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        線性權(quán)互補(bǔ)問題基于核函數(shù)的全牛頓步可行內(nèi)點算法

        2020-03-22 11:03:56張睿婕遲曉妮劉文麗
        關(guān)鍵詞:內(nèi)點方程組牛頓

        張睿婕, 遲曉妮,2,3, 劉文麗

        (1.桂林電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,廣西 桂林 541004; 2.桂林電子科技大學(xué) 廣西密碼學(xué)與信息安全重點實驗室,廣西 桂林 541004; 3.桂林電子科技大學(xué) 廣西自動檢測技術(shù)與儀器重點實驗室,廣西 桂林 541004)

        權(quán)互補(bǔ)問題最先由Potra[1]提出,是一類新的優(yōu)化問題,且互補(bǔ)問題[2]是該類問題的一種特殊形式?;パa(bǔ)問題與不動點問題、變分不等式及數(shù)學(xué)規(guī)劃等有著密切聯(lián)系[3],在經(jīng)濟(jì)學(xué)和工程中有著廣泛應(yīng)用??茖W(xué)和工程領(lǐng)域一大類問題可以轉(zhuǎn)化為權(quán)互補(bǔ)問題[4],甚至相比于建立互補(bǔ)模型求解問題,利用權(quán)互補(bǔ)模型求解在某些情況下會得到一個更高效的數(shù)值解。Roos等[5]首次提出求解線性規(guī)劃的對數(shù)障礙核函數(shù)內(nèi)點算法和全牛頓步內(nèi)點算法。隨后,Peng等[6]和Bai等[7]相繼設(shè)計了新的核函數(shù),并基于新核函數(shù)提出求解線性規(guī)劃的內(nèi)點算法。Potra等[8]設(shè)計了一種預(yù)估-校正內(nèi)點算法用于求解充分權(quán)互補(bǔ)問題。寧小玲等[9]提出了求解線性權(quán)互補(bǔ)問題的一種改進(jìn)全牛頓步可行內(nèi)點算法。

        鑒于此,將線性互補(bǔ)問題的可行內(nèi)點算法推廣到權(quán)互補(bǔ)問題,運(yùn)用文獻(xiàn)[10]中核函數(shù),得到新的牛頓搜索方向,并基于全牛頓步給出求解非負(fù)象限上線性權(quán)互補(bǔ)問題的可行內(nèi)點算法。定義了迭代點到中心路徑的鄰近測度,證明了該算法的可行性及迭代復(fù)雜度。數(shù)值算例結(jié)果表明了算法的有效性。

        1 算法

        考慮Rn上的線性權(quán)互補(bǔ)問題(WCP)[1]:尋找向量對(x,y,s)∈Rn×Rm×Rn,使得

        (1)

        其中A∈Rm×n,b∈Rm,c∈Rn,ω≥0。定義方程組(1)的嚴(yán)格可行域:

        F0=

        (2)

        其中,

        ω(t)=tx0s0+(1-t)ω,t∈[0,1]。

        初始點(x0,y0,s0)∈F0。假定A為行滿秩矩陣,即R(A)=m。若內(nèi)點條件(IPC)[5]成立,即(x,y,s)∈F0,則對任意參數(shù)00}稱為方程組(1)的中心路徑。當(dāng)t→0時,ω(t)→ω,可得方程組(1)的最優(yōu)解。

        求解如下方程組,得牛頓搜索方向(Δx,Δy,Δs):

        (3)

        定義

        (4)

        由式(4),方程組(3)可化為

        (5)

        方程組(5)中υ-1-υ為對數(shù)障礙函數(shù)

        考慮Zhang等[10]提出的局部核函數(shù)φ(t):=(1-t)2,用dx+ds=2(e-υ)替換方程組(5)中第3式,得

        (6)

        定義鄰近測度:

        (7)

        引理1[5]若u與v正交,則

        ‖e-υ‖2=δ(υ)2。

        (8)

        同理,可得

        (9)

        引理2[7]對任意υ∈Rn,有

        1-δ(υ)≤υi≤1+δ(υ),i=1,2,…,n。

        選取適當(dāng)參數(shù)θ及任意初始點x0,s0>0,y0=0。令ω(t0)=x0s0,其中t0=1。顯然δ(x0,s0,ω(t0))=0。求解方程組(6),并結(jié)合式(4)可得牛頓搜索方向(Δx,Δy,Δs),其中t+=(1-θ)t,θ∈(0,1)。令新迭代點

        x+:=x+Δx,y+:=y+Δy,s+:=s+Δs

        (10)

        滿足內(nèi)點條件,且

        當(dāng)‖xs-ω‖≤ε時,算法迭代終止。

        算法1求解線性WCP基于核函數(shù)的全牛頓步可行內(nèi)點算法。

        1)選擇參數(shù)t0=1,ε>0,初始點(x0,y0,s0)∈F0,y0=0,且ω(t0)=x0s0。置k:=0。

        2)當(dāng)‖xs-ω‖≤ε算法終止,否則轉(zhuǎn)步驟3)。

        3)求解方程組(6),并結(jié)合式(4),得搜索方向(Δx,Δy,Δs)。令

        x:=x+Δx,y:=y+Δy,s:=s+Δs,

        t:=(1-θ)t,ω(t)=tx0s0+(1-t)ω,θ∈(0,1)。

        置k:=k+1,轉(zhuǎn)步驟2)。

        2 算法分析

        證明令α∈[0,1],記

        x(α)=x+αΔx,y(α)=y+αΔy,s(α)=s+αΔs。

        由式(4)和方程組(6)得

        x(α)s(α)=xs+α(sΔx+xΔs)+α2ΔxΔs=

        ω(t)[υ2+2α(υ-υ2)+α2dxds]=

        ω(t)[(1-α)υ2+α(2υ-υ2)+α2dxds]。

        (11)

        又由式(8)和引理2得,

        min{2υ-υ2+αdxds}≥min(2υ-υ2)-

        ‖dxds‖∞≥2(1+δ(υ))-

        (1+δ(υ))2-‖dxds‖∞≥1-2δ(υ)2。

        (12)

        因為ω(t)>0,(1-α)υ2>0,所以由式(11)、(12)知,若

        (13)

        則x(α)s(α)>0。

        由于x(0)=x>0,s(0)=s>0,且x(α),s(α)與α呈線性關(guān)系,對α∈[0,1],有x(α)>0,s(α)>0,相應(yīng)地,x(1)>0,s(1)>0。證畢。

        引理4令

        證明由式(7)、(9)、(11)得,

        ‖e-(2υ-υ2)-dxds‖≤

        (14)

        引理5令

        證明由式(9),(11)和引理2得

        ‖(υ+)2‖=‖2υ-υ2+dxds‖≤‖e‖+

        引理6令

        ‖e-(υ+)2‖≤‖e-(υ+)2‖+

        證明因為ω(t+)=ω(t)+θt(ω-x0s0),所以

        (15)

        由式(15)和引理5得,

        ‖e-(υ+)2‖≤‖e-(υ+)2‖+

        引理7令δ(υ+):=‖e-υ+‖,則

        證明由引理4、6得,

        (16)

        引理8令

        證明由引理7得

        (17)

        (18)

        設(shè)

        (19)

        其中t+=(1-θ)t,θ∈(0,1)?;喪?19)得

        因此,令

        3 復(fù)雜度分析

        由于初始迭代點滿足

        選取

        (20)

        ‖x+s+-ω‖≤

        證明由式(11)和引理4得,

        ‖x+s+-ω‖≤‖x+s+-ω(t)‖+‖ω(t)-ω‖≤

        ‖ω(t)((υ+)2-e)‖+t‖x0s0-ω‖≤

        ‖x+s+-ω‖≤

        引理10若線性WCP(1)存在最優(yōu)解,則算法1至多經(jīng)過

        次迭代得到WCP(1)的ε近似解。

        證明因為

        ‖ω(t)‖∞≤max{max(x0s0),max(ω)},

        所以由引理9可得,

        由式(20)可知,

        故迭代次數(shù)的上界為

        4 數(shù)值算例

        運(yùn)用MATLAB R2016b編程檢驗算法1的有效性,在Intel(R) Core i5 CPU 2.3 GHz 8.0 GiB內(nèi)存,IOS操作系統(tǒng)的計算機(jī)上進(jìn)行數(shù)值實驗。隨機(jī)生成5個不同規(guī)模的WCP,對每種規(guī)模產(chǎn)生10個問題進(jìn)行求解。

        首先選取任意初始點(x0,y0,s0),權(quán)向量ω>0,按照式(20)選擇參數(shù)θ,K。在算法1中令t0=1,ε=10-5。隨機(jī)生成行滿秩矩陣A∈Rm×n。令b=Ax0,c=ATy0+s0,即初始點滿足內(nèi)點條件。算法的終止條件為‖xs-ω‖≤ε,記Gap=‖xs-ω‖。表1~3為K值上界的選取影響算法1求解不同規(guī)模WCP的數(shù)值結(jié)果,表中數(shù)據(jù)均為求解不同規(guī)模的WCP10次結(jié)果的平均值,其中Iter為平均迭代次數(shù),Time為平均運(yùn)行時間。從表1~3可看出,在K值上界確定的情況下,運(yùn)行時間和迭代次數(shù)受m和n的影響。

        表1 K≤4時求解不同規(guī)模WCP的數(shù)值結(jié)果

        表2 K≤2時求解不同規(guī)模WCP的數(shù)值結(jié)果

        表3 K≤0.5時求解不同規(guī)模WCP的數(shù)值結(jié)果

        例1考慮R4上的線性WCP方程組(1),其中:

        取初始點

        x0=(1,1,3,2)T,y0=(0,0,0)T,

        s0=(2,1,2,1)T,t0=1。

        用算法1進(jìn)行求解該問題,迭代95次后得到最優(yōu)解

        x*=(1.063,0.619,2.619,1.873)T,
        y*=(0.242,-0.855,-0.894)T,
        s*=(2.821,1.613,1.145,2.135)T。

        圖1為迭代過程中鄰近測度及Gap的值。由圖1可知,隨著t從1減小至0,Gap逐漸減小并趨于0,且每步迭代鄰近測度都小于2t/5,保障了每一步迭代點的可行性。

        圖1 迭代過程中鄰近測度及Gap的值

        5 結(jié)束語

        基于核函數(shù),將線性優(yōu)化的全牛頓步可行內(nèi)點算法推廣至線性權(quán)互補(bǔ)問題。分析了算法的可行性,并證明了該算法具有目前線性優(yōu)化最好的多項式時間迭代復(fù)雜度。數(shù)值實驗表明了該算法的有效性。設(shè)計基于核函數(shù)的全牛頓不可行內(nèi)點算法求解線性權(quán)互補(bǔ)問題是進(jìn)一步的研究方向。

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