位解算中具有重要意義。

表2 不同算法平均CPU執(zhí)行時(shí)間

6 結(jié) 論

1) 所提出算法在測(cè)量噪聲較小時(shí)能夠?qū)崿F(xiàn)CRLB。另外，經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)木S度調(diào)整，可以應(yīng)用于多非相交源的定位場(chǎng)景中。

2) 所提算法計(jì)算復(fù)雜度與TSWLS算法相當(dāng)，同時(shí)能提供不高于SDR算法的均方根誤差和偏差估計(jì)性能。