鄭惠容

(福建省泉州市石獅市華僑中學(xué) 362700)

圓的有關(guān)知識(shí)是每年中考必考的內(nèi)容之一.縱觀近幾年福建省的中考或質(zhì)檢的數(shù)學(xué)試題會(huì)發(fā)現(xiàn)，最后的兩道壓軸題中有時(shí)沒有明顯的圓的身影存在.但如果我們認(rèn)真審題，就會(huì)發(fā)現(xiàn)，其實(shí)根據(jù)題目中的條件，我們可以自己構(gòu)造一個(gè)輔助圓.那么怎樣構(gòu)造輔助圓呢？筆者結(jié)合實(shí)例，談?wù)剺?gòu)造輔助圓的基本做法.

一、立足基礎(chǔ)，利用圓的定義構(gòu)造輔助圓

根據(jù)圓的定義：到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定值的點(diǎn)在同一個(gè)圓上.這是利用圓的定義添輔助圓的最基本方法.

例1(2016-2017學(xué)年福州市期末試題)如圖1，C為線段AB上一點(diǎn)，分別以AC，BC為邊在AB的同側(cè)作等邊三角形△HAC與等邊△DCB，連接DH.

(2)在(1)的條件下，作點(diǎn)C關(guān)于直線DH的對(duì)稱點(diǎn)E，連接AE，BE，求證：CE平分∠AEB;

(3)現(xiàn)將圖1中△DCB繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度α(0°<α<90°)，如圖2,C關(guān)于直線DH的對(duì)稱點(diǎn)為E，則(2)中的結(jié)論是否成立并證明.

分析(3)根據(jù)對(duì)稱性可知：HE=HC，又因?yàn)锳H=HC,從而有HC=HA=HE，即A、C、E三點(diǎn)共圓.同理可知B、C、E三點(diǎn)也共圓.

證明(1)(2)略.

(3)結(jié)論仍正確.理由如下：

如圖3,由對(duì)稱性可知：HC=HE.

又∵HA=HC，∴HC=HA=HE,

∴A、C、E三點(diǎn)都在以點(diǎn)H為圓心，HA為半徑的圓上.

∴∠AEC=∠BEC,∴EC平分∠AEB.

本題解題的關(guān)鍵在于能夠根據(jù)圓的定義，發(fā)現(xiàn)A、C、E三點(diǎn)在以點(diǎn)H為圓心的圓上，同樣B、C、E三點(diǎn)在以點(diǎn)D為圓心的圓上，這樣做出輔助圓后，就可利用圓周角定理解決問題了.

二、能力導(dǎo)向，利用90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑得到輔助圓

如果題目中出現(xiàn)三角形有一內(nèi)角為90°，有時(shí)可以利用90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑得到輔助圓，然后把問題轉(zhuǎn)化為圓中的問題，利用與圓有關(guān)知識(shí)來解決相關(guān)的問題，這體現(xiàn)了能力導(dǎo)向下培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維.

例2(2013年福建省泉州市質(zhì)檢試題)如圖4，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=10cm,BC=5cm，點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿射線CA以每秒2cm的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BC以每秒1cm的速度運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.

(1)(2)略.

(3)若∠ACB的平分線CE交△PCQ的外接圓于點(diǎn)E.試探求：在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，PC、QC、EC三者存在的數(shù)量關(guān)系式，并說明理由.

解(3)當(dāng)0

∵∠ACB=90°,∴PQ是△CPQ外接圓的直徑,

∴∠QEP=90°即∠QEC+∠PEC=90°.

又∵CE平分∠ACB且∠ACB=90°,

∴∠QCE=∠PHE=45°,

∴△QCE≌△PHE(AAS),∴QC=PH.

在Rt△HEC中，EC2+EH2=HC2,EC=EH,

本題中，題目中并沒有給出圓，這時(shí)要根據(jù)題目中給出的條件，畫出△CPQ的外接圓，這樣才能結(jié)合圓的有關(guān)性質(zhì)、全等三角形和勾股定理來解決問題.

三、關(guān)注差異，作三角形的外接圓

我們知道，不在同一直線的三點(diǎn)確定一個(gè)圓，有時(shí)可以利用這個(gè)基本事實(shí)來作輔助圓，特別是當(dāng)三角形的一邊為定值，而第三個(gè)頂點(diǎn)是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)時(shí)，要求與角有關(guān)的問題，可嘗試作出輔助圓，看是否可以把問題轉(zhuǎn)化為圓的有關(guān)計(jì)算.這需要更高層次的思維，因此，要關(guān)注學(xué)生差異，撫平臺(tái)階，讓不同學(xué)習(xí)水平的學(xué)生得到不同程度的發(fā)展.

例3(2015年福建省泉州市質(zhì)檢試題)如圖7，O是坐標(biāo)原點(diǎn),過點(diǎn)A(-1,0)的拋物線y=x2-bx-3與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B，與y軸交于點(diǎn)C，其頂點(diǎn)為D點(diǎn)．

(1)求b的值．

(2)連結(jié)BD、CD，動(dòng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(m,1)．

①當(dāng)四邊形BQCD是平行四邊形時(shí)，求m的值；

②連結(jié)OQ、CQ，當(dāng)∠CQO最大時(shí)，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo).

分析我們發(fā)現(xiàn)(2)中②問題中的△CQO的邊OC是個(gè)定值，所以可大膽地構(gòu)造出△CQO的外接圓⊙M，從而把∠CQO轉(zhuǎn)化為圓心角∠CMO的一半來求.

解(1)(2)①略.

∴sin∠CQO的值隨著OM的增大而減小.

又∵M(jìn)O=MQ，∴當(dāng)MQ取最小值時(shí)sin∠CQO最大，

即當(dāng)MQ⊥直線y=1時(shí)，∠CQO最大，

此時(shí)⊙M與直線y=1相切.

∴Q1(2,1).

根據(jù)對(duì)稱性，另一點(diǎn)Q2(-2,1)也符合題意.

綜上所述，Q1(2,1),Q2(-2,1).

我們也可以設(shè)⊙M與x軸交于點(diǎn)A(如圖9)，這樣就可以直接利用同弧所對(duì)的圓周角相等，把∠CQO轉(zhuǎn)化為Rt△OAC中的∠OAC來解決.

本題的成功之處在于構(gòu)造了過O、C、Q三點(diǎn)的⊙M，從而利用圓周角與圓心角之間的關(guān)系或同弧所對(duì)的圓周角相等、垂徑定理、銳角三角函數(shù)的定義以及直線與圓的位置關(guān)系來解決問題.

從上面的幾個(gè)例子我們可以發(fā)現(xiàn)，有些問題看似與圓無關(guān),但根據(jù)問題的題設(shè)、結(jié)論或是圖形提供的某些與圓的性質(zhì)相關(guān)的信息,可以構(gòu)造出輔助圓,然后就可以利用圓的相關(guān)性質(zhì)來解決問題.事實(shí)告訴我們，只要能掌握好構(gòu)造圓的基本方法構(gòu)造出輔助圓，很多看似很難的幾何問題就可以迎刃而解.輔助圓，是解決相關(guān)幾何問題的“金鑰匙”.