李博 王慶勇 侯恕

摘?要：阿特伍德機(jī)是高中物理典型的理想化模型，也是牛頓第二定律應(yīng)用的典型實(shí)例.本文基于大學(xué)物理中質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)及剛體力學(xué)的知識(shí)，從“兩類十種”視角，解析“理想型”與“半理想型”阿特伍德機(jī)的物理規(guī)律.通過擴(kuò)展分析一道典型的高中物理習(xí)題，引導(dǎo)中學(xué)物理教師要適時(shí)從高觀點(diǎn)的視域下看待高中物理知識(shí)及物理教學(xué).

關(guān)鍵詞：阿特伍德機(jī);高中物理習(xí)題;十種解題方法

文章編號：1008-4134（2020）05-0059中圖分類號：G633.7文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B

基金項(xiàng)目：吉林省高等教育教學(xué)改革重點(diǎn)項(xiàng)目“基于‘問題-實(shí)踐-反思教學(xué)模式的微格實(shí)踐教學(xué)體系的構(gòu)建與改革研究”，2019;吉林省高等教育教學(xué)改革研究重點(diǎn)項(xiàng)目“高校通識(shí)教育改革的實(shí)踐研究——以D大學(xué)文科物理課程為個(gè)案”，2015.

作者簡介：李博（1996-），男，黑龍江哈爾濱人，碩士研究生，研究方向：物理課程與教學(xué)論;

王慶勇（1978-），男，山東嘉祥人，博士，講師，研究方向：非線性量子可積問題;

侯恕（1965-），女，吉林九臺(tái)人，博士，副教授，研究方向：物理課程與教學(xué)論.

本文從大學(xué)物理中質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)及剛體力學(xué)的視角，運(yùn)用“兩類十種”分析方法，全面地解析阿特伍德機(jī)這一物理模型，能為解決此類問題提供一套比較系統(tǒng)的物理分析思路.

1?經(jīng)典試題

例題?如圖1，一根細(xì)繩跨過輕而無摩擦的滑輪，在繩的兩端懸掛質(zhì)量分別為M=2kg和m=1kg的物體，滑輪系在由天花板垂下的鏈子OA上.試求：當(dāng)兩物體勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí)：

（1）細(xì)繩的拉力T;（2）鏈子OA的拉力F.（g取10m/s2）

【常規(guī)解答】

（1）選取豎直向下為正方向，根據(jù)牛頓第二定律

對M分析，有?Mg-T1=Ma1

對m分析，有?mg-T2=-ma2

由題意可知，忽略滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)及系統(tǒng)的摩擦，則有

a1=a2=a，T1=T2=T

解得：a=M-mM+mg=13g，T=2MmM+mg=43mg=403N

（2）對鏈子OA進(jìn)行分析，根據(jù)物體的平衡有

F-2T=0

解得?F=2T=803N

分析：本題是高中物理力學(xué)部分牛頓第二定律的典型應(yīng)用實(shí)例，難易程度屬于中等.選定參考系及規(guī)定正方向后，通過對系統(tǒng)中的兩物塊進(jìn)行受力分析，可以列出其動(dòng)力學(xué)方程，并根據(jù)題意，可忽略滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)、繩子的質(zhì)量及系統(tǒng)的摩擦.本題能較好地讓學(xué)生初步理解并應(yīng)用牛頓第二定律，同時(shí)也能初步掌握?“輕繩”“輕質(zhì)滑輪”這兩種理想化模型.

2?試題原型——阿特伍德機(jī)

例題中嵌套了一種典型的高中物理模型——阿特伍德機(jī)，所謂阿特伍德機(jī)，就是將兩質(zhì)量分別為M、m的物體系于一條跨過定滑輪輕質(zhì)軟繩的兩端，這樣就組成了阿特伍德機(jī)[1]，如圖2所示.

若兩物體的質(zhì)量滿足M>m，將兩物體由靜止釋放，那么質(zhì)量為M的物體豎直向下運(yùn)動(dòng)，質(zhì)量為m的物體豎直向上運(yùn)動(dòng)，兩物體的加速度大小均為a，定滑輪沿逆時(shí)針旋轉(zhuǎn).

阿特伍德機(jī)是英國劍橋大學(xué)阿特伍德為驗(yàn)證牛頓第二定律所設(shè)計(jì)的一個(gè)滑輪裝置，是可以驗(yàn)證較多牛頓力學(xué)定理的典型模型之一[2].阿特伍德機(jī)之所以重要，不僅是因?yàn)槠湓诟咧形锢砹W(xué)體系中具有基礎(chǔ)性、典型性等特點(diǎn)，還因?yàn)槠湓诳茖W(xué)研究中可以驗(yàn)證許多牛頓力學(xué)定律，例如牛頓第二定律、動(dòng)量定理、確定重力加速度等[3].

3?“兩類十種”解題方法

3.1?第一類：“理想型”阿特伍德機(jī)的分析

“理想型”阿特伍德機(jī)，即忽略滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)、繩子的質(zhì)量及系統(tǒng)的摩擦.

在這種物理情境中，以地面為參考系，兩物體的速度關(guān)系為v=v1=-v2，加速度關(guān)系為a=a1=-a2，繩的張力關(guān)系為T=T1=T2.

【視角1】從牛頓第二定律角度分析（如圖3）.

定理?F外=mdv→dt=ma→.

分析：選取豎直向下為正方向，對M分析，有

Mg-T=Ma

對m分析，有?mg-T=-ma

解得?a=M-mM+mg?T=2MmM+mg

【視角2】從質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)角度分析（如圖4）.

定理?v→=dx→dt=x→·，a→=dv→dt=d2x→dt2=v→·=x→··.

分析：以定滑輪圓心為零點(diǎn)，選取豎直向下為正方向，并設(shè)繩長為l.

對M分析，有?Mg→+T=Ma→1

對m分析，有?mg→+T=ma→2

繩長為固定值，則有?x1+x2+πR=l

兩側(cè)對時(shí)間求二階導(dǎo)數(shù)，有?x··1+x··2=0，即

a→1+a→2=0

解得?a→1=M-mM+mg→，a→2=m-MM+mg→，T=-2MmM+mg→

【視角3】從質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理角度分析（如圖5）.

定理?∑F外=dPdt.

分析：將兩物體看成研究對象，并選取豎直向下為正方向x→，質(zhì)點(diǎn)系的合外力為

∑F外=（M+m）g→+2T=（Mg+mg-2T）x→

質(zhì)點(diǎn)系的總動(dòng)量為

P=Mv→1+mv→2=（Mv-mv）x→

由質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理，在x→方向有

（Mg+mg-2T）=ddt（Mv-mv）

其中?dvdt=a

另對M分析，有?Mg-T=Ma

解得?a=M-mM+mg

【視角4】從質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量定理角度分析（如圖6）.

定理?∑M外=dJdt.

分析：將兩物體、繩及地球看成系統(tǒng)，取豎直向下x→、垂直紙面向外z→為正方向，取定滑輪軸O為參考點(diǎn)，懸掛定滑輪的拉力對O點(diǎn)的力矩

M外1=0

兩物體重力對O點(diǎn)的力矩

M外2=r→1×Mg→+r→2×mg→=（MgR-mgR）z→

質(zhì)點(diǎn)系對O點(diǎn)的角動(dòng)量

J→=r1→×Mv→1+r→2×mv→2=（Mrv+mRv）z→

由質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量定理，有

（MgR-mgR）=ddt（MRv+mRv）

其中，dvdt=a

解得?a=M-mM+mg

【視角5】從質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理角度分析（如圖7）.

定理?dEk=∑δA內(nèi)+∑δA外（微分形式），Ek2-Ek1=∑A內(nèi)+∑A外（積分形式）.

分析：系統(tǒng)所受外力僅為重力，對兩物體的元功為dA外=Mgdh+mg（-dh）

將兩物體看成一組質(zhì)點(diǎn)系，其動(dòng)能的增量為dEk=d[12（M+m）v2]

由質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理，得

Mgdh-mgdh=d[12（M+m）v2]

兩側(cè)對時(shí)間進(jìn)行求導(dǎo)，得

Mgdhdt-mgdhdt=ddt[12（M+m）v2]

其中?dhdt=v?dvdt=a

解得?a=M-mM+mg

【視角6】從質(zhì)點(diǎn)系機(jī)械能守恒定律角度分析（如圖8）.

定理?對于保守系，dAD外=0，d（Ek+Ep）=0，Ek+Ep=常量E.

分析：將兩物體、繩及地球看成系統(tǒng)，重力則為保守內(nèi)力，并取地面為零勢能面，質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能為

Ek=12（M+m）v2

質(zhì)點(diǎn)系的勢能為?Ep=Mgh1+mgh2

由質(zhì)點(diǎn)系機(jī)械能守恒定律，得

12（M+m）v2+（Mgh1+mgh2）=C

兩側(cè)對時(shí)間求導(dǎo)，得

（M+m）vdvdt+（Mgdh1dt+mgdh2dt）=0

其中?-dh1dt=dh2dt=v，dvdt=a.

解得?a=M-mM+mg

3.2?第二類：“半理想型”阿特伍德機(jī)的分析

“半理想型”阿特伍德機(jī)，即只考慮滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)，忽略繩子的質(zhì)量及系統(tǒng)的摩擦.

在這種物理情境中，系統(tǒng)中的物體便不能僅被看成可以忽略轉(zhuǎn)動(dòng)及其形狀、大小的“質(zhì)點(diǎn)”模型了，還應(yīng)考慮定滑輪本身的轉(zhuǎn)動(dòng)對于系統(tǒng)的影響，即將定滑輪看成形狀和大小完全不變的物體——質(zhì)量為M′的剛體.以地面為參考系，兩物體的速度關(guān)系為v=v1=v2，加速度關(guān)系為a=a1=-a2，繩的張力關(guān)系為T1≠T2.

【視角1】從牛頓第二定律+剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定理角度分析（如圖9）.

定理?∑F外=mdv→dt=ma→，∑M外∥=dJ∥dt=Iβ→.

分析：取豎直向下、垂直紙面向外為正方向，

對M分析，有?Mg-T1=Ma

對m分析，有?mg-T2=-ma

對定滑輪分析，有?∑M外=∑（r→×F）=（T1R-T2R）z→=Iβz→

其中，定滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I=12M′R2，

a=dvdt=d（ωR）dt=Rdωdt=Rβ

解得?T1=（M′+4m）MgM′+2（M+m），T2=（M′+4M）mgM′+2（M+m），

a=2（M-m）M′+2（M+m）g.

【視角2】從質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量定理+剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定理角度分析（如圖10）.

定理?M外=dJdt，J剛∥=Iω→.

分析：將兩物體、繩、定滑輪及地球看成系統(tǒng)，取豎直向下、垂直紙面向外為正方向，取定滑輪軸心O為參考點(diǎn)，

懸掛定滑輪的拉力對O點(diǎn)的力矩M外1=0

兩物體重力對O點(diǎn)的力矩

M外2=r→1×Mg→+r→2×mg→=（MgR-mgR）z→

滑輪重力對O點(diǎn)的力矩M外3=0

質(zhì)點(diǎn)系對O點(diǎn)的角動(dòng)量J→=r→1×Mv→1+r→2×mv→2+Iω→=（MRv+mRv+Iω）z→

由質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量定理，在z→方向有

（MgR-mgR）=ddt（MRv+mRv+Iω）

其中，dvdt=a，dωdt=β，v=ωR，I=12M′R2

解得?a=2（M-m）M′+2（M+m）g

【視角3】從質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理+剛體平面平行運(yùn)動(dòng)角度分析（如圖11）.

定理?dEk=∑δA內(nèi)+∑δA外（微分形式），Ek剛=12Iω2.

分析：系統(tǒng)所受外力僅為重力，對兩物體的元功為dA外=Mgdh+mg（-dh）.

將兩物體及定滑輪看成一組質(zhì)點(diǎn)系，其動(dòng)能的增量為

dEk=d[12（M+m）v2+12Iω2]

由質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理，得

Mgdh-mgdh=d[12（M+m）v2+12Iω2]

其中，ω=vR

代入，得?Mgdh-mgdh=d[12（M+m+IR2）v2]

兩側(cè)對時(shí)間進(jìn)行求導(dǎo)，得

Mgdhdt-mgdhdt=ddt[12（M+m+IR2）v2]

其中，dhdt=v，dvdt=a，I=12M′R2

解得?a=2（M-m）M′+2（M+m）g

【視角4】從質(zhì)點(diǎn)系機(jī)械能守恒定律+剛體平面平行運(yùn)動(dòng)角度分析（如圖12）.

定理?對于保守系，d（Ek+Ep）=0，Ek+Ep=常量E，Ek剛=12Iω2.

分析：將兩物體、繩、定滑輪及地球看成系統(tǒng)，重力則為保守內(nèi)力，并取地面為零勢能面.

質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能為?Ek=12（M+m）v2+12Iω2

質(zhì)點(diǎn)系的勢能為?Ep=Mgh1+mgh2+M′gh

由質(zhì)點(diǎn)系機(jī)械能守恒定律，得

[12（M+m）v2+12Iω2]+（Mgh1+mgh2+M′gh）=C

其中，ω=vR.代入，得

12（M+m+IR2）v2+（Mgh1+mgh2+M′gh）=C

兩側(cè)對時(shí)間求導(dǎo)，得

（M+m+IR2）vdvdt+（Mgdh1dt+mgdh2dt）=0

其中，-dh1dt=dh2dt=v，dvdt=a，I=12M′R2.

解得?a=2（M-m）M′+2（M+m）g

4?結(jié)束語

本文主要以阿特伍德機(jī)為研究對象，從“兩類十種”視角分析了“理想型”與“半理想型”阿特伍德機(jī)的物理規(guī)律，在高觀點(diǎn)的視域下歸納總結(jié)了阿特伍德機(jī)的各種計(jì)算方法.

總結(jié)來講，對于中學(xué)物理教師，不能將物理“知識(shí)”變?yōu)椤爸R(shí)點(diǎn)”，不能僅拘泥于一道高中物理題，要嘗試從大學(xué)物理的站位和角度來指導(dǎo)中學(xué)物理教學(xué).

參考文獻(xiàn)：

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[2]陳鋼，晏世雷.?質(zhì)點(diǎn)系中阿特伍德機(jī)對有關(guān)定理的檢驗(yàn)意義[J].?物理與工程，2013，23（04）：14-15.

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[4]邱國民，葉玉琴.?一道選擇題的解法賞析[J].?物理通報(bào)，2011（09）：78-79.

[5]趙凱華，羅蔚茵.?新概念物理教程力學(xué)（第二版）[M].?北京：高等教育出版社，2012.

（收稿日期：2019-12-03）