廣東省佛山市順德區(qū)順德德勝學(xué)校

特殊角的三角函數(shù)值，是我們比較喜歡在圖形中研究和用來考查同學(xué)們應(yīng)用知識能力的一個重要知識點(diǎn).筆者在教學(xué)中，結(jié)合對北師大九年級(下)27頁的復(fù)習(xí)題第22題的研究和思考，引導(dǎo)學(xué)生思考探討：應(yīng)用銳角三角函數(shù)定義求15°角的三角函數(shù)值問題.

原題如下：

把一條長1.35m的鐵絲彎成頂角為150°的等腰三角形，求此三角形的各邊長(結(jié)果精確到0.01m).

圖1

筆者在挖掘教學(xué)素材時，總想改編為讓學(xué)生不用精確到0.01，而直接保留根號的計算結(jié)果.于是結(jié)合圖形，引導(dǎo)學(xué)生通過構(gòu)造含30°角的直角三角形加以解決，其關(guān)鍵就是解決15°角的三角函數(shù)值的問題.

解如圖1，在ΔABC中.因為AB=AC,∠BAC=150°，所以∠B=∠ACB=15°.過C作CD ⊥AB交BA的延長線于點(diǎn)D,則在RtΔACD中，∠CAD=30°.設(shè)CD=1,則AC=2,AD=所以AB=AC=2.BD=AB+AD=2+√所以在RtΔCBD中，tan ∠CBD =即但當(dāng)要求sin 15°,cos 15°時，需要BC的長度，這時根據(jù)勾股定理可得所以

到此，對BC的進(jìn)一步化簡技巧，成了絕大部分同學(xué)的難以逾越的障礙.由此，大部分同學(xué)對sin 15°,cos 15°的函數(shù)值望而卻步.

對這個問題的探討，人教版的九年級(下)教師教學(xué)用書(2014年10月第1版，2017年9月第5次印刷)在167頁的拓展性問題也進(jìn)行了相關(guān)研討，原文如下：

1.不查表，你能求15°的三角函數(shù)值嗎？

【答案與提示】構(gòu)造一個有一個銳角為15°的直角三角形，再利用銳角三角函數(shù)的定義求解.

解如圖2，作ΔABC,使AB=AC,且∠BAC=30°,過點(diǎn)A作AD ⊥ BC于點(diǎn)D,過點(diǎn)C作CE ⊥ AB于點(diǎn)E.

圖2

不妨設(shè)AB=AC=2a，則CE=a,AE=所以

在RtΔBCE中，由銳角三角函數(shù)定義，得sin 15°=

教師用書中同樣涉及到的化簡運(yùn)算技巧問題.

這時，我們自然會想到，當(dāng)一副三角板疊放在一起時，也有15°的角，能否用平常用的三角板，構(gòu)造出適當(dāng)?shù)膱D形，解決上述問題？其實課本也有相應(yīng)的背景素材，北師大七年級(上)199頁的復(fù)習(xí)題第29題：利用一副三角尺能畫出下列度數(shù)的角嗎？如何畫？試試看.150°,15°,105°,135°.

拼出15°的方式很多，下圖3是一種，將平常學(xué)生用的兩塊三角板疊放在一起，則∠BAD=15°.

圖3

圖4

在這里，發(fā)現(xiàn)∠BAD=15°并不是一件難事，但構(gòu)造出適當(dāng)?shù)闹苯侨切螀s不是一件易事.其中的一種方式過程如下：

解：如圖5，延長AD,CB相交于點(diǎn)F,過B作BE ⊥ AF于E,設(shè)BC=1.則在RtΔABC中，因為∠BAC=30°，所以AB=在RtΔACD中，因為∠DAC=∠ACD=45°，所以

圖5

在RtΔACF中，因為∠FAC=∠AFC=45°，所以所以1.在RtΔBEF中，BE=EF=所以在RtΔABE中，tan ∠BAE=

顯然，對學(xué)生而言，添加3 條輔助線來構(gòu)造出直角三角形，也不是一件容易的事.于是，在對圖形的觀察和思考后，我通過優(yōu)化三角板，為同學(xué)們的學(xué)習(xí)鋪墊了一個臺階.具體操作如下：

圖6

圖7

如圖6，7，把直角邊一樣長的兩塊三角板重疊放置.對于這樣優(yōu)化了的兩個三角形重疊，同學(xué)們比較容易找到并構(gòu)造出相應(yīng)的直角三角圖形，就可輕松求出∠BAD的三角函數(shù)值.過程如下：

解：如圖8，過B作BE ⊥AD于E，設(shè)BC=1.則在RtΔABC中，因為∠BAC=30°，所以AB=在RtΔADC中，因為∠DAC=∠D=45°,所以CD=所以

圖8

在RtΔBDE中，因為∠D=45°所以BE=DE=所以AE=AD - DE=

所以，tan ∠BAE=

當(dāng)然，構(gòu)造15°角的方式比較多，如按圖7，8 擺放和構(gòu)造適當(dāng)?shù)闹苯侨切?，也能幫助我們的同學(xué)求出15°角的三角函數(shù)值，現(xiàn)簡述如下：

圖9

圖10

解：如圖11，過A作AE ⊥ BD于E,過C作CF ⊥ AE于F.設(shè)AC=1.則在RtΔABC中，因為∠ABC=30°，所以AB= 2,BC=在RtΔBCD中，因為∠DCB=∠DBC=45°，所以CD=BD=

圖11

在RtΔACF中，因為∠ACF=∠CAF=45°，所以所以BE=BD -DE=AE=EF+AF=CD+所以tan ∠BAE=

在后來的教學(xué)中，源于我本著對課本素材的思考和加工習(xí)慣，沿著相關(guān)問題的提出，更加巧妙地運(yùn)用課本素材，進(jìn)一步讓學(xué)生輕松理解并掌握了上述求值問題.具體過程如下：

在北師大九年級(上)173頁的復(fù)習(xí)題3中：3.已知：如圖12，在正方形ABCD中，等邊三角形AEF的頂點(diǎn)E,F分別在BC和CD上.求證：∠CEF=∠CFE.

圖12

本題的解決方案并不算復(fù)雜，學(xué)生很快通過全等證明到上述結(jié)論成立.我對本題的圖形觀察思考后，認(rèn)為值得深度挖掘，于是提出了下面兩個問題：

(1)若正方形的邊長為1，求CE的長；

(2)在(1)的條件下，求∠BAE的三角函數(shù)值.

學(xué)生經(jīng)過一番思考，計算后，大部分同學(xué)都能求出上述的值.現(xiàn)將過程表述如下：

解(1)設(shè)CE=x,則BE=1-x,根據(jù)CE=CF,易得在RtΔABE中，由勾股定理得解得所以

(2)由(1) 可得在RtΔABE中，

當(dāng)學(xué)生經(jīng)歷運(yùn)算后，讓學(xué)生再仔細(xì)觀察，發(fā)現(xiàn)：∠BAE=15°！至此，15°的三角函數(shù)值，得到滿意的解決.再向同學(xué)們提出新的問題：你會求tan 75°,sin 75°,cos 75°的值嗎？

深入挖掘和研究學(xué)習(xí)素材，能有效地提升學(xué)生對知識的理解和應(yīng)用，提升解決問題的能力.