王東榮，龍波涌，黃華鷹①

（安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 合肥230601）

0 引言

記C為復(fù)數(shù)集，N為自然數(shù)集，D={z∈C:|z|＜1} 為單位圓盤. 記A為在單位圓盤D內(nèi)解析，且滿足正規(guī)化條件f(0)=f′(0)-1=0 的函數(shù)f(z)的全體. 則A中的函數(shù)有展開式

記S為A中單葉函數(shù)的全體. 分別記α階星象函數(shù)、α階凸函數(shù)以及導(dǎo)數(shù)的實部大于α的函數(shù)類為S*(α)、K(α)和R(α)，則當(dāng)函數(shù)f,g,h∈S且α∈[ )

0,1 時，有

顯然，S*(0)=S、K(0)=K和R(0)=R分別是星象函數(shù)類、凸函數(shù)類以及導(dǎo)數(shù)具有正實部的函數(shù)類. 當(dāng)α取特殊值時，對于所得到的函數(shù)類的研究也很有價值. 例如，令，則有，而函數(shù)類在解決一些微分方程問題中會常常碰到［2］.

當(dāng)f∈A時，Pommerenke［3-4］定義了函數(shù)f(z)的q階Hankel行列式為

其中n,q∈N. 之后，Hankel行列式引起了數(shù)學(xué)工作者的極大興趣.

當(dāng)q=2，n=1 時，H2( )1 就是經(jīng)典的Fekete-Szeg? 泛函［5］，早在1930 年就有人研究. 然而若將q或n的值取得更大，則對于Hankel 行列式的研究就會困難很多. 文獻(xiàn)［6］首先研究函數(shù)類S*、K和R對應(yīng)|H3(1 ) |的上界，后來有很多人研究H3(1 ) ，參見文獻(xiàn)［7-10］.

Janteng等［11-12］得到函數(shù)類S*、K以及R對應(yīng) |H2( 2 )|的最佳估計. Lee等［13］研究關(guān)于一個給定函數(shù)φ的Ma-Minda 星象函數(shù)類S*(φ)的二階Hankel 行列式，并得到β階的強星象函數(shù)類S*β的 |H2( 2 )|≤β2，α階星象函數(shù)類S*(α)的 |H2( 2 )|≤(1-α)2. 其他一些函數(shù)類二階Hankel行列式的研究見文獻(xiàn)［14-17］.

由式（2）有本文研究S*(α)、K(α)以及R(α)對應(yīng)的二階Hankel 行列式H2( )3 ，分別估計其對應(yīng) ||H2( )3 的上界.R(α)對應(yīng)的 ||H2( )3 的上界是最佳的. 當(dāng)系數(shù)a2=0 時，得到S*(α)和K(α)對應(yīng) ||H2( )3 的最佳上界.

1 預(yù)備知識

記P是由在D內(nèi)解析且Re(p(z))＞0，p(0)=1的全體函數(shù). 若p∈P，則p有展開式

引理1［18］若p∈P，則p(z)展開式的系數(shù)有最佳不等式 |pn|≤2，其中n=1,2,….

引理2［19］若p∈P，則有最佳不等式 |pn-μpk pn-k|≤2，其中：μ∈[0,1] ；n,k=1,2,…；n ＞k.

引理3［20］若p∈P，則有，等式成立當(dāng)且僅當(dāng)以及它們的旋轉(zhuǎn).

注1 由文獻(xiàn)［20］的證明過程可知，引理3 不等式中等號成立，當(dāng)且僅當(dāng)p2=0 或者 ||p2=2. 當(dāng)

對于任意的f∈S*(α) ，有等式

其中：p∈P，α∈[ )

0,1 .

若f(z)與p(z)分別有表達(dá)式（1）與（4）且分別屬于S*(α)和P，運用式（5）可以得到

則有

若f∈S*( )

α，則由式（3）與（6）有其中

眾所周知，f∈K當(dāng)且僅當(dāng)zf′(z)∈S*. 如果，則

2 主要結(jié)果

定理1 設(shè)，則

證明令，根據(jù)式（7）有

因為α∈( 0,1) ，從而1-α∈( 0,1) . 則由引理1～3有

如果f∈K(α)，則根據(jù)式（9）有

由引理1～3可得

從而定理得證.

推論1 若，則；若，則

定理2 設(shè)α∈[ 0,1) ，f有展開式（1），且a2=0.

（1）若f∈S*(α)，則

以上2個不等式均是最佳的.

證明因a2=0，則根據(jù)式（6）中第1個等式，可得p1=0. 若f∈S*( )α，則由式（7）可得

從而根據(jù)引理1和引理3有

若f∈K(α)，根據(jù)式（9）可得

由引理1和引理3可得

下面考慮定理2中的極值函數(shù). 當(dāng)f∈S*(α) ，綜合引理1、3及式（11）知，式（12）中不等式等號成立當(dāng)且僅當(dāng)以及根據(jù)注1有，因此，若f∈S*(α)，則極值函數(shù)

推論2 設(shè)f有展開式（1），且a2=0，

推論2中（1）和（2）的第2個結(jié)果在文獻(xiàn)［20］中證明得到，顯然結(jié)果是最佳的.

定理3 若f∈R(α)，且，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)

證明當(dāng)時，根據(jù)式（10）有

由引理1和引理3可得

等號成立當(dāng)且僅當(dāng) ||p2=||p4=2 以及，故根據(jù)引理3和注1可知從而可得極值函數(shù)

推論3 若f∈R，則；若

推論3當(dāng)中的第1個結(jié)果在文獻(xiàn)［20］中得到證明，結(jié)果是最佳的.