戴 偉①

（淮北師范大學 數(shù)學科學學院，安徽 淮北235000）

0 引言

調(diào)和平均值、算術(shù)平均值、幾何平均值和平方平均值之間的關系就是均值不等式，這些均值不等式是不等式研究的重要內(nèi)容之一，被廣泛應用到許多數(shù)學領域. 文獻［1］介紹初等不等式

其中fi:E→R(E?R,i=1,2,…,n). 文獻［2］推導算術(shù)平均值和幾何平均值的關系，以及對數(shù)平均值和某些其他平均值之間的關系. 文獻［3］用初等不等式（1）證明一些不等式和微積分中的一些基本結(jié)論.Chen［4］用初等不等式（1）證明算術(shù)—幾何平均不等式，以及柯西不等式和三角不等式. 關于更多不等式的一些結(jié)果參見文獻［5-15］.

本文首先利用初等不等式（1）證明一個新的不等式，然后利用這個不等式和一些已知不等式推導出調(diào)和—幾何—算術(shù)—平方平均不等式，以及調(diào)和平均值的下界和平方平均值的上界，并給出平均不等式在酉矩陣中的應用.

1 主要結(jié)論

利用初等不等式（1）給出一個新的不等式，再利用該不等式推出調(diào)和—幾何—算術(shù)—平方平均不等式，以及調(diào)和平均值的下界和平方平均值的上界.

定理1 若ai,bi ＞0,p,q是任意實數(shù)，則

其中等號成立的充要條件是aibj=ajbi(i,j=1,2,…,n).

證明設這里α ＞0,ai,bi ＞0(i=1,2,…,n)，則

令f′i(x)=0，得，因此，函數(shù)fi(x)在點xi0處取得最小值，即

由式（1）得

即

顯然，上式等號成立的充要條件是xi0=xj0(i,j=1,2,…,n)，即aibj=ajbi(i,j=1,2,…,n).

根據(jù)定理1中不等式（2），可得以下不等式. 令p=1,q=1，得文獻［3］中的不等式

令p=-1,q=1,bi=1，得調(diào)和—幾何平均不等式

其中ai ＞0(i=1,2,…,n). 顯然，式（3）等式成立的充要條件是ai=aj(i,j=1,2,…,n).

令p=1,q=1,bi=1，得幾何—算術(shù)平均不等式

其中ai ＞0(i=1,2,…,n). 顯然，式（4）等式成立的充要條件是ai=aj(i,j=1,2,…,n).

令p=1,q=-1,ai=1，得調(diào)和平均不等式的下界

其中bi ＞0(i=1,2,…,n). 顯然，式（6）等式成立的充要條件是bi=bj(i,j=1,2,…,n).

文獻［3］給出下列不等式.

在式（7）中，令α1=2,α2=1，得算術(shù)—平方平均不等式

其中ai ＞0(i=1,2,…,n). 顯然，式（8）等式成立的充要條件是ai=aj(i,j=1,2,…,n).根據(jù)式（3）～（8）得

其中ai ＞0(i=1,2,…,n). 并且式（9）中等式成立的充要條件是ai=aj(i,j=1,2,…,n).

2 應用舉例

最后，利用均值不等式（9），證明酉矩陣的一個充要條件. 下面介紹矩陣分析的相關概念. 設Mn表示n階復方陣的集合和Un表示n階酉矩陣的集合. 對于A ∈Mn，將A ∈Mn的奇異值按降序排列s1≥s2≥…≥sn. 顯然譜范數(shù)‖ ‖A∞=s1，跡范數(shù)‖ ‖A1=s1+s2+…+sn. A 的數(shù)值半徑定義為

若A ∈Un，則A-1=A?，A 是一個正規(guī)矩陣且ω(A)=‖ ‖A∞.

首先，先給出一個引理.

引理2［5］若A ∈Mn，則ω(A)≤‖ ‖A1≤nω(A).

定理3 若A ∈Mn，則A 是酉矩陣的充要條件是ω(A)≤1和ω(A-1)≤1.

證明因為A 是酉矩陣，所以A-1=A*和A 是正則矩陣，因此

反過來，考慮A-1,A*的奇異值分解，存在U,V ，使得

和

其中s1(A)≥s2(A)≥…≥sn(A)≥0.

下面證明s1(A)=s2(A)=…=sn(A)=1. 事實上，由引理2得

和

即

因此，由式（10）和式（11）可得

和

根據(jù)式（9）得顯然，等號成立，故此s1(A)=s2(A)=…=sn(A)=1.

注1 文獻［16］給出無限維希爾伯特空間上酉算子上述結(jié)果的刻畫. 需要指出，定義在無限維希爾伯特空間上酉算子不一定存在奇異值，本文證明思路和方法與文獻［16］完全不同.