亚洲免费av电影一区二区三区,日韩爱爱视频,51精品视频一区二区三区,91视频爱爱,日韩欧美在线播放视频,中文字幕少妇AV,亚洲电影中文字幕,久久久久亚洲av成人网址,久久综合视频网站,国产在线不卡免费播放

        ?

        關于Navier-Stokes-Voight 方程的若干探究

        2020-03-23 01:23:50孫成峰劉星辰焦小玉
        安徽大學學報(自然科學版) 2020年2期
        關鍵詞:定性測度全局

        孫成峰, 劉星辰,焦小玉

        (南京財經(jīng)大學 應用數(shù)學學院,江蘇 南京 210023)

        論文主要研究Navier-Stokes-Voight(NSV)方程.文獻[1-2]將NSV方程作為線性粘彈性流的運動模型提出,描述了Kelvin-Voight 粘彈性不可壓流體的動力學.文獻[3]將非粘性簡化Bardina模型(非粘性確定NSV方程)看作帶有周期邊界條件的3維無粘歐拉方程的正則化,得到確定系統(tǒng)存在唯一弱解. 文獻[4]研究3維無粘確定性Kelvin-Voight模型生成的半群具有有限維全局吸引子,得到了它的整體正則性. 當流體動力學中湍流的影響不能用確定的函數(shù)來描述,引入隨機因素是合適而且是必然的.文獻[5]研究3維可加噪聲驅使下的隨機NSV方程,得到其全局解的適定性,并在此基礎上得出隨機吸引子的存在性,給出了其Hausdorff維數(shù)的上界估計.

        在此基礎上,作者運用無窮維動力系統(tǒng)中的Galerkin逼近、Sobolev空間中的嵌入定理以及能量解的一致估計[6-12],得出NSV方程全局解的適定性.最后,通過緊性理論及Chebyshev不等式得到隨機方程不變測度的存在性.

        1 預備知識

        論文用u(x,t)=(u1(x,t),u2(x,t),u3(x,t))表示不可壓流體的速度,p(x,t)表示壓力.3維空間下的Navier-Stokes-Voight方程為

        其中:Ω是一個帶有光滑邊界的有界區(qū)域;f(x)=(f1(x),f2(x),f3(x))表示給定的外部壓力,與時間t相互獨立;νΔu表示擴散項;ν>0是粘性系數(shù);gk表示隨機壓力項.

        定義v=(v1,v2,v3),u=(u1,u2,u3),且

        定義空間

        其模為‖v‖1=‖v‖V=‖v‖.由Poincaré不等式,有V0=H,Pn:(L2(Ω))3→H. Helmholtz-Leray 即正交投射算子,定義

        Aw=-PnΔw,?w∈D(A)

        為Stokes算子,D(A)=(H2(Ω))3∩V,A的特征向量wj構成H的標準正交基且滿足

        Awj=λjwj0<λ1≤λ2≤λ3≤….

        定義

        Hn=span{w1,w2,…,wn},

        并且令Pn是H到Hn的投射,定義Qn=I-Pn.

        引理1定義一個非線性算子b為

        b(u,v,w)=-b(u,w,v).

        關于非線性算子b,有如下估計[2]

        |b(u,v,w)|≤C‖u‖1/2‖u‖1/2‖v‖‖w‖,?u,v,w∈V,

        |b(u,v,u)|≤C‖u‖1/2‖u‖3/2‖v‖,?u,v,w∈V,

        |b(u,v,w)|≤C‖u‖‖v‖‖w‖1/2‖w‖1/2,?u,v,w∈V,

        其中:C為實常數(shù).

        下面給出噪聲強度項g(x,t,ω)的一些定義和條件.假設Y是任意一個可分的Hilbert空間,通過內積定義l2(U),有

        對任意賦范空間Y,g是一致Lipschitz連續(xù)的,如果存在KY,有

        |g(x,t,ω)-g(y,t,ω)|≤KY|x-y|Y,

        并且

        |g(x,t,ω)|l2(U)≤KY(1+|X|Y),

        其中:KY與t和ω之間相互獨立.

        2 隨機NSV方程的適定性

        先對NSV方程做一個Helmholtz-Leray 正交投射

        (L2(Ω))3→H,

        在上述框架下,Navier-Stokes-Voight 方程可以寫成

        (1)

        其中:B(U)=B(u,u),b(u,v,w)=(B(u,v),w),?u,v,w∈V.壓力項消失是由于在V′空間中p=0.

        2.1 Galerkin系統(tǒng)及一致估計

        定義1(Galerkin System) 如果?v∈Hn,有(1)式成立,則隨機過程u(n)∈C(0,T;Hn)是Galerkin 系統(tǒng)的一個解

        〈u(n)(0),v〉=〈u0,v〉,

        (2)

        u(n)(0)=Pnu0.

        (3)

        為了表述方便,論文在下面的方程中均用u代替u(n).

        定理1假設u是n階Galerkin的一個解,并且

        g∈Lipu(H,l2(H)),f∈L2(Ω;L2(0,T;V′)),

        其中:CW是一個合適的常數(shù),CW=CW(p,ν,λ1,T,|f|L2(Ω;L2(0,T,V′),KH)).

        證明對(2)式運用It公式得到

        (4)

        (5)

        所以,有

        d(‖u‖2+α2‖u‖2)+d0(‖u‖2+α2‖u‖2)≤

        對上式的最后一項,運用Burkholder-Davis-Gundy(BDG)不等式,有

        將上式整理得

        2.2 隨機NSV方程解的全局適定性

        定理2假設u是n階Galerkin系統(tǒng)的解,并且

        g∈Lipu(H2,l2(H)),f∈L2(Ω;L2(0,T;V′)),

        證明對(2)式運用It公式得

        d(‖u-α2Δu‖2)=2〈u-α2Δu,ut-α2Δut〉,

        化簡整理得

        d(‖u-α2Δu‖2)+2ν(‖u‖2+α2‖Δu‖2)=

        對b(u,u,Δu)進行估計,有

        ν‖

        令h=min{d0,d1},則整理得到

        不等式兩邊取上確界,可得

        對上式化簡整理得

        C(KH,α2)(1+‖f‖2+sup‖u‖2).

        由定理1可知sup‖u‖2≤Cw,所以sup‖u-α2Δu‖2≤CW,u∈L2([0,(∞),H2) .

        定理3(存在性) 存在一個u,B*和g*,u∈L2(Ω,L2(0,T;V)∩L∞(0,T;H2)) ,并且

        B*∈L2(Ω;L2(0,T;V′))g*∈L2(Ω;H2(0,T;l2(H))),

        使得u,B*,g*對于任意試驗函數(shù)v∈V,滿足

        (6)

        u(0,v)=u0(v),

        證明因為

        所以序列{PnB(u(n))}一致有界,可以找到B*∈L2(Ω;L2(0,T;V′)),使得PnB(u(n))弱收斂于B*,有

        設u滿足(2)式,對于任意一個可測集E?Ω×[0,T],v∈V,有

        |(B(U)-PnB(u(n)),v)|=|B(U)-PnB(U)+PnB(U)-PnB(u(n))|≤

        |((I-Pn)B(U),v)|+|(PnB(u-u(n),u),v)|+|(PnB(u(n),u-u(n)),v)| ≤

        C‖(I-Pn)v‖(‖u‖6+‖u‖2)+‖(u-u(n))‖‖v‖(‖u‖+‖u(n)‖),

        兩邊取期望,得

        另外,對于每一個k,有

        其中

        由控制收斂定理,得

        d((‖Pnu-u(n)‖2eψ+α2‖(Pnu-u(n))‖2)eψ)+2ν‖(Pnu-u(n))‖2eψdt=

        此處ψ為非正函數(shù).

        -2(Pnu-u(n),B*-B(un))≤2|(Pnu-u(n),B*-B(un))|=

        (B(un-Pnu,Pnu)+(B(Pnu)-B(U))+(B(U)-B*),Pnu-u(n))≤

        C‖u(n)-Pnu‖1/2‖(u(n)-Pnu)‖3/2‖Pnu‖+

        ((B(Pnu)-B(U))+(B(U)-B*),Pnu-u(n))≤

        C(ν)‖Pnu‖‖u(n)-Pnu‖2+ν‖(u(n)-Pnu)‖2+(B(Pnu-u.Pnu)+

        B(u,Pnu-u),Pnu-u(n))+((B(U)-B*),Pnu-u(n)).

        定理得證.

        定理4(唯一性) 假設u1,u2都是方程的解,并且在空間H中幾乎處處u1(0)=u2(0),有

        P(‖u1-u2‖2+α2‖(u1-u2)‖2,?t∈[0,∞))=1.

        3 不變測度的存在性

        證明假設u是方程的弱解,有

        ‖u‖2+α2‖u‖2=‖u(0)‖2+α2‖u(0)‖2-ν‖u‖2dt-2b(u,u,u)dt+

        兩邊取期望,得

        E(‖u‖2+α2‖u‖2)≤‖u(0)‖2+α2‖u(0)‖2-νE‖u‖2dt+

        因為H1嵌入到L2中,有

        E‖u‖2≤‖u(0)‖2+α2‖u(0)‖2-νλ1E‖u‖2dt+

        (7)

        因此,由Gronwall不等式得

        (8)

        由(7),(8)式得

        (9)

        假設P(t,x.A)是u的轉移概率測度,并且

        對于任意的x∈H,?ε>0,?T>0,存在一個半徑為R的球,R>0,BR={x∈H;‖x‖≤R},根據(jù)Chebyshev不等式,由(8),(9)式得

        對于固定的M>0,?ε>0,當R充分大時,有μT(BR)>1-ε.因此 {μT,T>0}是緊的,并且它的極限是方程(1)弱解的一個不變概率測度.

        猜你喜歡
        定性測度全局
        Cahn-Hilliard-Brinkman系統(tǒng)的全局吸引子
        三個數(shù)字集生成的自相似測度的乘積譜
        量子Navier-Stokes方程弱解的全局存在性
        R1上莫朗測度關于幾何平均誤差的最優(yōu)Vornoi分劃
        分裂平衡問題的Levitin-Polyak適定性
        非等熵Chaplygin氣體測度值解存在性
        Cookie-Cutter集上的Gibbs測度
        當歸和歐當歸的定性與定量鑒別
        中成藥(2018年12期)2018-12-29 12:25:44
        落子山東,意在全局
        金橋(2018年4期)2018-09-26 02:24:54
        共同認識不明確的“碰瓷”行為的定性
        日韩精品免费在线视频| 人妻av中文字幕无码专区| 国产成+人+综合+亚洲 欧美 | 91中文人妻丝袜乱一区三区| 亚洲综合新区一区二区| 国产亚洲成性色av人片在线观| 香港三级精品三级在线专区| 亚洲精品高清你懂的| 亚洲一码二码在线观看| 亚洲乱码中文字幕视频| 亚洲成a人无码| japanese无码中文字幕| 狠狠亚洲超碰狼人久久老人| 久久综合国产精品一区二区| 精品久久久无码人妻中文字幕豆芽 | 丁香花五月六月综合激情| 欧美 国产 综合 欧美 视频| 久久频道毛片免费不卡片| 久久精品国产亚洲av高清蜜臀| h视频在线播放观看视频| 久久久无码精品亚洲日韩按摩| 欧美激情在线不卡视频网站| 美女一区二区三区在线观看视频| av网站在线观看大全| 人人摸人人操| 精品 无码 国产观看| 日韩精品一区二区在线视| 99久久无码一区人妻| 国产乱子乱人伦电影在线观看| 久久99精品久久久久九色| 天堂久久一区二区三区| 麻豆蜜桃av蜜臀av色欲av| 女人被做到高潮免费视频| 日本精品人妻在线观看| 国产一区二区三区激情视频 | 高级会所技师自拍视频在线| 亚洲精品午睡沙发系列| 国产精品一卡二卡三卡| 精品少妇人妻av一区二区蜜桃 | 无遮无挡三级动态图| av毛片一区二区少妇颜射|