廣東省東莞市東莞中學(xué)松山湖學(xué)校

裴光亞老師指出：“復(fù)習(xí)要重復(fù)又不能復(fù)重.”江蘇的石樹偉老師也提出：“單元復(fù)習(xí)應(yīng)當(dāng)復(fù)而不重，溫故而知新”，那么單元復(fù)習(xí)課教學(xué)又應(yīng)當(dāng)如何處理好溫故與知新的平衡，把握好重復(fù)的度呢?下面，結(jié)合本人2019年1月在東莞市初三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)研討會(huì)上執(zhí)教的人教版九年級(jí)下冊“相似”單元復(fù)習(xí)課教學(xué)，談一些個(gè)人的思考，與大家交流.

1 教學(xué)案例

1.1 教學(xué)目的

(1) 熟練掌握相似三角形的性質(zhì)及判定方法，從相似基本圖形的角度，進(jìn)一步加深對相似知識(shí)的理解；

(2) 進(jìn)一步體會(huì)分類、模型等數(shù)學(xué)思想在相似問題中的運(yùn)用.

1.2 學(xué)情分析

本節(jié)課是“相似”一章的單元復(fù)習(xí)課教學(xué)，大約二個(gè)星期前，學(xué)生才開始進(jìn)入相似的學(xué)習(xí)，現(xiàn)在剛結(jié)束本章內(nèi)容的新授課教學(xué)，整體還處于“初學(xué)較新”的階段，因此，對于相似知識(shí)的理解還不夠深入，許多同學(xué)還沒有很好地建立起相似知識(shí)的結(jié)構(gòu)框架，特別是對相似和其他數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)體會(huì)不深，缺乏綜合運(yùn)用相似知識(shí)的能力，對于問題中所涉及到的分類思想、函數(shù)思想及模型思想等都還缺乏有深度的自我建構(gòu).從溫故與知新的角度，本節(jié)課的復(fù)習(xí)教學(xué)應(yīng)當(dāng)是以溫故為主基調(diào)，在此基礎(chǔ)上求思維的新經(jīng)驗(yàn)，知識(shí)的新架構(gòu).

1.3 教學(xué)過程

1.3.1 自主梳理，結(jié)構(gòu)展示

教師：我們課前布置了請大家梳理《相似》這一章的知識(shí)結(jié)構(gòu)，下面大家在小組內(nèi)交流一下，稍后我們請兩個(gè)小組派代表給大家分享.

學(xué)生1：(投影展示小組的知識(shí)結(jié)構(gòu)框架圖)本章的主要內(nèi)容有相似圖形、相似三角形、位似，其中相似三角形的性質(zhì)與判定我們認(rèn)為是最為重要的部分，對于判定，我們梳理出五種方法，分別是二角相似、二邊及夾角相似、三邊相似、平行相似、斜邊與直角邊相似，這些主要是類比三角形全等得來的.

學(xué)生2：生1的梳理重點(diǎn)很突出，我想補(bǔ)充一下基本的相似圖形，(展示自己的知識(shí)結(jié)構(gòu)框架圖)有A型、斜A型、X型、子母型等，并在這些基本圖形中，我們要特別注意對應(yīng)邊.

圖1

教師：兩個(gè)小組的展示非常有特色，條理清晰，重點(diǎn)突出，結(jié)構(gòu)框架圖做得很好.本章的學(xué)習(xí)正是利用了類比思想得到了相似三角形的判定定理，同時(shí)課本內(nèi)容編排從“圖形相似——三角形相似——位似”，這個(gè)次序也還體現(xiàn)了“從一般到特殊，從特殊再到一般”的思想.相似的兼容性很強(qiáng)，可以與很多知識(shí)組合，因此，本章的學(xué)習(xí)，還要特別注意基本圖形的總結(jié)與運(yùn)用，我們本節(jié)課的復(fù)習(xí)就從基本圖形開始.

評析 復(fù)習(xí)首先是重復(fù)，梳理本章的知識(shí)結(jié)構(gòu)，這是本章學(xué)習(xí)完之后的重復(fù)，但又不是純粹的知識(shí)羅列，在重復(fù)之中，包含有學(xué)生個(gè)體自主梳理知識(shí)時(shí)，對章節(jié)知識(shí)體系整體的認(rèn)識(shí)，通過他們對知識(shí)的重組、編碼、重難點(diǎn)遴選展示，一方面可以激發(fā)學(xué)生的復(fù)習(xí)熱情，培育他們的創(chuàng)新意識(shí)，另一方面，也可以折射出他們系統(tǒng)思維的理解層次.

1.3.2 問題引路 動(dòng)態(tài)延伸

問題1如圖2，ΔABC中，AB ＜AC，點(diǎn)P為AB邊上一點(diǎn)，畫一條直線PQ與AC邊交于點(diǎn)Q，使你可以怎樣畫?

圖2

學(xué)生3：過點(diǎn)P畫PQ//BC，所得到的兩個(gè)三角形就相似.

學(xué)生4：生3 畫的實(shí)際上是正A型，還有一種畫法是反A型的，如圖3，此時(shí)，AP與AC對應(yīng).

圖3

教師：很好，這里只說“ΔAPQ與ΔABC相似”，但并沒有指明需要怎樣對應(yīng)，所以我們需要把二種情況都考慮到，下面我們繼續(xù)添加一種情景來進(jìn)一步研究.

問題2在問題1中，如果AB=8cm，AC=10cm，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以2 cm/s的速度向B點(diǎn)移動(dòng)，點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)，以1 cm/s的速度向A點(diǎn)移動(dòng)移動(dòng).若P,Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另外一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，那么t為何值時(shí)，ΔAPQ與ΔABC相似?

師生活動(dòng)：學(xué)生小組研討，核對答案，糾正或補(bǔ)充解題過程，教師巡堂，指導(dǎo)，搜集有意愿展示講解小組的解答.

學(xué)生5：根據(jù)題意，我們可以知道AP=2t,QC=t,AQ=10-t,我們需要分兩種情況進(jìn)行討論正A型，即代入求得就是反A型，即代入求得所以，當(dāng)時(shí)，這兩個(gè)三角形相似.

教師：說得很好！的確需要分兩種情況討論，但在區(qū)分這兩種情況時(shí)，如何表述更恰當(dāng)?

教師：補(bǔ)充得很好，在分類時(shí)，我們一般都是以邊或者角來作為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行討論的.那么，這兩種情況，哪種情況先發(fā)生?

學(xué)生8：正A型.教師動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)點(diǎn)P,Q的運(yùn)動(dòng)過程.

問題3：對于前面的第種情況，是我們需要特別關(guān)注的.我們已經(jīng)知道，此時(shí)∠APQ=∠C，如果我們保持這個(gè)關(guān)系不變，將PQ向下平移，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，AQ長又是多少?

圖4

圖5

學(xué)生9：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，一樣的有△APQ ∽△ACB，由相似得到等比式，代入相關(guān)數(shù)據(jù)，即可求得

教師：非常好！其實(shí)，這時(shí)候圖形中包含的就是我們所說的子母型相似.

評析通過問題1的畫直線，問題2的動(dòng)點(diǎn)分類討論，到問題3的求值，一連串的數(shù)學(xué)活動(dòng)，圍繞著基本圖形正A型、反A型、子母型相似在不斷地重復(fù)，這就是溫故，但也不是簡單的重復(fù).溫故中，學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，借助于具體問題情景，在不斷地更新，對相似基本圖形本質(zhì)理解和具體情景下的靈活應(yīng)用經(jīng)驗(yàn)也在不斷地生長.

1.3.3 知識(shí)綜合 模型提升

問題4在上面的圖5中，如果有AB=AC，點(diǎn)P(不與B點(diǎn)、C點(diǎn)重合)在BC邊上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在AC邊上，保持∠APQ=∠C.如圖6，

(1)找出圖中的相似三角形，并說明理由；

(2)若AB=8,BC=6,BP=x,CQ=y,求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)x為何值時(shí)，y有最大值?

(3)在第(2)問中，當(dāng)y取最大值時(shí)，請畫出圖形并判斷ΔAPQ的形狀.

師生活動(dòng)：學(xué)生小組研討，成員相互核對答案，糾正或補(bǔ)充，教師巡堂，指導(dǎo)，并搜集典型解答，7分鐘以后，師生交流.

學(xué)生11：從直觀上看，ΔABP∽ ΔPCQ，因?yàn)锳B=AC，所以∠B=∠C,再找一個(gè)條件，因?yàn)椤螦PQ=∠C,所以，∠APQ=∠B，同時(shí)∠1+∠3=180°-∠B，∠2+∠3=180°-∠APQ，所以∠1+∠3=∠2+∠3，得到∠1=∠2，這樣就證明相似.

圖6

教師：小組的同學(xué)還有要補(bǔ)充的嗎?

學(xué)生12：還有ΔAPQ∽ΔACP，因?yàn)椤螦PQ=∠C，還有公共角，就可以得到相似.

教師：很好！這第二組相似其實(shí)就是我們前面所說的子母型，只是隱藏得很深，發(fā)現(xiàn)起來不容易.這一組的同學(xué)善于發(fā)現(xiàn)，表現(xiàn)很優(yōu)秀.

學(xué)生13：由相似就可以得到等比法，代入數(shù)值整理，就可以得到用公式就可以得到當(dāng)x=3時(shí)，y有最大值為

學(xué)生14：我覺得要加一個(gè)a ＜0時(shí)，因?yàn)楫?dāng)a ＜0時(shí)，y才有最大值.或

教師：好，思維很嚴(yán)謹(jǐn)，補(bǔ)充得很有必要，這是跟二次函數(shù)知識(shí)相聯(lián)系的.

學(xué)生15：由第(2) 小題，我們可以得到x=3，也就是BP=3，P為BC中點(diǎn)，所以AP ⊥BC，由第(1)小題，可以得到PQ ⊥AC，ΔAPQ為直角三角形.

教師：很好，但老師想知道，為什么P是中點(diǎn)時(shí)，就有PQ ⊥AC呢?

學(xué)生15：因?yàn)榈妊切蔚娜€合一.

教師：很好！在這個(gè)圖形中，有兩個(gè)三角形非常引人注目：ΔABP,ΔPCQ(教師彩筆描繪圖形)，它們是相似的，而且它們的位置呈現(xiàn)出在同一直線上有三個(gè)等角.這個(gè)圖形有個(gè)名稱：一線三等角，在相似界，很有地位，這里我們有一個(gè)微課，大家一起來看看.(播放“一線三等角”微課視頻)

圖7

教師：在微課的三個(gè)圖之中，變化的是什么?

學(xué)生16：P點(diǎn)的位置在變化.

教師：那不變的又是什么呢?

學(xué)生17：三個(gè)角，在一條直線上有三個(gè)等角.

教師：還有沒有不變的?

學(xué)生18：相似.

教師：對，在動(dòng)點(diǎn)P變化的過程中，總存在著兩個(gè)三角形相似，這就是變化之中的不變性，這就是模型帶給我們的價(jià)值和意義.

評析問題4是建立在重復(fù)相似三角形判定方法、重復(fù)二次函數(shù)相關(guān)知識(shí)基礎(chǔ)之上的綜合性問題，三個(gè)小題的連續(xù)探求，聯(lián)結(jié)了相似與二次函數(shù)及最大值問題，體現(xiàn)了相似與其他知識(shí)之間的橫向聯(lián)系.單元復(fù)習(xí)中展示這種聯(lián)系，毫無疑問是有必有的，因?yàn)檫@就是將本章知識(shí)納入整個(gè)數(shù)學(xué)系統(tǒng)，是對本章數(shù)學(xué)知識(shí)的精致.對于學(xué)生，有對以前所學(xué)知識(shí)的重復(fù)，但顯然，這種重復(fù)不是單調(diào)的重復(fù)，而是數(shù)學(xué)知識(shí)整體的進(jìn)一步綜合.

1.3.4 課堂小結(jié) 相似展望

教師：現(xiàn)在讓我們一起回顧一下，本節(jié)課我們遇到了哪些基本圖形?

學(xué)生：A型、反A型、子母型、一線三等角.……教師：又用到了哪些思想方法?

學(xué)生19：類比、分類討論等.

教師：相似不是獨(dú)立的，它還可以與其他數(shù)學(xué)知識(shí)相聯(lián)系，融合成許多新的問題，在初中數(shù)學(xué)體系中是兼容性比較強(qiáng)的一部分，比如，它可以與函數(shù)的知識(shí)、三角形、圓等知識(shí)綜合.

評析章節(jié)復(fù)習(xí)跟概念教學(xué)一樣，都要有章節(jié)知識(shí)的精致.就是將本章知識(shí)，納入到更大范圍的知識(shí)體系，使學(xué)生不僅看到樹木，也能看到森林.本節(jié)課的小結(jié)，一是緊扣基本圖形，以圖形來聯(lián)結(jié)相似三角形的判定，二是追問數(shù)學(xué)思想方法，促進(jìn)學(xué)生更深一層地理解把握本章核心內(nèi)容.

2 教學(xué)反思

2.1 溫故求新

溫故而知新，溫故是單元復(fù)習(xí)的起點(diǎn)，也是知識(shí)梳理的基礎(chǔ)，知新是單元復(fù)習(xí)的目標(biāo)，在章節(jié)單元的背景下，對以前的知識(shí)有更新的理解和認(rèn)識(shí).溫故，不是把以前的題拿出來重新做，不是把以前的知識(shí)搬出來重新復(fù)述強(qiáng)調(diào)，而是通過鞏固強(qiáng)化對基本知識(shí)、技能的深入理解，關(guān)注學(xué)生平時(shí)易出現(xiàn)的錯(cuò)誤，查漏補(bǔ)缺，運(yùn)用知識(shí)技能解決具有典型結(jié)構(gòu)特征的問題，促使學(xué)生在自主整理和綜合應(yīng)用的過程中對所學(xué)知識(shí)進(jìn)行精細(xì)加工和深度理解，從而完善學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu).知新，是將重點(diǎn)知識(shí)、核心知識(shí)，通過變換以不同的背景、設(shè)置不同的問題、不同的解答思路等來呈現(xiàn)新意，在達(dá)成基本目標(biāo)的基礎(chǔ)上，深入挖掘基本數(shù)學(xué)知識(shí)所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法.單元復(fù)習(xí)貴在知新，通過知識(shí)的重組、拓展、深化，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和解決稍微復(fù)雜問題的能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

2.2 變式求新

本節(jié)復(fù)習(xí)課的設(shè)計(jì)，在溫故梳理知識(shí)之后，就從一圖開始，預(yù)設(shè)一個(gè)一個(gè)變式問題，逐層遞進(jìn).問題1的畫直線找相似是基本問題，到問題2的動(dòng)點(diǎn)找相似求線段長是老問題新情景，再到問題3的“子依母懷”的子母相似，這是運(yùn)動(dòng)的持續(xù)，問題4是運(yùn)動(dòng)的進(jìn)一步深化，圖象的進(jìn)一步復(fù)雜，所提煉出的“一線三等角”相似模型等，是學(xué)生相似基本圖形的新增長，這一系列的問題變式，配以圖形變式，猶如一根長線一樣，將學(xué)生新授學(xué)習(xí)過的相對零散的知識(shí)串聯(lián)在一起，形成一個(gè)有序的彼此聯(lián)系的有機(jī)整體，使整個(gè)復(fù)習(xí)變得簡約、清晰而明快.

2.3 開放求新

溫故與知新，還應(yīng)當(dāng)體現(xiàn)在復(fù)習(xí)選題上.復(fù)習(xí)課的教學(xué)，在喚醒并梳理已學(xué)知識(shí)的同時(shí)，更應(yīng)當(dāng)設(shè)計(jì)一些開放題，讓學(xué)生在“炒冷飯”的過程中，品出“新味”.在課例中，梳理章節(jié)知識(shí)框架是開放的，問題1 設(shè)計(jì)相似三角形的直線是開放的，問題4 尋找圖中所有的相似三角形也是開放的，這些開放問題，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)更多一份主動(dòng)，課堂更多一份生機(jī)、活力與可能.雖然起點(diǎn)并不高，但都可以極大地激發(fā)學(xué)生的參與興趣，有助于培養(yǎng)他們的發(fā)散性思維能力和創(chuàng)新思維能力，學(xué)生的解答，表現(xiàn)出不同層次、多種水平的解答方案，他們相互補(bǔ)充，共同激活彼此已有的經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)提高復(fù)習(xí)的效益.

2.4 微課求新

在課例中，嵌入了“一線三等角”的微視頻，這是在網(wǎng)絡(luò)上找的視頻，但我們又重新請了班上的學(xué)生協(xié)助進(jìn)行了錄制.雖然時(shí)長只有2分鐘，但它的出場果不其然地吸引了學(xué)生，因?yàn)槭撬麄兪煜さ耐瑢W(xué)的聲音，講解也很清楚明了，毫無疑問，這種新的設(shè)計(jì)，既體現(xiàn)了利用信息技術(shù)創(chuàng)新教學(xué)的時(shí)代特征，又極好地點(diǎn)撥到學(xué)生的思維，使他們聚焦在動(dòng)態(tài)的變化中，觀察捕捉出變化中的不變性，抽象出新的數(shù)學(xué)模型.

3 最后的話

復(fù)習(xí)本是仁者見仁，智者見智的，但溫故知新應(yīng)當(dāng)是永遠(yuǎn)的主題.“溫故”與“知新”并非是平行并列的兩件事.對于學(xué)生學(xué)習(xí)與教師教學(xué)而言，新知識(shí)是舊知識(shí)的拓展，而舊知識(shí)是新知識(shí)的基石.“知新”是關(guān)鍵，本節(jié)課的復(fù)習(xí)，圍繞章節(jié)核心知識(shí)，通過變式、設(shè)計(jì)開放問題、微課等多種形式求新，使復(fù)習(xí)的學(xué)習(xí)過程在學(xué)生的溫故之中，實(shí)現(xiàn)對數(shù)學(xué)知識(shí)方法的再認(rèn)識(shí)、再領(lǐng)悟和思維再提高，這樣的復(fù)習(xí)，就是以溫故為起點(diǎn)，以知新為目標(biāo)，使溫故與知新成為一個(gè)相互交融的有機(jī)整合，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的深度生長.