吳志鵬

摘?要：通法蘊含著豐富的數(shù)學思想，更貼近學生的認識水平，符合常人的思維習慣，掌握通法同樣也有利于培養(yǎng)學生的數(shù)學能力本文以一道習題教學為例闡述熟練掌握通法的必要性.

關鍵詞：通法;親歷;生成

所謂“通法”，是指具有某些規(guī)律性和普遍意義的常規(guī)解題模式和常用的數(shù)學思想方法.例如，將直線方程代入圓錐曲線方程，整理成一元二次方程，再利用根的判別式、求根公式、根與系數(shù)的關系、兩點之間的距離公式等解決相關的解析幾何問題.這就是解決圓錐曲線問題的通法.通法蘊含著豐富的數(shù)學思想，更貼近學生的認知水平，符合常人的思維習慣，掌握通法同樣也有利于培養(yǎng)學生的數(shù)學能力，所以在教學中要讓學生熟練掌握通法.用“通法”解決數(shù)學問題時經(jīng)常會涉及大量的機械性、模式化活動，呈現(xiàn)出計算的繁、雜、難等特征，正是因為“通法”在運算過程中的這些特征，很多學生在解決選擇題或填空題時過多地依賴特例法、排除法等一些技巧性較強的方法;另一方面也正是由于“通法”所具有的這些特征，才使得問題的解決過程更具挑戰(zhàn)性，同時用“通法”研究所獲得的結論，也會因為它的普遍性和適用范圍廣，而更具誘惑與魅力.如同登山，沒有充分的時間、體力，我們可以選擇坐纜車觀光，那樣我們選擇的就是速度和效率，可我們也會因此而錯過了沿途的風景;有充分的時間和體力，我們可以徒步，那樣我們就可以親歷登山的整個過程，不僅可以觀看沿途的風景，享受“橫看成嶺側(cè)成峰”的意境，還可以體驗攀登過程的艱辛以及登頂時的那種愜意.用“通法”解答數(shù)學選擇、填空題就如同徒步攀登，雖然沒有用技巧解答的效率高，但它卻是一種體驗、一種親歷.

1?試題再現(xiàn)

題目?過拋物線y2=2px（p>0）的焦點F，作傾斜角為60°的直線l，交拋物線于A，B兩點（點A在x軸的下方），則AFBF=.

2?試題解析

班級學生解答這道問題的正確率只有10%，通過現(xiàn)場調(diào)查，獲知這部分學生都是采用特例法獲得結論的.因為結論是一個定值，那么對于任意滿足條件的實數(shù)p結論都是成立的，為了讓點F更特殊，他們都不約而同地取p=2這樣的一個特例，從而很快地得到點F的坐標為（1，0），聯(lián)立直線方程與拋物線方程即可求得點A和點B的橫坐標，再利用拋物線的定義求得|AF|與|BF|，進而求得|AF||BF|的值.

解法1?設直線l與拋物線交于點A（x1，y1）和點B（x2，y2）.

因為點F是拋物線y2=4x的焦點，所以點F的坐標為（1，0）.

直線l∶y=tan60°（x-1）=3（x-1）.

聯(lián)立直線l與拋物線方程得，y=3（x-1），y2=4x.

整理得，3x2-10x+3=0.

解得x1=13，x2=3.

利用拋物線的定義可知，|AF|=x1+1，|BF|=x2+1.所以AFBF=x1+1x2+1=13+13+1=13.

我為這些學生能采用特例法而快速獲得結論而高興，因為他們對本題的解決方案也正是我想要講解的方案.這樣既避開了繁雜的計算又能很快地獲得結論.這時班級“不合時宜”地響起了一個的聲音，生1：“老師，能不能用通法來解決這個問題？”

這真是“平地一聲響驚雷”“哪壺不開提哪壺”，用“通法”來解答，我在備課時也想過，可是有感于計算的困難，這個想法在我腦中也只是“曇花一現(xiàn)”，說實話，我真不想把時間浪費在這繁雜的計算上面，想敷衍而過，因為我清楚，用“通法”解答不僅浪費時間，影響本節(jié)課教學任務的完成，解出來也不一定能夠獲得有效的結論，這才是我最擔心的.可是對生1的發(fā)問我又不能置之不理，因為在平時的教學中，我們經(jīng)常強調(diào)的是解題的通法，所以我只能硬著頭皮與學生一起將問題在黒板上板演出來：

解法2?因為點F是拋物線y2=2px（p>0）的焦點，所以點F的坐標為（p2，0）.

設斜率為k的直線l與拋物線交于點A（x1，y1）和點B（x2，y2）（x1

聯(lián)立直線l與拋物線方程得，y=k（x-p2），y2=2px.

整理得，k2x2-（k2p+2p）x+k2p24=0.

解得x1=4（k2p+2p）-16（k2p+2p）2-16k4p28k2=p2+pk2-pk21+k2，

x2=4（k2p+2p）+16（k2p+2p）2-16k4p28k2=p2+pk2+pk21+k2.

故|AF|=x1+p2=p+pk2-pk2·1+k2，

|BF|=x2+p2=p+pk2+pk2·1+k2，

AFBF=p+pk2-pk2·1+k2p+pk2+pk2·1+k2=1+k2-1+k21+k2+1+k2.

花了近十分鐘的時間，我們最終獲得了有效的結論：焦半徑的比只與斜率k有關.面對結論，我慶幸用“通法”解決了這個問題，因為我從兩根的公式和最終的結論發(fā)現(xiàn)了奧秘——一個很明顯的對稱式.如果說在用“通法”解決這個問題之前，我還是盲然的，而此時的我已經(jīng)有了掌控問題生成方向的能力，我不由得暗自高興.于是我不露聲色地問道：大家對這個結論是否存有疑慮？能否用公式檢驗一下剛才的結論？

生2：把k=3代入上式，結果正是13.

師：觀察解題過程和上述結論，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生3：兩個根的公式其實是兩個對稱式，求和就可以消去討厭的根式，即x1+x2=p+2pk2.

生4：還可以得到，x1+x2+p=2p+2pk2=（1+1k2）·2p.

師（明知故問）：很好，但為什么要加上p？

生4：因為x1+x2+p=x1+p2+x2+p2=|AF|+|BF|=|AB|，即為過焦點的拋物線的弦長.

這時我發(fā)現(xiàn)班級中有一些同學在發(fā)愣，也許他們還不太相信生4所得到的結論竟然是過焦點拋物線的弦長公式.一會兒，班級嘩然，弦長公式這么簡單，以前我們怎么沒想到，有沒有搞錯？班級傳來了很多同學的質(zhì)疑聲.

師（幽默）：既然有這么多的同學不相信“科學”？那我們現(xiàn)在就來當場驗證：請一、二、三組的同學用通法即用“弦長公式法”解答：過拋物線y2=4x的焦點，且斜率為1的直線l交拋物線于A，B兩點，求|AB|的值.第四組同學用生4所給的公式求值.幾秒鐘后第四組便有了答案：|AB|=8，而2分鐘后其它各組也紛紛給出了答案：|AB|=8，看著同學們的眼神，我知道他們信服了.

師：從上面的例子，我們初步驗證了得到的公式，當然用一個特例去驗證說明公式的正確性還很不科學，同學們回去后可以多舉些例子進行驗證，并用“弦長公式”加以推導、證明，這樣獲得的公式才具有科學性.

生5（叫了起來）：這個公式有明顯的漏洞.

師：說說看.

生5：當這條直線過拋物線的焦點且斜率不存在時，公式顯然不能用.

師：很好，生5考慮問題很全面，的確這個公式不適合這條特殊的直線.那怎么辦呢？

生6：對生4所給的公式進行補充規(guī)定：當直線過拋物線的焦點且斜率不存在時，弦長|AB|=2p，因為此時弦AB就是拋物線的通徑，長為2p.

師：生6說得很好，通過對公式的補充使得公式更具完備性.

師：生4帶給我們的過拋物線焦點的弦長公式是多么得簡潔，它不僅給我們的計算帶來方便，更給我們帶來了美的感受，仔細觀察，你還能有什么發(fā)現(xiàn)呢？

生7：我們還可以求焦半徑的長？

師：怎樣求？

生7：因為|AF||BF|=1+k2-1+k21+k2+1+k2，且|AB|=（1+1k2）·2p，

所以|AF|=1+k2-1+k22（1+k2）·（1+1k2）·2p=1+k2-1+k2k2·p，

|BF|=1+k2+1+k22（1+k2）·（1+1k2）·2p=1+k2+1+k2k2·p.

師：非常開心，生7通過上面的兩個關系式又獲得了拋物線的焦半徑公式.通過研究這道例題，我們不僅得到拋物線過焦點的兩條焦半徑的比值公式，還獲得了焦點的弦長公式和焦半徑公式等一些很有價值的規(guī)律性結論，同時也感受了“通法”帶給我們的生成體驗.

一次用“通法”的求解過程，讓我們親歷了一次生成，感受了一次意外的收獲.假如我們對這道題的解法只是停留在用特例法進行求解，那么我們所能感受的僅僅就是特例法帶給我們“獲得答案”速度上的驚喜和“13”這個冰冷的結論.而用“通法”解決問題，不僅讓我們在解題中有了挑戰(zhàn)困難的勇氣，更讓我們體驗了公式的魅力和一系列美麗的生成，所以在教學過程中，既要講究解題技巧，更不要錯過“通法”的精彩.

參考文獻：

[1]金鐘植談談對數(shù)學通法的認識和理解[J].高中數(shù)理化（高一版），2008（02）：8-11.

[2]孔娟請多一些通法，少一些特技[J].數(shù)學學習與研究，2016（20）：131.

（收稿日期：2019-09-18）