彭如月， 焦萌倩， 黃文韜， 蔣貴榮

(1.桂林電子科技大學 數(shù)學與計算科學學院，廣西 桂林 541004； 2.廣西師范大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院，廣西 桂林 541004)

在航空領域，三角翼作為當今較受歡迎的飛行器，它的滾轉(zhuǎn)運動問題值得深入研究。三角翼飛行器在飛行過程中會遇到很多不確定因素，導致飛行事故的發(fā)生。因此，在研究三角翼的滾轉(zhuǎn)運動時，考慮隨機激勵很有必要。當三角翼飛行器受隨機外激或隨機參激時，會使系統(tǒng)響應在相空間中發(fā)生隨機變化，此時需要考慮系統(tǒng)的可靠性。 在隨機動力學中可靠性研究是一個難點[1]，學者們在這方面做了大量研究。文獻[2-3]研究了基于擬可積Hamilton系統(tǒng)和不擬可積Hamilton系統(tǒng)的鐵路橋梁動力可靠度。朱位秋等[4]利用隨機平均法研究了隨機激勵系統(tǒng)的首次穿越與可靠性問題。文獻[5]通過建立可靠性函數(shù)的后向Kolmgolov方程和廣義Pontryagin方程，分析了色噪聲激勵下的非線性阻尼動力系統(tǒng)的首次穿越問題。

三角翼飛行器有較悠久的研究歷史，三角翼因其優(yōu)良的氣動特性在軍用飛機和無人機上獲得了廣泛的應用[6]。李樂奇[7]設計了一種雙回路的無人機滾轉(zhuǎn)運動的PID控制器，但未考慮外界干擾的影響。牛中國等[8]從來流條件和激勵參數(shù)分析了DBD (dielectric barrier discharge)等離子體激勵對三角翼流動控制效果的影響規(guī)律，并對三角翼前緣渦控制的發(fā)展進行總結(jié)展望。大攻角情況下，機翼搖滾是一種典型多自由度耦合運動，它的滾轉(zhuǎn)運動是最主要的自由度[9]。文獻[10]采用旋轉(zhuǎn)升力和動態(tài)失速2種不同的方法，研究了撲翼產(chǎn)生的非定常氣動力降階模型。文獻[11]利用多種方法分析了三角翼滾轉(zhuǎn)運動的隨機響應。

目前，涉及到三角翼滾轉(zhuǎn)運動的文獻大部分是利用多方面耦合的方法研究搖滾氣動特性問題，且得到的大多是一個數(shù)值結(jié)果，對于三角翼滾轉(zhuǎn)運動的首次穿越問題的研究較少；利用數(shù)學方法研究三角翼單自由度滾轉(zhuǎn)運動問題的文獻也較少。因三角翼外部干擾的文獻也不多，關于三角翼滾轉(zhuǎn)運動首次穿越的研究就更少。

鑒于此，研究高斯白噪聲激勵下三角翼飛行器滾轉(zhuǎn)運動的穩(wěn)定性和可靠性問題。建立三角翼滾轉(zhuǎn)運動的隨機動力學模型，利用最大Lyapunov指數(shù)分析穩(wěn)定性，最后加入一個PID控制律，利用滾轉(zhuǎn)角比例參數(shù)和滾轉(zhuǎn)角速度比例參數(shù)來減少期望滾裝角與實際滾轉(zhuǎn)角的誤差。理論分析與數(shù)值模擬相結(jié)合，對三角翼滾轉(zhuǎn)運動的首次穿越時間距進行了比較。

1 三角翼隨機動力學模型

考慮三角翼飛行器單自由度滾轉(zhuǎn)運動，討論滾轉(zhuǎn)角隨時間變化的定量和定性規(guī)律，其滾轉(zhuǎn)運動方程[12]為

(1)

系統(tǒng)(1)未考慮隨機因素，然而實際因素對飛機在飛行過程中的影響很大，所以在系統(tǒng)(1)中加入高斯白噪聲，模型如下：

(2)

設滾轉(zhuǎn)力矩系數(shù)為

(3)

將式(3)代入式(2)，得

(4)

令ω2=-cβ1，α1=-(cβ2-D)，α2=-cβ3，α3=-cβ4，α4=-cβ5，則整理式(4)可得三角翼飛行器在高斯白噪聲激勵下的滾轉(zhuǎn)運動動力學模型：

(5)

其中：W(t)為具有譜密度K的高斯白噪聲；ω2和αi(i=1,2,3,4)均為系統(tǒng)參數(shù)。

其中，X1、X2分別為三角翼滾轉(zhuǎn)運動的滾轉(zhuǎn)角和滾轉(zhuǎn)角速度。

在系統(tǒng)(5)的無阻尼自由振動方程中，其勢能和總能量分別為：

由于能量過程是一個慢變過程，可近似為馬爾科夫擴散過程，系統(tǒng)(5)可依概率收斂到一維擴散過程，由伊藤方程支配[4]：

dλ=m(λ)dt+σ(λ)dB(t),

其中：B(t)為標準Wiener過程；m(λ)、σ(λ)分別為伊藤隨機過程的漂移和擴散系數(shù)。

運用能量包線隨機平均法[4]，可計算得到系統(tǒng)(5)的漂移和擴散系數(shù)：

(6)

(7)

為求解系統(tǒng)(5)的隨機響應過程的轉(zhuǎn)移概率密度函數(shù)，給出系統(tǒng)(5)相應的FPK(fokker-planck-kolmogorov方程[4])：

(8)

對于隨機動力系統(tǒng)(5)，其穩(wěn)定性主要由平穩(wěn)解決定，將式(6)、(7)代入式(8)，得到系統(tǒng)(5)的平穩(wěn)概率密度p(λ)，即平穩(wěn)解：

其中C為任意常數(shù)。

由于系統(tǒng)存在非平凡平穩(wěn)概率密度，可以考慮系統(tǒng)的樣本漸近穩(wěn)定性。

定義1[4]若對每個ε1,ε2>0，存在δ(ε1,ε2,t0)>0，使得

成立，且對每個ε>0，存在δ(ε,t0)>0，使得

只要‖x0‖≤δ，由于ε任意小，則稱樣本漸近穩(wěn)定。

非線性隨機動力學系統(tǒng)(5)的樣本漸近穩(wěn)定性只取決于最大Lyapunov指數(shù)rmax，因此，系統(tǒng)(5)的漸近穩(wěn)定的充要條件為rmax<0。

2 隨機穩(wěn)定性

最大Lyapunov指數(shù)是判斷非線性隨機動力學系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性的重要參數(shù)。通過計算線性化系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)討論非線性隨機系統(tǒng)(5)平凡解的局部穩(wěn)定性。

定理1當α1<πK/2ω時，系統(tǒng)(5)的線性伊藤隨機微分方程的平凡解(0,0)漸近不穩(wěn)定，此時三角翼飛行器在隨機擾動的影響下會出現(xiàn)失穩(wěn)現(xiàn)象。

證明系統(tǒng)(5)存在一個平凡解O(0,0)，伊藤隨機微分方程在零點處存在唯一平凡解。將漂移系數(shù)與擴散系數(shù)在λ=0處線性化，得到線性化的伊藤隨機微分方程：

令Y=lnλ，利用伊藤微分規(guī)則可得到Y(jié)的伊藤方程：

(9)

解得式(9)的形式解為

所以可得：

故最大Lyapunov指數(shù)為

當r>0，即α1<πK/2ω時，系統(tǒng)(5)的線性伊藤隨機微分方程的平凡解漸近不穩(wěn)定。定理證畢。

3 受控系統(tǒng)的穩(wěn)定性

對于飛行器而言，其飛行控制系統(tǒng)在實際中至關重要，它的優(yōu)劣程度將直接影響飛機安全飛行的各項性能。所以在系統(tǒng)(5)的基礎上，借鑒經(jīng)典的PID控制[7]，在系統(tǒng)(5)中加入控制律e，利用滾轉(zhuǎn)角比例參數(shù)和滾轉(zhuǎn)角速度比例參數(shù)來減少期望滾裝角與實際滾轉(zhuǎn)角的誤差，得到以下受控的動力學方程：

(10)

定理2當KD<α1-πK/2γ時，隨機系統(tǒng)(10)線性化伊藤隨機微分方程的平凡解是局部漸近穩(wěn)定的。

證明用能量包線隨機平均法可得相應支配的伊藤隨機微分方程：

dλ=me(λ)dt+σe(λ)dB(t),

其中：

加入控制律后，系統(tǒng)(10)的線性化伊藤隨機微分方程為

可解得系統(tǒng)(10)在平衡點處線性化的最大Lyapunov指數(shù)為

(11)

根據(jù)式(11)，KD<α1-πK/2γ時，有re<0，從而受控系統(tǒng)(10)線性化伊藤隨機微分方程的平凡解是局部漸近穩(wěn)定的。定理證畢。

4 受控系統(tǒng)的首次穿越

系統(tǒng)可靠性問題主要考慮可靠性函數(shù)Re(t,t0,λ0)，它為給定初始狀態(tài)λ0∈[λl,λc)的條件下，在t時刻系統(tǒng)處于λl≤Λ(t)<λc的概率，

其中：p(λ,t|λ0,t0)為過程λ(t)在超越右邊界(λc)之前的轉(zhuǎn)移概率密度；λl為能量過程λ(t)的左邊界。

令τ=t-t0，則可靠性函數(shù)Re(t,t0,λ0)可記為Re(τ,λ0)，轉(zhuǎn)移概率密度p(λ,t|λ0,t0)滿足后向科爾莫戈羅夫方程(backward Kolmogorov，簡稱BK)[4]：

(12)

其中me(λ0)、σe(λ0)為受控的漂移和擴散系數(shù)。

考慮到求解可靠性函數(shù)比較困難，而求解首次穿越時間的統(tǒng)計量較為簡單，當λ(t0)=λ0時，能量過程λ(t)首次到達臨界值λc(λ0<λc)，稱其為發(fā)生了首次穿越[4]。

首次穿越時間的均值與可靠性函數(shù)之間的關系[4]為

(13)

根據(jù)式(12)、(13)，可得廣義Pontryagin(GP)方程[4]：

(14)

根據(jù)式(14)，解得加入控制律后的首次穿越時間的n+1階距：

其中：

因首次穿越時間非負，不同階的距的統(tǒng)計量具有相同的趨勢，因此，一階矩是最重要的[4]。當n=0時，加入控制律后首次穿越時間距為

(15)

5 數(shù)值模擬

在系統(tǒng)(5)中，取K=0.2，ω2=0.16，α2=1.2,α3=0.8,α4=0.49。根據(jù)定理1，取α1=0.6πK/2ω=0.471 2。 取初始點為(3,2)。圖1為變量x的時間序列圖的樣本。從圖1可看出，系統(tǒng)(5)的零解不是隨機穩(wěn)定的。

根據(jù)定理2所示，取Kp=0.15,KD<0.7(α1-πK/2γ)。從圖1可看出，系統(tǒng)(10)中的x趨向于0，從而隨機系統(tǒng)(10)線性化伊藤隨機微分方程的平凡解是局部漸近穩(wěn)定的。

圖1 變量x的時間序列

當參數(shù)K=0.2，ω2=0.01，α1=0.047，α2=1.2，α3=0.8，α4=0.19，Kp=-0.15，KD=1.8，λ0=1，λc=10時，圖2 為系統(tǒng)(5)和(10)的首次穿越時間距。

在系統(tǒng)(5)和(10)中，取ω2=0.01，α1=0.047，α2=1.2，α3=0.8，α4=0.19，Kp=-0.15，KD=1.8，λ0=1，λc=10，關于K的首次穿越時間距如圖2所示。當K=0.34時，系統(tǒng)(5)的首次穿越時間距約為152，施加控制后，系統(tǒng)(10)的首次穿越時間距明顯增大，約為351，從而提高了系統(tǒng)的可靠性。

W(t)為具有譜密度為K的高斯白噪聲，K∈[0.3,0.6]。從圖2可看出，當K=0.42時，系統(tǒng)(5)、(10)的首次穿越時間距約為41和82，隨著噪聲強度的增加，系統(tǒng)的首次穿越時間距均減少。

圖2 首次穿越時間距

6 結(jié)束語

針對三角翼飛行器在隨機激勵影響下滾轉(zhuǎn)運動的穩(wěn)定性，研究了三角翼飛行器滾轉(zhuǎn)運動在高斯白噪聲影響下發(fā)生的首次穿越問題。利用能量包線隨機平均法將非線性隨機函數(shù)表示為一維擴散過程，通過最大Lyapunov指數(shù)分析系統(tǒng)的局部穩(wěn)定性，建立可靠性函數(shù)和首次穿越時間的距所滿足的BK方程，計算出首次穿越時間距。通過加入一個控制律，對比了不加控制與加入控制的時間距，并對結(jié)果進行數(shù)值模擬。結(jié)果表明，加入的控制律能使平均首次穿越時間距明顯增大，有良好的控制效果。本研究的不足之處是考慮的噪聲激勵是高斯白噪聲，自然界的隨機干擾很復雜，對于其他噪聲還需進一步研究。