貴州師范大學()

杜賓斯基是美國著名的數學家和教育家，他和一些數學教育研究者通過研究提出了APOS理論，APOS理論是學生在學習數學概念的過程中，個體按照順序依次建構了四個階段：心理活動(Actions)、過程(Processes)、對象(O bject)、圖式(Schema)，并以四個階段的大寫字母命名.APOS理論是為數學概念學習所創(chuàng)造的理論，我們知道數學本身就是很抽象的學科，當然，數學的概念也都是很抽象的.“冪函數概念”教學設計是在APOS理論指導下的一次嘗試.

1 基于APOS理論下“冪函數概念”教學設計分析

1.1 教材分析

冪函數是人教版(A版)必修一第二章第三節(jié)內容，是基本初等函數之一.前面學習過對數函數與指數函數再來研究冪函數，使學生學習之后建立第三種函數模型即冪函數模型，能使學生靈活掌握函數模型，所以冪函數是學生對研究函數方法強化的很重要的一個提升，在教學中具有很重要的作用.

1.2 學情分析

學生在學習冪函數中已經有了一定的基礎，因為之前已經學習過五種函數，冪函數是一次函數、反比例函數、二次函數的延伸，所以在教學過程，先讓學生自己合作探究，探究出冪函數的性質，教師進行指導，提升學生數形結合思想和探究型思維.

1.3 教學目標分析

1.3.1 知識與技能目標

(1)通過生活中的實例讓同學了解冪函數的概念，熟悉冪函數性質.

1.3.2 過程與方法目標

(1)通過概念與圖象結合培養(yǎng)了學生數形結合的數學思想方法；經過探索冪函數性質培養(yǎng)學生抽象概括的能力.

1.3.3 情感態(tài)度、價值觀

通過學生自己從數形結合來探究冪函數及冪函數性質，激發(fā)學生的數學積極性.

1.4 重難點分析

重點從5個具體的函數模型，由師生共同總結出冪函數的性質及其應用.

難點畫出冪函數圖象再概括其性質，不僅是特殊的冪函數滿足，要所有冪函數都能滿足.

2 基于APOS理論的“冪函數概念”教學設計

2.1 活動階段

活動1前一節(jié)學習了指數函數，復習指數函數的概念與表達式，再回歸新課，教師用幻燈片演示以下問題：

(1)張紅購買了w本練習冊，單價是每本1 元，那么她需要支付的費用p=w元，這里p是w的函數；

(2)如果有一塊正方形的方巾，邊長為a，那么方巾的面積S=a2，這里S是a的函數；

(3)如果一個立方體形狀的盒子的邊長為a，那么盒子的體積V=a3，這里V是a的函數；

(4) 如果一個正方體場地的面積為S，那么這個場地的邊長這里a是S的函數；

(5)如果你t秒內坐公交進行了1km，那么你坐的公交平均速度v=t-1km/s，這里v是t的函數.

由學生一起討論，最后歸納總結出：p=w,S=a2,V=容易看出都是自變量的若干次冪的形式.不僅是復習舊知，而是在此基礎上提高學生的參與程度，讓學生自己動手操作，符合學生認識特點，此階段是學生建構概念的起步.

2.2 過程階段

活動2以上問題中總結出來的函數有哪些共同特征?

教師與學生一起分析這幾個函數的特征，將它們的自變量全部用x表示，函數值用y表示，如下：

這樣寫出來清晰明了，更有助于師生一起總結，教師一步一步引導，學生得出結論：

(1)都是以自變量為底的函數，自變量前的系數都為1，冪前的系數也為1；

(2)指數是常數.

教師從具體的例子讓學生自主歸納總結，得到y=x2，這樣就引出了冪函數的定義，最后進一步完善定義：一般地，形如y=xα(α ∈R)的函數叫做冪函數.

活動3下列函數哪些是冪函數?

A.y=2x+1B.y=3x2C.y=5x-2D.x=2

通過數形結合，使學生對冪函數有更深刻的學習，也能解決剛上課時的困惑.指數函數是形如y=xα，冪函數是

2.3 對象階段

活動4探索冪函數的性質

教師引導學生回顧初中函數的表示方法：解析法、列表法、圖像法.在冪函數性質討論中主要用圖像法表示冪函數，這里我們只討論時的情形，在繪圖之前，教師要引導學生復習舊知，然后引入出新知識點，繪制這兩個冪函數的圖像，教師在黑板上或者PPT上演示冪函數的繪制過程如圖1.

圖1冪函數圖

活動5觀察圖1，你能從函數圖像中得到什么性質?可不可以試著總結出來，填入表1中.

表1 函數圖像性質

通過表1，一起得到冪函數的性質，歸納總結為：

(1)所有的冪函數都在(0,+∞)上有定義，圖像都經過(1，1)；

(2)當α為偶數時，冪函數就是偶函數； 當α為奇數時，冪函數為奇函數；

(3)在第一象限內，函數y=x-1的圖像向上與y軸無限接近，向右與x軸無限接近；

(4)如果α ＞0，則冪函數圖像過原點，并且在區(qū)間(0,+∞)上是增函數.

通過觀察圖像和學生動手畫圖，教師和學生一起觀察得到的冪函數性質，使學生易于領悟和接受新知識.

活動6運用新知

例1比較大?。?1)5.20.2和和

分析此題有兩種解決方法，引導學生能夠靈活運用，一題多解，其一是分別把值求出來，再比較大小，但是求值只能借助計算器；其二是利用上面所學的函數的單調性來比較它們的大小，觀察圖象直觀易懂.

2.4 圖式階段

這是最后一個階段，是一個比較長期的過程，在此后的學習過程中有著很重要的影響.圖式階段是對前三個階段的學習的總結、鞏固和應用，使得從生活實際的背景下探索出的冪函數模型，再去解決實際問題.

活動7應用舉例

例2在固定的壓力差下(壓力差為常數)，當有一股氣體流過圓形管道時，其流量速率v(單位：cm3/s)與管道半徑r(單位：cm)的三次方成正比.

(1) 寫出氣流的流量速率關于管道半徑的函數解析式；

分析根據題目描述可寫出解析式，其解析式就是我們學習的冪函數，也可以自己變式給出具體的數據，把解析式求出來之后再解一下冪函數，最后就得到表達式.

3 教學反思

基于前面對APOS理論的四個階段教學設計的分析，我們應該從問題情境中讓學生能夠印象更深刻的領會到冪函數的概念以及實際應用.

(1)活動階段需要創(chuàng)設問題情境，其目的在于引入冪函數概念，創(chuàng)設有利情境，密切聯系生活，結合學生已有認知水平和發(fā)展，激發(fā)學生興趣，不同于一般的復習引入，是在學生對以前所學知識的鞏固基礎上理解數學概念，最后主要突出活動兩個字，顯然比教師幾句話概述更好，并不是引起學生的認知沖突.(2)關注過程展示，教學的最終目標在于引導學生掌握本課的重點和難點知識.活動階段只是讓學生激起思考的欲望，還不能構建起概念，產生數學的一種體驗，在“冪函數”的概念形成中，如果是由教師直接先講概念，再提醒學生重難點，最后鞏固知識，教學效果就不盡人意.(3)強調學生參與，積極主動構建，在學生掌握冪函數圖形的基礎上，設計變式練習，讓學生辨析、探索，進一步完善概念體系，最終得冪函數的概念和性質.因此，為了讓學生在課堂中有效的掌握概念，可根據實際情況，采用同桌合作、小組討論、班級匯報交流、師生交流等形式，積極構建知識.(4)完善概念圖式，數學來源于生活，應用于生活，能否科學地運用APOS理論，取決于眾多因素，最主要的是教師要有良好的專業(yè)知識和敬業(yè)態(tài)度.因此，教師在課前得花時間備好課，從以往的課堂中找原因，充分了解學生的認知基礎和規(guī)律，對四個階段的教學設計精心準備，對課堂中可能出現的問題做出預判.

4 結論

綜上所述，APOS理論冪函數教學設計中與高中教材相結合，把學生學習重難點剖析清楚，教師的主導作用也在教學設計中體現很完整，學生的主體作用也符合教與學的規(guī)律，達到了很好的教學效果，所以我們的教學目標要讓學生明白為什么課堂形式化，怎么形式化，活動階段要讓學生構建起冪函數的概念，同時又為過程階段提供了概念定義的素材和可供反省的對象，為學生聯想、歸納、概括提供了機會，過程階段又向對象階段提供了更高層次研究開拓了機會，圖式階段就是對前面三個階段的總結與實際運用.因此，這四個階段就使學生學習數學概念有了完整的過程.