鄧 芹，侯為波①

（淮北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 淮北235000）

0 引言

隨著金融領(lǐng)域的日益發(fā)展，金融衍生產(chǎn)品的作用也日益突出. 其中期權(quán)合約作為重要衍生產(chǎn)品之一，無論是在國際還是國內(nèi)都表現(xiàn)出很活躍的發(fā)展狀態(tài). 借鑒國際市場期權(quán)交易的經(jīng)驗和制度保障，國內(nèi)的期權(quán)交易市場正在快速發(fā)展，期權(quán)推出條件也已經(jīng)基本成熟，但是還有很大的發(fā)展空間，期權(quán)合約的推出條件還需加強，創(chuàng)造更完善的期權(quán)交易市場.

期權(quán)是指其持有者在一個確定的時間按確定的價格買入或賣出標的資產(chǎn)的權(quán)利［1-2］. 期權(quán)可分為金融期權(quán)和商品期權(quán)［3］. 很多學(xué)者對期權(quán)進行研究得到相關(guān)結(jié)論. 王樂毅等［4］分析比較二叉樹模型和Black-Sholes 模型（B-S 模型），得到兩個模型在實質(zhì)上是一致的結(jié)論；黃本堯［5］研究Black-Sholes 模型的精確性和適應(yīng)性，得出盡管該模型的假設(shè)條件不能完全貼合實際但是依然是交易中不可或缺的分析工具；劉立剛等［6］將二叉樹模型和Black-Sholes 模型結(jié)合在一起研究期權(quán)的時間價值和內(nèi)在價值. 在已有的文獻中大多是對期權(quán)的定價及模型選擇進行分析，而本文主要利用上證50ETF期權(quán)數(shù)據(jù)并基于二叉樹模型、Black-Sholes模型以及風(fēng)險度量參數(shù)對股指期權(quán)推出后的效果進行分析. 從期貨的市場功能、期權(quán)定價的合理性、期權(quán)各階段的執(zhí)行方式及風(fēng)險度量幾個方面綜合分析，得出我國股指期權(quán)的推出效果良好，雖具有一定風(fēng)險但是更有利于投資者進行規(guī)避風(fēng)險. 這可以明確投資者的投資方向，選擇合適的投資策略規(guī)避風(fēng)險［7-8］.

1 模型建立

1.1 二叉樹模型

二叉樹模型是指利用二叉樹圖表示標的資產(chǎn)在有效期內(nèi)可能遵循的路徑［9］. 假設(shè)S0和f分別為股票當(dāng)前價格和對應(yīng)期權(quán)當(dāng)前價格，當(dāng)前時刻為零時刻，T為到期時間，股價可能的上升幅度為u（u ＞1），下降幅度為d（d ＜1），則對應(yīng)的股票價格為S0u或S0d. 若價格上升到S0u，則對應(yīng)的期權(quán)價格為fu，若價格下降到S0d，則對應(yīng)的期權(quán)價格為fd. 相應(yīng)的二叉樹如圖1所示.

圖1 單步二叉樹模型

圖2 2步二叉樹模型

假設(shè)一個證券組合由Δ 股的股票多頭和一個期權(quán)空頭組成，在無風(fēng)險的狀態(tài)下，若股價上升則到期時組合價值為S0uΔ-fu，若股價下降則到期時組合價值為S0dΔ-fd. 二者的價值相等時有

解得

設(shè)無風(fēng)險利率為r，則組合價值的現(xiàn)值為，成本為S0Δ-f，則

進而得

其中

基于單步二叉樹，當(dāng)股價發(fā)生2次運動，每個時間長度為Δt，此時得到2步二叉樹模型為

其中

fuu、fud、fdd分別為股票價格2次上漲、1次上漲1次下跌、2次下跌后對應(yīng)的期權(quán)價格，相應(yīng)的二叉樹如圖2所示.

1.2 Black-Sholes模型

Black-Sholes 模型假定很短時間內(nèi)股票價格變化百分比服從正態(tài)分布［10-12］. 假設(shè)S0為股票當(dāng)前價格，T為到期時間，σ為股票波動率，K為到期執(zhí)行價格，c為看漲期權(quán)的價格，p為看跌期權(quán)的價格，r為無風(fēng)險利率，則有不支付紅利股票的看漲和看跌期權(quán)的Black-Sholes定價公式分別為

其中

N(x) 是標準正態(tài)分布變量的累積概率分布函數(shù).

1.3 期權(quán)的市場功能

期權(quán)的市場功能包括套期保值功能和價格發(fā)現(xiàn)功能［13］. 在市場功能的檢驗中套期保值比率是一個重要衡量指標，套期保值效果越好，期權(quán)市場功能越好. 期權(quán)的市場功能使得套利的手段和機會增加，有利于價格發(fā)現(xiàn)功能的發(fā)揮.

1.4 期權(quán)風(fēng)險度量指標

Gamma是衡量Delta（期權(quán)價格變化對標的價格變化的比率）相對標的價格變化的敏感程度，期貨和現(xiàn)貨沒有Gamma風(fēng)險，只有期權(quán)有Gamma風(fēng)險［14］. 基于不支付紅利股票的看漲期權(quán)或看跌期權(quán)Gamma（Γ）值fΓ為

其中N′與前面的定義一樣. 通過Gamma值來分析期權(quán)風(fēng)險程度，Gamma的絕對值越小，風(fēng)險越小.

2 實證分析

2.1 數(shù)據(jù)說明

本文選取的上證50ETF期權(quán)相關(guān)數(shù)據(jù)來源于東方財富網(wǎng)，數(shù)據(jù)范圍是從2017年12月27日到2018年6月27日，現(xiàn)貨價格選用標的收盤價，期貨價格選用期貨收盤價，利用SPSS19.0和Eviews7.0軟件對數(shù)據(jù)進行處理.

2.2 市場功能檢驗

對上證50 股票的期、現(xiàn)貨數(shù)據(jù)分別取對數(shù)得lnS和lnF2 個序列，再1 階差分得ΔlnS和ΔlnF2 個序列.進行ADF值檢驗，如表1所示.

表1 平穩(wěn)性檢驗結(jié)果

利用最小二乘法（OLS）模型對現(xiàn)貨和期貨數(shù)據(jù)進行回歸求得線性方程式為

其他相應(yīng)的數(shù)據(jù)，如表2所示.

表2 套保效果

從表1看出，期貨、現(xiàn)貨價格數(shù)據(jù)取對數(shù)后1階差分序列平穩(wěn). 表2中得出OLS 模型的擬合度較高，套期保值比率較高，標準估計誤差也很小，期貨、現(xiàn)貨價格之間的相關(guān)性也很好，說明期貨市場的套期保值效果較好. 由期貨和期權(quán)價格、現(xiàn)貨和期權(quán)價格的相關(guān)系數(shù)得各市場之間有一定的關(guān)聯(lián)性，為期權(quán)的推出創(chuàng)造良好的條件.

2.3 期權(quán)定價合理性檢驗

選取一個6 個月期的上證50 股票指數(shù)看漲期權(quán)，假設(shè)股票指數(shù)的當(dāng)前價格為2.834，無風(fēng)險利率為3.94%，價格波動率為21.75%，執(zhí)行價格為3，利用二叉樹模型為期權(quán)進行定價，結(jié)果如表3所示.

表3 二叉樹模型定價

表3 是一個6 步二叉樹模型求解出來的各階段股票價格和期權(quán)價格，最后得出期權(quán)當(dāng)前價格為0.135 0，與2017年12月27日的期權(quán)收盤價0.137 4誤差相對較小，因此利用二叉樹模型對期權(quán)進行定價是合理的.

利用Black-Sholes模型對不同期限的期權(quán)進行定價，能夠看出期限的長短對期權(quán)定價的影響［15］.

表4 B-S模型各期限的定價

表4中的數(shù)據(jù)顯示，隨著期限的延長期權(quán)的價格最終趨近于0.124 1，這與2017年12月27日的期權(quán)收盤價0.137 4 相近. 說明期限足夠長時，行使期權(quán)的機會就越多，期權(quán)價格越合理. 同時說明利用Black-Sholes模型對期權(quán)定價是合理的.

2.4 期權(quán)處理方式

通過對比二叉樹圖各節(jié)點的內(nèi)在價值和時間價值來判斷各節(jié)點的執(zhí)行方式.

表5 各階段期權(quán)執(zhí)行方式

表5反映的是期權(quán)在各階段的時間價值和內(nèi)在價值. 通過對比各階段中不同情況下的內(nèi)在價值和時間價值來分析各種情況下期權(quán)的處理方式. 可以看出，越接近期權(quán)的到期日時間價值越小，時間價值大于內(nèi)在價值應(yīng)繼續(xù)持有期權(quán). 最后期權(quán)的時間價值等于內(nèi)在價值應(yīng)該提前執(zhí)行，減小期權(quán)的執(zhí)行風(fēng)險.

2.5 期權(quán)風(fēng)險度量

取一個6 個月期的上證50 股票指數(shù)看漲期權(quán)，假設(shè)股票指數(shù)的當(dāng)前價格為2.834，無風(fēng)險利率為3.94%，價格波動率為21.75%，執(zhí)行價格為3，則股票期權(quán)的Gamma值為

說明該股票指數(shù)每增加或減少1個點，期權(quán)的delta值增加或減少約0.902 3.

3 結(jié)論

本文利用OLS模型、二叉樹模型、Black-Sholes模型以及風(fēng)險度量參數(shù)對股指期權(quán)的推出效果進行分析. 驗證股指期權(quán)的市場功能良好，期權(quán)定價模型選擇合理，投資風(fēng)險在合理范圍，為期權(quán)的推出奠定良好的基礎(chǔ)，得出股指期權(quán)的推出效果較好，有利于投資者規(guī)避風(fēng)險.

針對上面得到的結(jié)論給出相關(guān)建議. 利用期權(quán)合約進行保值時要綜合考慮期權(quán)的市場功能，與期貨市場結(jié)合起來制定期權(quán)推出策略，以保證其推出效果；股指期權(quán)的推出雖具有一定風(fēng)險性，但是確實能夠有效地控制股票市場的風(fēng)險，投資者可以利用期權(quán)交易來減小現(xiàn)貨市場的交易風(fēng)險；期權(quán)交易中對期權(quán)進行定價時模型的選擇要合理，得出一個合理的期權(quán)價格，在一定程度上更好地發(fā)揮期權(quán)的價格發(fā)現(xiàn)功能；作出合理的風(fēng)險控制措施是必要的，選擇好期權(quán)數(shù)量、期權(quán)交易的執(zhí)行價格，明確期權(quán)各階段的執(zhí)行方式從而減小執(zhí)行風(fēng)險，總體考慮該期權(quán)推出后的利與弊再做出投資策略.