羅香怡

(白城師范學院 物理與電子信息學院，吉林 白城 137000)

高次諧波發(fā)射是強激光脈沖與原子或分子相互作用的一個非線性過程[1-3]，是獲得遠紫外(eXtreme Ultra Violet, XUV)和X射線源的首選方案.高次諧波發(fā)射在實驗和理論上的研究吸引了許多學者的注意[4-8]，成為探測微觀世界的重要工具，比如，通過高次諧波發(fā)射可以獲得孤立阿秒脈沖[9-12]，來探測電子的超快動力學過程和分子的內部結構[13-14].

高次諧波發(fā)射的物理機制可以通過半經(jīng)典三步模型很好地進行解釋[15-17].在這個過程中，當原子或分子在強激光場的作用下電子會發(fā)生隧穿電離，電離的電子在激光場的作用下運動并且被加速，而當激光場反轉方向時電子回復與母離子復合，放出高能光子，從而產(chǎn)生高次諧波譜.高次諧波發(fā)射可以被看作是一個參數(shù)過程且初始狀態(tài)和末狀態(tài)相同.目前在實驗上已經(jīng)成功驗證了在這個參數(shù)過程中物理量遵守能量守恒，動量守恒和軌道角動量守恒[18-19].

最近，在雙色反向旋轉圓偏振和橢圓偏振激光脈沖作用下，高次諧波光譜的產(chǎn)生引起了許多學者的注意.Fleischer等[20]研究了從圓偏振到橢圓偏振到線性偏振諧波極化的控制，而對諧波極化的控制在理論上的解釋是一個有價值的問題[21]，且通過這種方法來研究諧波光譜的極化特性很有前途.Zhang等[22]發(fā)現(xiàn)橢圓偏振諧波光譜的發(fā)射在特殊的諧波階次處的螺旋性是相反的.有人提出，通過使用圓偏振激光器的交叉光束或考慮初始狀態(tài)的軌道角動量這種新的方式，可以產(chǎn)生孤立的圓偏振的單個阿秒脈沖或者阿秒脈沖鏈[23-24].Chen等[25]將阿秒度量衡擴展到圓偏振.

對于一般的由兩束頻率為ω1=rω和ω2=sω組成的反向旋轉圓偏振激光場，高次諧波譜遵從下面的選擇定則(1)：

n=q(r+s)+εnr,εn=±1，q為整數(shù).

(1)

對于一般的由兩束頻率為ω1=rω和ω2=sω組成的反向旋轉橢圓偏振激光場，高次諧波譜遵從下面的選擇定則(2)：

n=(2p-+q--q+±1)r+(q-+q+)s，p-,q±為整數(shù).

(2)

在本文中，我們通過數(shù)值求解二維含時薛定諤方程，研究了反向旋轉橢圓偏振激光脈沖與氬原子相互作用下高次諧波的發(fā)射.數(shù)值研究了當入射的反向旋轉橢圓偏振激光脈沖的基頻場為ω(r=1)，倍頻場分別為2倍頻(s=2)、3倍頻(s=3)及4倍頻(s=4)時，通過改變入射激光場的橢偏率來研究氬原子高次諧波光譜的發(fā)射情況.數(shù)值結果表明: 在雙色反向旋轉圓偏振激光脈沖作用下，橢偏率不同時，氬原子的高次諧波光譜的規(guī)律與選擇定則(1)相同；在雙色反向旋轉橢圓偏振激光脈沖作用下，橢偏率不同時，氬原子的高次諧波光譜的規(guī)律與選擇定則(2)相同，即通過變化入射激光場的橢偏率可以控制諧波譜的特征.

1 理論方法

在單電子近似下[27-28]數(shù)值求解了二維含時薛定諤方程，研究了雙色反向旋轉橢圓偏振激光場與氬原子相互作用下的高次諧波發(fā)射.二維含時薛定諤方程的形式如下(原子單位)：

(3)

(4)

(5)

其中a是軟核參數(shù).計算中選擇軟核參數(shù)a=0.62對應的電離能為-0.584a.u.，與真實氬原子的基態(tài)能量相匹配.

左旋橢圓偏振脈沖和右旋橢圓偏振脈沖組合獲得雙色反向旋轉橢圓偏振激光脈沖.入射激光場在x-y平面內的定義形式為

(6)

式中:r=1；s是基頻場的整數(shù)倍，激光脈沖有s+1個葉片和s+1重對稱性；sω場是逆時針方向旋轉，螺旋性為+1，sω場螺旋性是順時針方向旋轉，螺旋性為-1；ω=0.584a.u.是角頻率，對應的脈沖波長為780nm；ε1和ε2是驅動激光脈沖的橢偏率；f(t)是梯形包絡，3個周期上升沿、3個周期下降沿和6個周期平臺區(qū)；E0為激光脈沖的振幅，對應的峰值強度為I=1×1014W/cm2.

采用分裂算符快速傅里葉變換的方法數(shù)值求解了二維含時薛定諤方程，為了避免來自空間邊界條件的反射，在每一個時間步之后加入cos1/8面具函數(shù).初始波函數(shù)ψ0(x)通過虛時演化的方法求解，與時間有關的偶極加速度可以寫成如下形式:

(7)

(8)

2 結果和討論

下面我們數(shù)值驗證文獻[26]中在反向旋轉圓偏振和橢圓偏振下諧波譜所遵循的選擇定則(1)和(2).圖1給出了在反向旋轉橢圓偏振激光場(r=1，s=2)，橢偏率分別為ε1=1.00，ε2=1.00；ε1=0.85，ε2=1.00；ε1=0.60，ε2=1.00時激光脈沖驅動下氬原子的高次諧波譜.當驅動激光場的橢偏率為ε1=1，ε2=1時，驅動激光場為雙色反向旋轉圓偏振激光脈沖.如圖1(a)所示，獨特的高次諧波光譜被產(chǎn)生，高次諧波光譜由成對的峰值[(1ω,2ω),(4ω,5ω),(7ω,8ω),(10ω,11ω),(13ω,14ω),…]組成，并且高次諧波光譜的3q階次被抑制，這些結果與實驗和理論上的結論相一致[20-21]，也定量的與選擇定則(1)相一致.對于r=1，s=2的情況下，式(1)能夠被改寫為n=q(r+s)±1=3q±1，q是整數(shù)，n是諧波階次，從表達式中可以看出3q±1階次諧波被產(chǎn)生，3q階次諧波被抑制.

圖1(b)和(c)給出橢偏率分別為ε1=0.85，ε2=1.00和ε1=0.60，ε2=1.00時高次諧波譜的3q階次諧波被增強，其中橢偏率為ε1=0.60，ε2=1.00時比橢偏率為ε1=0.85，ε2=1.00時諧波譜的3q階次諧波被增強的要大，在諧波截止位置附近的諧波階次強度增加了大約兩個數(shù)量級.原因是當ε1≠1時，驅動激光場是雙色反向旋轉橢圓偏振激光場，從圖1(b)和(c)中我們看到3q階次諧波強度的變化與雙色反向旋轉橢圓偏振激光場的橢偏率有直接關系，這一數(shù)值計算結果與選擇定則(2)相一致.在這種情況下，(2)式能夠被改寫為n=(2p-+3q-+q+±1),p-,q±為整數(shù).從表達式中可以看出對于任意的整數(shù)p-,q-和q+，諧波階次n是整數(shù)，即n=1,2,3,….

圖2給出了r=1,s=2時在不同橢偏率情況下的Lissajou’s圖形.圖2(a)是橢偏率為ε1=1.00，ε2=1.00時Lissajou’s圖形，從圖中看到Lissajou’s圖形是3個葉片完全相同的三葉草形狀，3個葉片之間相隔120°，在空間上是對稱結構.當橢偏率變?yōu)棣?=0.85，ε2=1.00和ε1=0.60，ε2=1.00時，Lissajou’s圖形仍然是三葉草形狀，但是最右側的葉片隨著橢偏率的變小逐漸變大，空間對稱性被破壞.為此當激光場由雙色反向旋轉圓偏振激光場變化為橢圓偏振激光場時氬原子高次諧波譜的特性發(fā)生變化.

為了進一步驗證選擇定則(1)和(2)，圖3給出了在反向旋轉橢圓偏振激光場(r=1，s=3)，橢偏率分別為ε1=1.00，ε2=1.00；ε1=0.85，ε2=1.00；ε1=0.60，ε2=1.00激光脈沖驅動下氬原子的高次諧波譜.當ε1=1.00，ε2=1.00時，驅動激光場為雙色反向旋轉圓偏振激光脈沖，如圖3(a)所示，高次諧波譜由奇數(shù)階次諧波組成，偶數(shù)階次諧波被抑制.驅動激光場為雙色反向旋轉圓偏振激光脈沖時，高次諧波譜遵從選擇定則(1)，式(1)被改寫為n=q(r+s)±1=4q±1，q是整數(shù)，n是諧波階次，即只有n=4q±1階次諧波被產(chǎn)生.

圖3(b)和(c)給出了橢偏率分別為ε1=0.85，ε2=1.00和ε1=0.60，ε2=1.00時氬原子的高次諧波光譜，從圖中我們看到諧波譜的變化規(guī)律與圖3(a)中諧波譜的變化規(guī)律相同，即奇數(shù)階次諧波被增強，偶數(shù)階次諧波被抑制.驅動激光場為雙色反向旋轉橢圓偏振激光脈沖時，高次諧波譜遵從選擇定則(2)，n=(2p-+4q-+2q+±1)，p-，q±為整數(shù)，從表達式中可推出諧波階次n是奇數(shù)，即只有奇數(shù)次諧波被產(chǎn)生，偶數(shù)階次諧波被抑制.

圖4給出了r=1，s=3時在不同橢偏率情況下的Lissajou’s圖形.圖4(a)是橢偏率為ε1=1.00，ε2=1.00時的Lissajou’s圖形，從圖中看到Lissajou’s圖形是由4個葉片完全相同相片組成，4個葉片之間相隔90°，在直角坐標中具有沿x軸及y軸的對稱結構.當橢偏率變?yōu)棣?=0.85，ε2=1和ε1=0.6，ε2=1時(圖4(b)和(c))，Lissajou’s圖形仍然是4個葉片，但是隨著橢偏率變小，左右2個葉片逐漸變寬，上下2個葉片變窄，但對稱性與橢偏率為ε1=1，ε2=1相同，仍然具有沿x軸及y軸的對稱結構.為此當激光場由雙色反向旋轉圓偏振激光場變化為橢圓偏振激光場時氬原子高次諧波譜的特性不變.

圖5給出了在反向旋轉橢圓偏振激光場(r=1,s=4)，橢偏率分別為ε1=1.00，ε2=1.00；ε1=0.60，ε2=1.00；ε1=0.40，ε2=1.00時激光脈沖驅動下氬原子的高次諧波譜.當ε1=1，ε2=1時，驅動激光場為雙色反向旋轉圓偏振激光脈沖，如圖5(a)所示，高次諧波譜中與5q階次諧波相鄰的諧波階次被增強，其他諧波階次被抑制.高次諧波譜的變化規(guī)律遵從選擇定則(1)，式(1)被改寫為n=q(r+s)±1=5q±1，q是整數(shù)，n是諧波階次，即只有n=5q±1階次諧波被產(chǎn)生，其他階次諧波被抑制.

圖5(b)和(c)給出了橢偏率分別為ε1=0.60，ε2=1.00和ε1=0.40，ε2=1.00時氬原子的高次諧波光譜，由圖5(b)看出高次諧波譜中所有被抑制的諧波階次有一點增強，然而從圖5(c)可以看出高次諧波譜中所有被抑制的諧波階次有較大的增強，這一結果與選擇定則(2)相一致，并且式(2)能夠被重新改寫為n=(2p-+4q-+3q+±1)，p-，q±是整數(shù)，則對任意的整數(shù)p-，q±，諧波階次n為任意整數(shù)，即n=1,2,3,….

圖6給出了r=1,s=4時在不同橢偏率情況下的Lissajou’s圖形.圖6(a)是橢偏率為ε1=1.00，ε2=1.00時的Lissajou’s圖形，從圖中看到由5片完全相同的葉片組成，5個葉片之間相隔72°，在空間上是對稱結構.當橢偏率變?yōu)棣?=0.60，ε2=1.00和ε1=0.40，ε2=1.00時(如圖6(b)和(c))，Lissajou’s圖形中的5個葉片的位置、形狀及大小都發(fā)生了變化，空間對稱性被破壞.為此當激光場由雙色反向旋轉圓偏振激光場變化為橢圓偏振激光場時氬原子高次諧波譜的特性發(fā)生變化，原來被抑制的諧波階次被增強.

3 結 論

我們研究了二維氬原子模型與雙色反向旋轉橢圓偏振激光脈沖相互作用下高次諧波光譜的產(chǎn)生.在計算中我們選擇了倍頻場分別為2倍頻、3倍頻和4倍頻情況下，不同橢偏率氬原子的高次諧波譜的變化規(guī)律.通過理論計算，結果表明: 高次諧波譜的變化規(guī)律與文獻[26]中的選擇定則相一致.當入射激光脈沖為圓偏振激光脈沖時，氬原子高次諧波譜的變化規(guī)律與選擇定則(1)一致，當入射激光脈沖為橢圓偏振激光脈沖時，氬原子高次諧波譜的變化規(guī)律與選擇定則(2)一致.