“雙冪次+指數(shù)式”的下肢康復(fù)機器人滑?？刂?/h1>
2020-03-24 09:45:40沈顯慶任琳琳
黑龍江科技大學(xué)學(xué)報 2020年1期
沈顯慶， 任琳琳
(黑龍江科技大學(xué) 電氣與控制工程學(xué)院， 哈爾濱 150022)
0 引 言
下肢康復(fù)機器人是通過模擬正常人行走的步態(tài)規(guī)律，幫助由于各種原因?qū)е碌南轮c患者，進行康復(fù)訓(xùn)練的一種機電一體化系統(tǒng)。隨著人口老齡化的加重，因脊髓損傷以及腦梗等疾病引起的下肢運動功能障礙的患者越來越多。因此，諸多學(xué)者開始關(guān)注研究下肢康復(fù)機器人的控制方法和控制策略?；？刂芠1]具有快速響應(yīng)且在控制過程中與控制對象的參數(shù)變化及擾動無關(guān)、不需要系統(tǒng)在線進行辨識等特點，因此，滑模控制成為機器人裝置的首選方法。
在人機交互的過程中，下肢康復(fù)機器人滑?？刂葡到y(tǒng)會存在抖振現(xiàn)象，機器人的跟蹤效果不夠精確，且對于剛性結(jié)構(gòu)而言，跟蹤的精度不夠，很可能對患者產(chǎn)生二次傷害。楊婷等[2]對比了基于估計模型和模型上界的兩種滑?？刂品椒?，發(fā)現(xiàn)兩種方法都可以實現(xiàn)對目標(biāo)軌跡的跟蹤，但從控制輸入來看，兩者都存在一定程度的抖振現(xiàn)象。徐杰等[3]將切換函數(shù)和趨近律一同在控制器中進行設(shè)計，達到實時補償?shù)男Ч?，并在一定程度上削弱系統(tǒng)的抖振。張俊輝等[4]改進了飽和函數(shù)趨近律，并對改進后的滑?？蛇_性進行了證明，結(jié)果表明改進后的趨近律具有更好的跟蹤性能。 基于此，筆者針對下肢康復(fù)機器人滑?？刂葡到y(tǒng)運行過程中產(chǎn)生的抖振現(xiàn)象，設(shè)計了一種“雙冪次+指數(shù)式”趨近律的滑?？刂品椒?，為康復(fù)機器人的進一步研究提供一定的參考。
1 建模與滑模函數(shù)的選取
下肢康復(fù)機器人機械結(jié)構(gòu)坐標(biāo)圖[5]如圖1所示。
圖1 下肢康復(fù)機器人機械結(jié)構(gòu)
利用拉格朗日的方法對下肢康復(fù)機器人的關(guān)節(jié)機械裝置建立動力學(xué)模型[6-7]：
式中：M(q)——n×n階轉(zhuǎn)動慣量矩陣；
G(q)——n×1階重力向量；
q——關(guān)節(jié)變量的向量,q∈Rn；
τ——執(zhí)行機構(gòu)施加的關(guān)節(jié)控制扭矩向量，τ∈Rn；
τd——外界干擾量。
則實際的控制對象為
將建模誤差、參數(shù)變化、機械裝置之間的摩擦及其他不確定因素視為外界干擾量E，則
其中，
取雙關(guān)節(jié)下肢康復(fù)機器人理想的位置跟蹤指令為qd(t)，實際的位置跟蹤指令為q(t)，則雙關(guān)節(jié)的跟蹤誤差為
e=qd(t)-q(t)，
則
式中：q1d、q2d——髖關(guān)節(jié)和膝關(guān)節(jié)的理想位置；
q1、q2——髖關(guān)節(jié)和膝關(guān)節(jié)跟蹤的實際位置；
設(shè)計滑模函數(shù)[8]為
則
滑?？刂破鳛?/p>
(1)
2 趨近律的選取
2.1 單冪次趨近律
控制結(jié)構(gòu)圖如圖2所示。
圖2 改進趨近律的滑?？刂?/p>
單冪次趨近律為
(2)
將式(2)代入式(1)，可得控制率
(3)
在該控制率中，由于E是未知的，控制率在實際應(yīng)用中無法實現(xiàn)，因此取Ec為E的估計值，采用Ec替代式(3)中的E，則控制率為
(4)
將式(4)代入式(1)，可得
(5)
取李亞普諾夫函數(shù)為
(6)
對式(6)求導(dǎo)，聯(lián)合式(3)～(5)，可得
2.2 “雙冪次+指數(shù)式”趨近律
其中，K1>0,K2>0,0<α<1,ε>0。
因此，改進的趨近律滿足滑?？蛇_性條件。式中|s|<1可以通過減小α的值來增大系統(tǒng)狀態(tài)的趨近速度；|s|>1，α越小，-K1s|s|αsgns相對于-K2s|s|βsgns在系統(tǒng)中起的作用，要小得多,可忽略不計。|s|>1，可以通過增大β來增大系統(tǒng)狀態(tài)的趨近速度；|s|<1，β越大，-K2s|s|βsgns在系統(tǒng)中起到的作用就很小，可以忽略不計。用-εsgns-ks來增加系統(tǒng)的動態(tài)品質(zhì)，使得當(dāng)s趨近于零時刻，趨近的速度是ε，而不是零，保證系統(tǒng)在有限的時間到達。以此來削弱系統(tǒng)的抖振，提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性。
(7)
將式(7)代入式(1)，并將Ec替換為E系統(tǒng)的控制率為
(8)
將式(8)代入式(1)，可得
ks+M-1(Ec-E)。
(9)
對式(6)求導(dǎo)，并結(jié)合式(8)和(9)可得
根據(jù)李亞普諾夫直接法可判定系統(tǒng)是穩(wěn)定的。
3 控制系統(tǒng)仿真
3.1 參數(shù)設(shè)置
τd=[2sin(2πt) 3cos(2πt)]T。
下肢康復(fù)機器人的兩關(guān)節(jié)角度的理想指令取為
q1d=cost，q2d=sint，
系統(tǒng)的初始狀態(tài)為
取c1=c2=0.5，k=3，K1=1，K2=3，α=0.2，β=3，對下肢康復(fù)機器人采用控制率(4)以及控制率(8)分別進行控制系統(tǒng)仿真分析。
3.2 結(jié)果與誤差分析
采用經(jīng)典的單冪次趨近律時，下肢康復(fù)機器人的位置、速度跟蹤軌跡仿真圖如圖3所示。
由圖3a、b可見，膝關(guān)節(jié)的跟蹤可以達到理想的跟蹤狀態(tài)，但在膝關(guān)節(jié)的速度跟蹤過程中出現(xiàn)了抖動現(xiàn)象。由于下肢康復(fù)機器人在運動過程中，髖關(guān)節(jié)的受力比較復(fù)雜，所以在利用單冪次趨近律滑?？刂茣r，髖關(guān)節(jié)的跟蹤效果明顯沒有達到理想的跟蹤要求。從圖3c控制輸入的力矩來看，力矩輸入具有明顯的抖振現(xiàn)象。
圖3 單冪次趨近律時下肢康復(fù)機器人髖關(guān)節(jié)、膝關(guān)節(jié)的跟蹤情況
利用改進的“雙冪次+指數(shù)式”趨近律后，下肢康復(fù)機器人的位置、速度跟蹤軌跡仿真圖如圖4所示。
由圖4a、b可見，膝關(guān)節(jié)的跟蹤可以達到理想的跟蹤狀態(tài)，并且具有一定的穩(wěn)定性。利用改進趨近律的滑?？刂坪?，雖然髖關(guān)節(jié)的位置和速度的跟蹤效果也沒有達到理想的跟蹤要求。但是相對于單冪次趨近律而言，在一定程度上提高了髖關(guān)節(jié)的跟蹤精度。從圖4c控制輸入的力矩來看，采用改進“雙冪次+指數(shù)式”趨近律的滑?？刂?，在一定程度上削弱了系統(tǒng)的抖振，提升了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。
圖4 “雙冪次+指數(shù)式”趨近律時下肢康復(fù)機器人髖關(guān)節(jié)、膝關(guān)節(jié)的跟蹤情況
采用不同趨近律時，下肢康復(fù)機器人的位置與速度跟蹤的誤差分析如圖5所示。
對下肢康復(fù)機器人采用兩種不同趨近律的滑膜控制跟隨誤差進行對比，結(jié)果表明采用“雙冪次+指數(shù)式”趨近律的滑?？刂破鲿r，明顯縮小了跟蹤的誤差。從圖5a可以看出控制初始時，采用“雙冪次+指數(shù)式”趨近律滑模控制時，髖關(guān)節(jié)的速度誤差相對于單冪次趨近律而言較大，但是髖關(guān)節(jié)速度跟蹤誤差卻能夠在很短的時間內(nèi)趨于穩(wěn)定。說明在穩(wěn)定性方面采用改進的趨近律的滑模控制要優(yōu)于傳統(tǒng)的單冪次趨近律滑?？刂啤D5b的對比可以看出，改進趨近律滑模控制的膝關(guān)節(jié)誤差，隨時間很快趨于平穩(wěn)并且保持穩(wěn)定狀態(tài)，明顯增強了系統(tǒng)的魯棒性。
圖5 采用不同趨近律時髖關(guān)節(jié)、膝關(guān)節(jié)的跟蹤誤差
4 結(jié)束語
針對下肢康復(fù)機器人滑模控制系統(tǒng)存在抖振，以及在控制過程中因抖振問題產(chǎn)生的機器人跟隨誤差等問題，采用改進“雙冪次+指數(shù)式”趨近律的方法，不僅削弱控制系統(tǒng)的抖振現(xiàn)象，而且提高了下肢康復(fù)機器人的跟蹤精度以及控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。通過Matlab/Simulink環(huán)境下的S函數(shù)對控制算法進行了仿真實驗和對比分析可知，采用改進“雙冪次+指數(shù)式”趨近律的方法設(shè)計的滑?？刂葡到y(tǒng)，相對于傳統(tǒng)的單冪次趨近律而言，具有良好的魯棒性和控制精確度并且削弱了系統(tǒng)的抖振，具有一定的現(xiàn)實意義，為進一步研究下肢康復(fù)機器人提供了一些參考。
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在人機交互的過程中，下肢康復(fù)機器人滑?？刂葡到y(tǒng)會存在抖振現(xiàn)象，機器人的跟蹤效果不夠精確，且對于剛性結(jié)構(gòu)而言，跟蹤的精度不夠，很可能對患者產(chǎn)生二次傷害。楊婷等[2]對比了基于估計模型和模型上界的兩種滑?？刂品椒?，發(fā)現(xiàn)兩種方法都可以實現(xiàn)對目標(biāo)軌跡的跟蹤，但從控制輸入來看，兩者都存在一定程度的抖振現(xiàn)象。徐杰等[3]將切換函數(shù)和趨近律一同在控制器中進行設(shè)計，達到實時補償?shù)男Ч?，并在一定程度上削弱系統(tǒng)的抖振。張俊輝等[4]改進了飽和函數(shù)趨近律，并對改進后的滑?？蛇_性進行了證明，結(jié)果表明改進后的趨近律具有更好的跟蹤性能。 基于此，筆者針對下肢康復(fù)機器人滑?？刂葡到y(tǒng)運行過程中產(chǎn)生的抖振現(xiàn)象，設(shè)計了一種“雙冪次+指數(shù)式”趨近律的滑?？刂品椒?，為康復(fù)機器人的進一步研究提供一定的參考。
1 建模與滑模函數(shù)的選取
下肢康復(fù)機器人機械結(jié)構(gòu)坐標(biāo)圖[5]如圖1所示。
圖1 下肢康復(fù)機器人機械結(jié)構(gòu)
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τ——執(zhí)行機構(gòu)施加的關(guān)節(jié)控制扭矩向量，τ∈Rn；
τd——外界干擾量。
則實際的控制對象為
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其中，
取雙關(guān)節(jié)下肢康復(fù)機器人理想的位置跟蹤指令為qd(t)，實際的位置跟蹤指令為q(t)，則雙關(guān)節(jié)的跟蹤誤差為
e=qd(t)-q(t)，
則
式中：q1d、q2d——髖關(guān)節(jié)和膝關(guān)節(jié)的理想位置；
q1、q2——髖關(guān)節(jié)和膝關(guān)節(jié)跟蹤的實際位置；
設(shè)計滑模函數(shù)[8]為
則
滑?？刂破鳛?/p>
(1)
2 趨近律的選取
2.1 單冪次趨近律
控制結(jié)構(gòu)圖如圖2所示。
圖2 改進趨近律的滑?？刂?/p>
單冪次趨近律為
(2)
將式(2)代入式(1)，可得控制率
(3)
在該控制率中，由于E是未知的，控制率在實際應(yīng)用中無法實現(xiàn)，因此取Ec為E的估計值，采用Ec替代式(3)中的E，則控制率為
(4)
將式(4)代入式(1)，可得
(5)
取李亞普諾夫函數(shù)為
(6)
對式(6)求導(dǎo)，聯(lián)合式(3)～(5)，可得
2.2 “雙冪次+指數(shù)式”趨近律
其中，K1>0,K2>0,0<α<1,ε>0。
因此，改進的趨近律滿足滑?？蛇_性條件。式中|s|<1可以通過減小α的值來增大系統(tǒng)狀態(tài)的趨近速度；|s|>1，α越小，-K1s|s|αsgns相對于-K2s|s|βsgns在系統(tǒng)中起的作用，要小得多,可忽略不計。|s|>1，可以通過增大β來增大系統(tǒng)狀態(tài)的趨近速度；|s|<1，β越大，-K2s|s|βsgns在系統(tǒng)中起到的作用就很小，可以忽略不計。用-εsgns-ks來增加系統(tǒng)的動態(tài)品質(zhì)，使得當(dāng)s趨近于零時刻，趨近的速度是ε，而不是零，保證系統(tǒng)在有限的時間到達。以此來削弱系統(tǒng)的抖振，提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性。
(7)
將式(7)代入式(1)，并將Ec替換為E系統(tǒng)的控制率為
(8)
將式(8)代入式(1)，可得
ks+M-1(Ec-E)。
(9)
對式(6)求導(dǎo)，并結(jié)合式(8)和(9)可得
根據(jù)李亞普諾夫直接法可判定系統(tǒng)是穩(wěn)定的。
3 控制系統(tǒng)仿真
3.1 參數(shù)設(shè)置
τd=[2sin(2πt) 3cos(2πt)]T。
下肢康復(fù)機器人的兩關(guān)節(jié)角度的理想指令取為
q1d=cost，q2d=sint，
系統(tǒng)的初始狀態(tài)為
取c1=c2=0.5，k=3，K1=1，K2=3，α=0.2，β=3，對下肢康復(fù)機器人采用控制率(4)以及控制率(8)分別進行控制系統(tǒng)仿真分析。
3.2 結(jié)果與誤差分析
采用經(jīng)典的單冪次趨近律時，下肢康復(fù)機器人的位置、速度跟蹤軌跡仿真圖如圖3所示。
由圖3a、b可見，膝關(guān)節(jié)的跟蹤可以達到理想的跟蹤狀態(tài)，但在膝關(guān)節(jié)的速度跟蹤過程中出現(xiàn)了抖動現(xiàn)象。由于下肢康復(fù)機器人在運動過程中，髖關(guān)節(jié)的受力比較復(fù)雜，所以在利用單冪次趨近律滑?？刂茣r，髖關(guān)節(jié)的跟蹤效果明顯沒有達到理想的跟蹤要求。從圖3c控制輸入的力矩來看，力矩輸入具有明顯的抖振現(xiàn)象。
圖3 單冪次趨近律時下肢康復(fù)機器人髖關(guān)節(jié)、膝關(guān)節(jié)的跟蹤情況
利用改進的“雙冪次+指數(shù)式”趨近律后，下肢康復(fù)機器人的位置、速度跟蹤軌跡仿真圖如圖4所示。
由圖4a、b可見，膝關(guān)節(jié)的跟蹤可以達到理想的跟蹤狀態(tài)，并且具有一定的穩(wěn)定性。利用改進趨近律的滑?？刂坪?，雖然髖關(guān)節(jié)的位置和速度的跟蹤效果也沒有達到理想的跟蹤要求。但是相對于單冪次趨近律而言，在一定程度上提高了髖關(guān)節(jié)的跟蹤精度。從圖4c控制輸入的力矩來看，采用改進“雙冪次+指數(shù)式”趨近律的滑?？刂?，在一定程度上削弱了系統(tǒng)的抖振，提升了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。
圖4 “雙冪次+指數(shù)式”趨近律時下肢康復(fù)機器人髖關(guān)節(jié)、膝關(guān)節(jié)的跟蹤情況
采用不同趨近律時，下肢康復(fù)機器人的位置與速度跟蹤的誤差分析如圖5所示。
對下肢康復(fù)機器人采用兩種不同趨近律的滑膜控制跟隨誤差進行對比，結(jié)果表明采用“雙冪次+指數(shù)式”趨近律的滑?？刂破鲿r，明顯縮小了跟蹤的誤差。從圖5a可以看出控制初始時，采用“雙冪次+指數(shù)式”趨近律滑模控制時，髖關(guān)節(jié)的速度誤差相對于單冪次趨近律而言較大，但是髖關(guān)節(jié)速度跟蹤誤差卻能夠在很短的時間內(nèi)趨于穩(wěn)定。說明在穩(wěn)定性方面采用改進的趨近律的滑模控制要優(yōu)于傳統(tǒng)的單冪次趨近律滑?？刂啤D5b的對比可以看出，改進趨近律滑模控制的膝關(guān)節(jié)誤差，隨時間很快趨于平穩(wěn)并且保持穩(wěn)定狀態(tài)，明顯增強了系統(tǒng)的魯棒性。
圖5 采用不同趨近律時髖關(guān)節(jié)、膝關(guān)節(jié)的跟蹤誤差
4 結(jié)束語
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